基于變溢流壓力的電液機(jī)械臂節(jié)能控制策略

張嘯甫，施光林

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，上海 200240)

引言

機(jī)械臂已經(jīng)在工業(yè)等領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用，用來代替人們從事具有重復(fù)性、危險(xiǎn)性、精確性的任務(wù)。相比于傳統(tǒng)機(jī)械臂采用的電機(jī)驅(qū)動(dòng)方式，電液驅(qū)動(dòng)由于具有更高的功率質(zhì)量比，具有更高的承載能力，經(jīng)常被使用在需要高負(fù)載的應(yīng)用場合，例如工程機(jī)械、航空航天、農(nóng)業(yè)機(jī)械等[1]。但是液壓系統(tǒng)存在能效過低的嚴(yán)重缺陷，這是由于大多數(shù)液壓系統(tǒng)在追求高精度與快速響應(yīng)能力時(shí)采用了閥控系統(tǒng)，動(dòng)力站的輸出動(dòng)力一般來說是恒值，但液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)所需要的能量取決于負(fù)載情況。在多數(shù)情況下，執(zhí)行機(jī)構(gòu)跟蹤軌跡所需要的能量遠(yuǎn)小于輸入能量，且其隨著負(fù)載變化而發(fā)生變化，那么多余的能量需要通過溢流閥排回油箱，造成了較高的能量損失。

對此，針對降低液壓系統(tǒng)的能量損耗問題，一些學(xué)者展開了相關(guān)的研究。這些研究包括：負(fù)載敏感系統(tǒng)[2-4]，即感應(yīng)負(fù)載所需的壓力或者流量變化，通過負(fù)載敏感閥控制變量泵以達(dá)到節(jié)能效果；泵控系統(tǒng)，即利用變量泵或者伺服電機(jī)-定量泵驅(qū)動(dòng)方式，直接控制液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)，通過調(diào)節(jié)變量泵排量或者伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速，使得輸出功率與負(fù)載相匹配，從而實(shí)現(xiàn)能耗的降低[5-8]。但是泵控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)相比與閥控系統(tǒng)要慢的多，而且控制精度較低。也有學(xué)者利用開關(guān)慣性液壓系統(tǒng)來降低能量損失[9-11]，這種液壓系統(tǒng)通過一個(gè)高速開關(guān)閥來控制系統(tǒng)的流量或壓力，由于其不依賴于節(jié)流耗散，因此能效會(huì)得到提高。但是高頻率、低泄漏、低壓降的開關(guān)閥研發(fā)依舊面臨著重大挑戰(zhàn)。另外，基于這種開關(guān)思想，有學(xué)者設(shè)計(jì)了一組候選控制器和一個(gè)切換邏輯來控制液壓系統(tǒng)，并利用基于LQ最優(yōu)化方法，使候選控制器相對于節(jié)能系數(shù)的增益達(dá)到最優(yōu)，從而降低系統(tǒng)的能量損耗[12]。另外一種思想是基于實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)液壓系統(tǒng)的壓力，使得輸出功率與外部負(fù)載需要的功率盡可能的接近，例如采用有效作用面積實(shí)時(shí)變化的液壓缸作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)[13]，以及通過自適應(yīng)魯棒控制器直接調(diào)節(jié)非對稱液壓缸兩腔的壓力等[14]。

本研究提出一種基于變溢流壓力的非線性控制策略，在降低液壓系統(tǒng)能量消耗的同時(shí)，保證系統(tǒng)位置跟蹤性能。以一款液壓機(jī)械臂為研究平臺(tái)，推導(dǎo)其考慮液壓系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)面控制器，保證系統(tǒng)的位置跟蹤性能；與此同時(shí)，根據(jù)給定的理想位移，反解出實(shí)現(xiàn)該位移所需要的供油壓力，并將控制信號(hào)直接作用于比例溢流閥，使系統(tǒng)的供油壓力與負(fù)載匹配，降低溢流損失。

1 液壓機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型

液壓機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，具有3個(gè)自由度，每個(gè)關(guān)節(jié)由一套比例閥控非對稱液壓缸系統(tǒng)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)。

圖1 液壓機(jī)械臂結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of hydraulic manipulator structure

根據(jù)牛頓-歐拉迭代公式，可以得到機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型：

(1)

圖2 機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of manipulator driving joint

(2)

式中，bi為缸尾部鉸接點(diǎn)與連桿鉸點(diǎn)的長度；li代表連桿的有效作用長度；y0i為液壓缸兩個(gè)鉸接點(diǎn)的初始長度；αi為關(guān)節(jié)連桿末端鉸點(diǎn)與液壓缸末端鉸接點(diǎn)的夾角。液壓缸對應(yīng)的速度為：

(3)

式中,βi為關(guān)節(jié)連桿與液壓缸首端鉸接點(diǎn)的夾角；J2i為關(guān)節(jié)速度與液壓缸伸縮速度的映射函數(shù)。每個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩τi可計(jì)算得：

τi=Fyili=Fisin(βi)li=J1iFi

(4)

式中,Fi和Fyi分別表示液壓缸軸向輸出力及其垂直于連桿的分力；J1i為第i個(gè)關(guān)節(jié)扭矩與液壓缸推力的映射函數(shù)。傾角βi可由以下算式得到：

(5)

液壓缸兩腔的壓力動(dòng)態(tài)方程被描述為：

(6)

式中,βe，Ct和pli分別為油液體積彈性模量、總泄漏系數(shù)和液壓缸兩腔間的壓差；第i個(gè)液壓缸兩腔體積V1i=V01i+A1yi，V2i=V02i-A2yi，其中V01i，V02i分別為液壓缸兩腔的初始體積；A1和A2為液壓桿無桿腔與有桿腔的有效作用面積；q1i和q2i為液壓桿兩腔的流量，可表示為：

(7)

式中,kq為流量增益系數(shù)；xv代表由輸入電壓控制的閥芯位移；ps和pr分別為系統(tǒng)的供油壓力與回油壓力。由于伺服閥的頻寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的頻寬，其控制電壓與閥芯位移之間的關(guān)系在這里看作是比例環(huán)節(jié)，即xvi=kvui，其中kv為控制增益。定義第i個(gè)液壓缸的輸出力為：

Fi=A1p1i-A2p2i

(8)

(9)

式中：

J1=diag(J11,J12,J13),J2=diag(J21,J22,J23)，

b=diag(b1,b2,b3)∈R3×3,

g1=diag(g11,g12,g13),

g2=diag(g21,g22,g23)∈R3×3,

g3=[g31,g32,g33]T∈R3×1

關(guān)節(jié)軌跡θ以及其各階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)有界的，從而對應(yīng)的液壓缸位移、速度以及加速度均連續(xù)有界。

2 變溢流壓力控制策略

液壓系統(tǒng)能量損失主要由溢流損失造成。為了降低液壓系統(tǒng)的能量消耗，提出變溢流壓力的節(jié)能控制策略。為了簡便分析，以第一個(gè)關(guān)節(jié)為例，在已知機(jī)械臂關(guān)節(jié)理想位移x1d條件下，根據(jù)式(2)、式(3)可得到液壓缸的理想位移y1d及其各階導(dǎo)數(shù)。

(10)

若已知系統(tǒng)的回油壓力，通過式(7)可以反解出第一根液壓缸理論有桿腔壓力p21為：

(11)

式中,u1為第一個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入。通過式(8)可以得到理論無桿腔壓力p11：

(12)

將理論無桿腔壓力帶入到流量-壓力公式(7)中，可以得到對應(yīng)的理論溢流壓力為：

(13)

(14)

分別計(jì)算3個(gè)關(guān)節(jié)對應(yīng)的理論溢流壓力，取其最大值作為整個(gè)系統(tǒng)的溢流壓力ps=max{ps1,ps2,ps3}。由于系統(tǒng)存在著不確定性與擾動(dòng)等因素，為了安全穩(wěn)定起見，根據(jù)理論位移計(jì)算的溢流壓力需要補(bǔ)償上一個(gè)安全閾值，則上式修改為：

psd=ps+σ

(15)

式中σ為補(bǔ)償壓力，根據(jù)仿真情況選擇補(bǔ)償壓力范圍為1～2 MPa；psd為最終確定的溢流壓力。該壓力信號(hào)將直接作用于比例溢流閥，根據(jù)輸入的理想位移控制液壓機(jī)械臂系統(tǒng)的溢流壓力，進(jìn)而降低能量消耗。

3 動(dòng)態(tài)面控制器

為了保證系統(tǒng)的位移跟蹤性能，根據(jù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)面控制器。該控制器是基于反步法思想發(fā)展而來[15]。定義第一個(gè)誤差面e1及其微分方程為：

(16)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性設(shè)計(jì)x2的虛擬控制率x2v及其一階濾波方程為：

(17)

式中，γ1為時(shí)間常數(shù)；k1為正的控制增益矩陣；x2f為濾波后的信號(hào)。同理可得第二個(gè)誤差面e2及其微分方程為：

(18)

定義x3的虛擬控制律x3v及其濾波信號(hào)為：

(19)

式中，γ2是時(shí)間常數(shù)，k2是正的控制增益矩陣；x3f為濾波后的信號(hào)。定義第三個(gè)誤差面e3及其微分方程為：

(20)

則根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性，控制器的輸入u可構(gòu)造為：

u=(g2kuβe)-1[g1βe(J2x2)-g3βeCt-

(21)

(22)

(23)

(24)

基于以上分析，所設(shè)計(jì)的控制器保證了閉環(huán)系統(tǒng)中的狀態(tài)變量有界，控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

4 仿真結(jié)果與分析

基于以上分析，搭建基于MATLAB/Simulink的仿真模型。3個(gè)關(guān)節(jié)的理想位移輸入分別為：

θ1=21sin(0.4πt+3π/2)+21，

θ2=-25sin(0.2πt+3π/2)+155，

θ3=-30sin(0.4πt+3π/2)+210。

末端x，y方向上受力分別為50 N。動(dòng)態(tài)面控制器參數(shù)選擇為：k1=diag(20,18,35)，k2=diag(55,70,60)，k3=diag(500,500,500)，γ1=γ2=0.1；其他模型參數(shù)如表1所示。

表1 液壓機(jī)械臂模型參數(shù)Tab.1 Model parameters of hydraulic manipulator

定義系統(tǒng)運(yùn)行過程中的能量消耗為：W=∑psd(t)qsΔt，其中Δt為采樣周期，psd為計(jì)算的理論溢流壓力，qs為泵流量。為了驗(yàn)證所提算法的有效性，兩種控制策略被用來進(jìn)行對比：VPC-基于可變供油壓力的動(dòng)態(tài)面控制器；CPC-基于不變供油壓力的動(dòng)態(tài)面控制器。同時(shí)，最大絕對值誤差emax與平均絕對值誤差eav兩個(gè)指標(biāo)衡量控制器的位置跟蹤性能。

液壓機(jī)械臂系統(tǒng)的溢流壓力如圖3所示，圖4為系統(tǒng)在兩種策略下的能量消耗情況。在運(yùn)行時(shí)間段內(nèi)，其中基于VPC策略的系統(tǒng)消耗能量為W=24.98 kJ，基于CPC策略消耗的能量為W=48.12 kJ，相比較而言，可變溢流壓力的非線控制策略節(jié)省能量消耗48.08%。VPC控制器會(huì)根據(jù)輸入的理想位移信號(hào)實(shí)時(shí)地反解出理想位移對應(yīng)的理想溢流壓力，并以該壓力控制溢流閥，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)能耗的降低。

圖3 液壓機(jī)械臂系統(tǒng)供油壓力Fig.3 Structure of manipulator driving joint

圖4 液壓機(jī)械臂系統(tǒng)能量消耗Fig.4 Structure of manipulator driving joint

圖5所示為液壓機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的位移跟蹤情況，表2給出了誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中VPC的最大跟蹤誤差為0.3515°，CPC的最大誤差為0.3283°。從結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，基于可變溢流壓力的非線性控制效果與傳統(tǒng)的定溢流壓力控制效果接近一致。盡管VPC的最大絕對值誤差略高于CPC，但是其均值誤差要小于CPC，驗(yàn)證了可變溢流壓力控制策略保證控制精度的同時(shí)，降低了系統(tǒng)的能量消耗。

表2 各個(gè)關(guān)節(jié)位移跟蹤誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)Tab.2 Evaluation indexes of tracking errors

圖5 兩種策略下各個(gè)關(guān)節(jié)位置跟蹤情況Fig.5 Position tracking of each joint under two strategies

5 結(jié)論

本研究為降低液壓機(jī)械臂系統(tǒng)運(yùn)行過程中的能量消耗，提出一種基于可變溢流壓力的非線性控制策略。針對一款三自由度液壓機(jī)械臂，推導(dǎo)其考慮液壓系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型，并基于該模型設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)面控制器，保證系統(tǒng)的跟蹤控制性能。同時(shí)，利用液壓系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，根據(jù)輸入的理想位移實(shí)時(shí)地反解出對應(yīng)的理想溢流壓力，將該壓力值反饋到控制器中并控制溢流閥以達(dá)到可變溢流壓力效果，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)能耗的降低。通過對比仿真結(jié)果，發(fā)現(xiàn)該策略在具備傳統(tǒng)定溢流壓力控制精度的同時(shí)，降低了能量消耗，驗(yàn)證了該方法的有效性。