非充分灌溉條件下多目標整數規劃配水模型構建

宋 歌，陳玉珊，張 珊，趙 航，譚 倩※

（1.中國農業大學水利與土木工程學院，北京 100083；2.廣東工業大學生態環境與資源學院，大灣區城市環境安全與 綠色發展教育部重點實驗室，廣州 510006；3.水利部節約用水促進中心，北京 100038；）

0 引 言

灌區水資源優化配置是實現農業水資源可持續利用的重要調控方式之一。優化管理措施以及合理分配農業水資源，對于提高農業產量、滿足糧食需求至關重要。目前已有許多關于灌溉水資源優化配置的研究。由于水生態破壞問題的加劇，許多水資源優化配置模型中也納入了對環境因素的考慮，例如Afzal等對不同水源和水質的灌溉水進行了分配；趙丹等在灌區水資源優化配置中預留了維護灌區生態環境不再惡化所需的最小水資源量。目前考慮到環境因素的灌溉水資源配置主要是對污水、劣質地下水的利用，或者對生態需水量的預留，尚缺乏從作物種植灌溉源頭上減少污染的研究。

非充分灌溉是干旱條件下獲得作物較佳生產方式有效和實用的方法之一，對干旱和半干旱地區尤為重要。研究表明，通過實行非充分灌溉，將灌溉水應用到作物最敏感的生長階段，可以提高水分生產力，即作物產量與蒸散量的比率。Lopez等將非充分灌溉整合到作物生長期灌溉水分配模型中，模擬缺水地區作物生長過程農業生產過程。Brumbelow等開發了三種不同的衍生方法來確定作物水分生產函數，使用優化模型以實現不同灌溉水平下作物產量的響應。以上研究主要基于水分生產函數，以作物的產量作為灌溉水優化配置的目標，未考慮作物品質。對于節水型瓜果等經濟作物，品質是影響農業增收和綠色發展的要素，因此考慮非充分灌溉對果實品質產生的不同影響是有必要的。在對水分虧缺敏感的生育階段適當采取非充分灌溉措施可以提高作物的品質，從而節約灌溉水量，增加農民經濟收入。關于非充分灌溉對作物品質方面的影響，目前已有較多田間試驗和模型等相關研究。Wang等研究發現在番茄的任一生育期采取非充分灌溉方式都對果實品質提高有正向作用，在花期和坐果期尤為顯著。Patel等對非充分灌溉條件下不同基因型硬粒小麥籽粒的色斑現象和品質進行了研究。王瑞萍等對不同生育階段不同程度的水分虧缺對河套蜜瓜產量和品質的影響進行了分析。季延海等研究了灌溉量對番茄生長和品質的影響，明確了灌溉量對番茄品質的調控效果。目前在作物水分與品質響應相關的研究中，并沒有形成類似水分與產量的明確函數關系，主要針對特定的作物，得到水分虧缺對果實品質指標如還原性糖、可溶性固形物等產生的影響。目前只有極少數研究將非充分灌溉對作物品質的影響納入水資源優化配置中。陳金亮進行了番茄果實生長和糖分模擬及節水調質灌溉決策研究，通過田間試驗得到了不同品質指標下的水分—品質函數關系。但這些研究在優化模型中沒有考慮到不確定因素以及非充分灌溉過程的環境效應。

采取非充分灌溉手段除了能提高水分生產力和作物品質，在作物生育期內也會對污染物的淋失過程產生相應的影響，這種影響可以通過灰水足跡理論來進行表示。2008年Hoekstra等明確了灰水足跡的概念，灰水足跡是指稀釋生產活動中產生的污染物，使水質符合環境標準所需的水量，它可以量化農業生產對環境的負面影響。目前涉及灰水足跡的研究主要是評價和量化分析，而將其運用于優化決策的研究較少，僅有個別研究基于水足跡理論優化了農作物的種植結構。其中，Galan-Martin等以西班牙小麥生產為例研究了考慮生產和環境標準的雨養和灌溉農業區的多目標優化；Chu等利用灰水足跡對作物種植結構進行了優化。然而，目前的研究大多忽視了灰水足跡的不確定性，但由于不同地區灌溉水量的不同，且作物對農用化學物質吸收利用不同，導致污染物的淋失存在不確定性，因此在模型中對灰水足跡的計算引入不確定性是必要的。

因此，本研究基于非充分灌溉和灰水足跡理論，考慮作物生產以及灌溉水資源系統中經濟、作物產量等參數的不確定性、灌水量對于作物品質影響的不確定性和污染物淋失的復雜性，建立多目標農業水資源優化配置模型，以期提高作物生產的綜合效益、減少灰水足跡，從而達到促進灌溉水資源高效綠色利用的目的。以水資源供需矛盾突出以及面源污染嚴重的河套灌區作為研究區，為決策者提供作物種植結構調整和灌溉水配置的優化方案。

1 材料與方法

1.1 模型方法

在解決實際問題時，決策者通常需要實現多個方面的目標，此時可以用多目標規劃模型進行解決，模型包含多個相互制約的目標函數，多目標規劃模型表示如下：

在一些決策問題中，根據實際情況常常要求決策變量是整數，整數規劃是解決這類問題的有效方法。而0-1整數規劃則以決策變量為0或1表示是或非，模型表示如下：

作物水分生產函數是描述需水量與作物產量之間關系的函數。本研究采用Jensen水分生產函數模型。

考慮到灌溉水量減少對于品質有不同的影響，而相比之下經濟作物對于品質有更高的要求，因此本研究選取河套灌區主要的兩種經濟作物番茄和瓜類進行研究。 根據作物特性以及目前的研究成果可知，當計算番茄果實相對品質綜合指標時，Additive模型的擬合效果最好，因此對番茄采用已有研究提出的番茄水分品質模型Additive模型。

式中為作物在虧缺灌溉方式下的品質指標；Q為作物在充分灌溉方式下的品質指標；β為作物在生育階段的品質水分虧缺敏感指數；ET和ET分別為第生育階段作物在區域的實際蒸散量和最大蒸散發量，mm。

本研究中番茄的品質指標采用可以反映果實綜合品質的果實品質綜合指數。采用綜合指數法，品質綜合評價值為各品質的加權評價值之和，對可溶性固形物、還原性糖、有機酸含量、糖酸比、維生素C含量、果實硬度和果色指數進行綜合評價，得到果實品質綜合指數。當全生育期進行充分灌溉時=1。

根據河套灌區目前瓜類水分虧缺與品質之間進行的田間試驗和分析研究，瓜類的品質指標選取對品質有重要影響的可溶性總糖含量，對于瓜類而言，雖然已有許多田間試驗對采取充分灌溉、輕度虧缺灌溉和重度虧缺灌溉時品質的變化進行研究，但目前并沒有研究給出水分-品質函數關系，因此需要在經濟-品質-環境多目標模型中引入區間規劃方法表征和處理不確定性。因此，本研究用區間不確定性的方法對水分對品質的影響進行表示，并選取與瓜類價格關系最大的可溶性總糖含量作為品質指標。

1.2 水資源優化配置模型

為了達到配水目的，本研究基于非充分灌溉和灰水足跡理論，運用作物生產函數、非充分灌溉與作物之間的關系構建經濟效益目標和作物品質目標函數，使用多目標整數規劃建立作物經濟效益-品質-環境多目標模型，對作物生育期內的灌溉水量進行優化配置，使作物生產的綜合效益最大化，實現可持續發展，為決策者提供參考。結合目前非充分灌溉的相關研究，以及考慮到對于河套灌區灌溉管理的便利性，本研究對不同生育階段設置充分灌溉、輕度虧缺灌溉、重度虧缺灌溉3種選擇情況，參考文獻[28-29]分別設置為灌溉定額的100%、67%和33%。

1）模型建立

目標函數1：經濟效益最大

采用虧缺灌溉方式會減小作物的產量，進而減少作物生產帶來的經濟效益。此目標為作物生產帶來的經濟 效益的最大化。

式中為經濟效益，元；S為作物的種植面積，hm；P為作物的價格，元/kg；Y為作物在充分灌溉條件下的最高產量，kg/hm；P為第生育階段的有效降水量，mm；為虧缺灌溉程度選項，即減少灌水量的程度；X為二進制變量，表示種植區域是否在作物生育階段采取灌溉方式，0代表采用，1代表不采用；a為種植區域在作物生育階段采取的虧缺灌溉程度，即采取減少不同灌水量份額的方式下的虧缺灌溉比例；λ為作物的缺水敏感指數；為當地水價，元；為灌溉水利用系數。

目標函數2：作物品質最優

采用虧缺灌溉方式可以在一定程度上提高果實的品質，此目標函數旨在尋求作物品質的最優值。

式中Q為充分灌水條件下作物的品質指標。

目標函數3：作物生產帶來的灰水足跡最小

在干旱地區，作物生產的灰水足跡與灌溉水量有關，采取虧缺灌溉方式會減少對作物生產帶來的灰水足跡。此目標旨在尋求作物生產帶來的灰水足跡的最小值。

式中Q為作物生育期內充分灌水條件下污染物淋失量，kg/hm；C為環境標準允許的污染物最大濃度，kg/m；C為作物生育期地下水污染物濃度，kg/m。

約束條件：

①糧食安全約束

為了避免影響區域的糧食安全性，需要保證每一區域的產量能夠滿足最低需求量。

式中D為區域的作物需求量，kg。

②可用水量約束

對于每一地區的作物，灌水量不能超過該地區可以提供給作物的農業可用水量。

式中N為區域作物的農業可用水量，m。

③二進制決策變量約束

④虧缺灌溉選項約束

對于作物的每個生育階段，只能選取1種灌溉方式。

2）模型求解

本文采取Hassan方法對目標進行規范化處理。

對于求最大值類型目標函數：

對于求最小值型目標函數：

因此，目標函數可以轉化為：

對于多目標模型的重要性權重，本文采用Saaty提出的1-9比例標度法。分析決策者的三種不同偏好，即分別偏向于追求經濟效益、作物品質以及對環境的低水平負面效應，構造判斷矩陣。本文考慮的3種不同情況權重系數計算結果分別為=0.637、=0.258、=0.105；=0.258、=0.105、=0.637；=0.258、=0.637、=0.105。、、分別代表偏好經濟效益、作物品質、環境效益情景的權重系數。

因此，多目標模型可以整合成如下單目標形式進行求解：

1）模型建立

對于瓜類而言，目前并沒有參考水分-品質函數關系的相關研究，但是有許多田間試驗對采取充分灌溉、輕度虧缺灌溉和重度虧缺灌溉時品質的變化進行研究，因此結合已有文獻的田間試驗研究，在模型中引入不確定方法表示采取不同灌水量對于品質的響應值。本文在模型中加入區間不確定性方法，將模型改進為多目標區間混合整數規劃配水模型。目標函數可以改進為如下形式：

2）模型求解

首先對目標函數進行規范化處理，采用層次分析法將多目標函數轉化為如下形式：

2 結果與分析

2.1 番茄配水模型結果分析

不同生育階段番茄對品質的缺水敏感指數根據陳金亮的研究結果，苗期、花期、坐果期、紅熟期分別為0.005 7、0.005 7、0.183 1、0.342 9，缺水敏感指數代表作物品質對于水分虧缺的敏感程度，其值越大代表作物品質在此生育階段對水分虧缺越敏感。本文以經濟-品質-環境、環境-經濟-品質、品質-經濟-環境3種偏好為例，分析農業水資源優化配置結果。其中經濟、品質和環境的順序反映了決策者對于這一特性的偏好排序。

當決策者對于經濟效益的偏好高于品質和環境時，配水結果如圖1所示，圖中百分比指作物灌溉水量占充分灌溉所需水量的百分比。通過求解結果可以得出：不同區域的苗期和花期灌溉程度均為100%，僅烏拉特后旗在苗期時灌溉程度為67%，采取輕度虧缺方式。這一結果與實際操作中苗期和花期的灌溉情況相符，因為苗期和花期的充分灌溉對于作物產量的提高作用明顯，因此基本不采取虧缺灌溉方式。而坐果期和紅熟期采取了不同程度的虧缺灌溉方式，紅熟期灌溉程度均為33%，而坐果期僅有磴口縣灌溉程度為33%，烏拉特前旗、烏拉特中旗、烏拉特后旗為67%，其余地區均為100%，可見紅熟期的灌溉水量比坐果期少，這也是因為當番茄生長到后期時，灌水量對產量的提高作用已經不大，相反灌溉水量過多還會引發果實的腐爛。

圖1 經濟-品質-環境多目標情景下番茄生育期配水結果 Fig.1 Water distribution results of tomato growth period under the multi-objective scenario of economy-quality-environment

當決策者對于環境的偏好高于經濟和品質時，配水結果如圖2所示，不同生育期的灌溉水量均減少，除烏拉特后旗的苗期外均采用了輕度虧缺或重度虧缺的灌溉方式。并且在不同區域的作物生育期中，灌溉程度主要為33%，部分為67%，重度虧缺灌溉方式采用較多。苗期的灌溉水量均高于其他生育階段或與其他生育階段相當，這是因為苗期是根莖生長的主要時期，對于后續作物的生長結果有重要作用，并且在苗期進行虧缺灌溉對作物品質的提高作用并不大。因此在其他生育階段采取重度虧缺灌溉更為合適。

圖2 環境-經濟-品質多目標情景下番茄生育期配水結果 Fig.2 Water distribution results of tomato growth period under the multi-objective scenario of environment-economy-quality

當決策者對于品質的偏好高于經濟和環境時，如圖3所示，在苗期和花期的灌溉程度主要為100%，部分為67%，與當決策者偏好經濟目標時的結果接近，主要采取充分灌溉的方式進行，這主要也是因為在生育階段初期進行充分灌溉對作物果實的生長有利。而坐果期和紅熟期對作物主要采取重度虧缺灌溉的方式，紅熟期灌溉程度均為33%，坐果期主要為33%，僅烏拉特中旗、烏拉特后旗為67%，這與偏好經濟時的結果較為接近。推測主要原因是當果實生長時，采取虧缺灌溉可以限制果實的體積膨大，使果實內的水分含量相對減少而有助于形成可溶性糖等營養物質，從而提高作物的品質。

圖3 品質-經濟-環境多目標情景下番茄生育期配水結果 Fig.3 Water distribution results of tomato growth period under the multi-objective scenario of quality-economy-environment

分別求解經濟、品質和環境3個單目標模型，與不同偏好水平下的3種多目標模型進行對比，如表1所示。與經濟-品質-環境多目標模型相比，雖然只考慮經濟單目標時，經濟效益將提高6%，為33.3×10元，但作物的灌溉水量為5.57×10m，灰水足跡高達2.58×10m，均提高了10%左右，品質指標僅為7.2，減少了14%。

表1 番茄多目標與單目標模型結果對比 Table 1 Model results comparison of multi-objective model and single-objective model of tomatoes

這說明，只考慮經濟目標的配水方案盡管經濟效益較經濟-品質-環境多目標好，但品質較低，灌溉水量更多，灰水足跡更大，對環境的負面效應明顯，因此采用經濟-品質-環境多目標模型能兼顧品質指標和環境效益，彌補單目標模型只注重經濟而忽視品質、環境目標的缺陷。采用環境單目標方式時，盡管灰水足跡少7%，但在品質指標相同的情況下，經濟效益僅為12.4×10元，相比環境-經濟-品質多目標減少了16%，經濟效益大打折扣。同理，采用品質單目標的方式，盡管灰水足跡減少了29%，但在品質指標相同的情況下，經濟效益相比品質-經濟-環境多目標減少幅度高達42%，減少了8.9×10元。可以看出品質-經濟-環境、環境-經濟-品質多目標相較于單目標，能在犧牲較小程度環境效益的情況下，最大化增加經濟效益。因此，無論采取哪種偏好的多目標模型，其整體水平均優于單目標模型。

針對三種偏好的多目標模型，決策者可以根據不同的需求進行選擇。當采取經濟-品質-環境多目標模型時，可以創造較高的經濟效益，但是灌溉水量為5.05×10m、灰水足跡為2.33×10m，顯著高于其他兩種多目標模型的結果，品質也不如另外兩種情況，對河套灌區水資源短缺及面源污染現狀而言并不適用，如果當地有較為緊迫的節約水資源和保護環境的要求時，這種方式不宜采用。當采取環境-經濟-品質多目標模型時，灌溉水量為2.67×10m、灰水足跡為1.24×10m，品質指標為8.7，可以較大幅度節約灌溉水量，減少灰水足跡，且品質也較高，但經濟效益相比經濟-品質-環境、品質-經濟-環境多目標結果分別減少53%、31%。河套灌區作為重要的糧食經濟區域，經濟效益減少過多不能滿足現實情況，這種情況適合當地經濟壓力并不大時采取。當采取品質-經濟-環境多目標模型時，果實的品質水平與品質單目標的結果均為8.7，品質較高，而經濟效益目標值、所需灌溉水量以及灰水足跡分別為21.3×10元、3.51×10m、1.62×10m，均處在其他兩種多目標模型結果之間，既可以節約灌溉水量，又對環境較為友好，同時也能創造良好的經濟效益，因此這是一種比較溫和的方式，可以在保證品質的同時不致使其他目標值水平過差。該番茄配水模型可適用于有確定水分-品質函數的經濟作物。

2.2 瓜類配水模型結果分析

根據河套地區目前已有的試驗及研究成果對瓜類品質指標進行計算。本研究選取與瓜類價格關系最大的可溶性總糖含量作為品質指標。不同生育階段不同虧缺灌溉程度下的品質變化數據來自河套灌區已有田間試驗的結果。

當決策者的偏好依次為經濟、品質、環境時，模型結果如圖4所示，圖中上下限表示運用基于區間不確定性方法的多目標區間混合整數規劃配水模型求解的灌溉程度上下限。不同區域的作物在苗期和成熟期灌溉程度主要為100%，采用充分灌溉方式，在伸蔓期和膨大期灌溉程度主要為67%，部分為33%、100%，基本采取了不同程度的虧缺灌溉方式。所有區域中烏拉特后旗的灌溉水量最少。磴口縣、杭錦后旗、臨河區和五原縣灌溉程度均為67%以上，灌溉水量較多，灌溉方式類似。在五原縣、烏拉特前旗、烏拉特中旗和烏拉特后旗地區，不同時期的灌溉程度有可選范圍，可根據當地情況適當調整灌溉程度。

圖4 經濟-品質-環境多目標情景下瓜類生育期配水結果 Fig.4 Water-distribution results of melon growth period under the multi-objective scenario of economy-quality-environment

當決策者的偏好依次為環境、經濟、品質時，如圖5所示。不同區域在作物的整個生育階段基本需要采取虧缺灌溉的方式，灌溉水量明顯減少。在伸蔓期和膨大期大多數區域灌溉程度為33%，采用重度虧缺的灌溉方式，在烏拉特中旗和烏拉特后旗可以將重度虧缺調整為輕度虧缺方式，決策者可以按實際情況選擇。在苗期和成熟期，決策者可以選取重度虧缺的灌溉方式，但若當地的水資源壓力不大，也可以作適當的調整。

圖5 環境-經濟-品質多目標情景下瓜類生育期配水結果 Fig.5 Water distribution results of melon growth period under the multi-objective scenario of environment-economy-quality

當決策者的偏好依次為品質、經濟、環境時，如圖6所示。決策者在各個區域都可以選擇較為靈活的調整，在苗期和成熟期較多區域采取充分灌溉方式，但若當地水資源較為緊張，也可以適當減少灌溉水量。在伸蔓期和膨大期灌溉程度主要為67%，部分為33%，采取虧缺灌溉的方式，并且在膨大期虧缺程度更大，這主要是因為在這兩個時期減少灌水量對作物品質提高作用較大，限制果實的膨大可有助于果實內營養物質的產生，使作物的品質更優。

圖6 品質-經濟-環境多目標情景下瓜類生育期配水結果 Fig.6 Water distribution results of melon growth period under the multi-objective scenario of quality-economy-environment

將求解出的多目標模型結果與只考慮經濟、環境或品質的單目標模型相對比，如表2所示。經濟-品質-環境多目標與經濟單目標模型的經濟效益分別為[9.5×10,25.2×10]元、[9.7×10,25.8×10]元，相差較小，但經濟單目標模型的品質指標為[11.1,20.5]，灌溉水量為[7.85×10,10.01×10]m，灰水足跡為[2.42×10,4.23×10]m，品質指標減少了35%～54%，灰水足跡增加了13%～15%，相較而言經濟-品質-環境多目標的品質指標、環境效益均有較大程度提升，更適合實際情況。而環境和品質單目標求解結果相較于環境-經濟-品質、品質-經濟-環境多目標結果，又使經濟效益減小過多，分別減少15%和8%左右，不適合實際情況；環境-經濟-品質、品質-經濟-環境多目標與環境、品質單目標模型相比，則能在注重環境、品質目標的前提下，同時最大化增加經濟效益，更加綜合考慮實際農業生產中各個目標的需求。采取多目標模型的計算結果要優于這3種單目標模型。

表2 瓜類多目標與單目標模型結果對比 Table 2 Model results comparison of multi-objective and single-objective model of melons

比較3種偏好下多目標模型的結果可看出，當采取經濟-品質-環境多目標的求解結果時，品質指標均低于其他兩種多目標結果，求解出的經濟效益為[9.5×10,25.2×10]元，與環境-經濟-品質多目標相比，經濟效益提升了10%～20%，但灰水足跡明顯提升，提高了36%～48%，而與品質-經濟-環境多目標相比，經濟效益僅提升了2%～3%，但灰水足跡提升幅度較大，為8%～16%，不適于水資源和環境壓力較大時采用。當采取環境-經濟-品質多目標的求解結果時，灰水足跡和灌溉水量分別為[1.36×10,1.94×10] m、[4.43×10,4.68×10] m，均明顯降低，品質處于其他兩種偏好的求解結果之間，但經濟效益較低，僅為[7.6×10,22.7×10]元，這種方式對環境和水資源較為友好。當采取品質-經濟-環境多目標的求解結果時，品質達到[25.3,32.7]的最優值，而經濟效益為[9.2×10,24.8×10]元，灰水足跡為[1.94×10,3.15×10] m，灌溉水量為[6.32×10,7.62×10] m，均位于其他兩種偏好多目標的求解結果之間，不會達到較差的水平。該瓜類配水模型可適用于無確定水分-品質函數的經濟作物，決策者可以在不同偏好的多目標模型求解結果中按需選擇。

3 結 論

針對非充分灌溉下水資源優化配置的模型研究中沒有充分考慮灌溉水量減少對于經濟效益、作物產量和品質、環境效應的多重影響及其中的不確定性的問題，本文引入多目標規劃、區間規劃和整數規劃方法，建立了基于灰水足跡和非充分灌溉的經濟-品質-環境多目標整數規劃模型，提出了番茄和瓜類生育期內灌溉水量的科學配置方案。結論如下：

1）通過與相應的單目標模型之間的對比發現，多目標模型結果優于單目標的情況。其中番茄品質-經濟-環境多目標模型品質指標為8.7，經濟效益為21.3×10元，灰水足跡為1.62×10m，灌溉水量為3.51×10m，瓜類品質-經濟-環境多目標模型品質指標為[25.3,32.7]，經濟效益為[9.2×10,24.8×10]元，灰水足跡為[1.94×10,3.15×10]m，灌溉水量為[6.32×10,7.62×10]m，可以使各項指標均處在總體較好情況。

2）通過分析優化后的配水方案，在分配作物灌溉水資源時，如果決策者偏好于環境目標，則各生育期內作物灌溉水量占充分灌溉所需水量的百分比，即灌溉程度主要為33%，66%的灌溉程度次之，虧缺灌溉的程度較高；如果決策者偏好于經濟目標，則各生育期內灌溉程度大部分為100%，灌溉水量均相對較多，虧缺灌溉的程度較小；而當決策者偏好于品質目標時，灌溉水量則介于前述兩種情況之間。

3）針對作物進行分析可以看出，番茄在苗期和花期灌溉程度均為100%，灌水量要大于坐果期和紅熟期；而瓜類虧缺灌溉主要在伸蔓期和膨大期，灌溉程度主要為33%、66%。