五軸加工路徑空間圓弧插補新型算法研究*

吳陳燕

(臺州職業技術學院，浙江 臺州 318000)

1 概述

使用CNC機床進行三軸聯動的直線切削時，控制器讀入2個CL(Cutter Location)data后，3個線性軸(X軸、Y軸、Z軸)即會同時移動，使刀具沿著兩點(起點與終點)間最短距離的直線方向移動，以進行切削。在進行五軸聯動的直線切削時，除了3個線性軸的移動之外，還包括2個旋轉軸(如B軸和C軸)的旋轉運動，其運動的復雜度大幅增加。圖1所示為計算機輔助設計(CAD)至計算機數值控制(CNC)的操作流程圖。應用CAD軟件設計零件后，制造工程師將設計的CAD model導入計算機輔助制造(CAM)軟件中，以進行刀具路徑的規劃。當刀具路徑規劃完成后，CAM軟件會依據設定的切削容差、步進距離或整體公差等，將刀具路徑離散成刀具路徑的CL data，然后再利用每一臺五軸加工機床所專用的后處理程序(Post processor)，將CL data轉換成NC data(或稱為NC程序)，最后才將NC程序傳入CNC加工機床以進行零件的加工[1-3]。

當刀具路徑的CL data在CAM軟件中進行NC程序轉換時，CAM的后處理器會在CL data間自動插入一些點數據，此時插入點的動作是由CAM后處理器的插補器完成的；另一方面，當NC程序導入五軸加工機床后，在操作者按下五軸加工機床的開始執行程序按鈕后，若五軸加工機床的控制器無RTCP(Rotation tool center point)的功能，則CNC控制器會依據每一個伺服機構的需求，在NC程序單節間自動再插入所需的點數據，此時插入點的動作則是由CNC控制器的插補器完成的，所以在CNC加工前有2次插補的動作，分別是由CAM的插補器及CNC控制器的插補器完成的[4]。

特別在復雜的五軸圓弧切削的研究方法方面，本研究提出五軸空間圓弧插補法則，將修正路徑偏離所需的插補點全部計算出來。

下述將探討五軸空間圓弧插補算法，五軸加工時，由于控制器在讀入下一點的NC data時，是將5個坐標軸(其中有2個旋轉軸)的運動資料全部以線性插補的方式處理，因此五軸的NC程序在加工圓弧時，其實際切削路徑不一定是沿著短直線運動，而可能是空間中的一條曲線路徑。

2 五軸圓弧插補算法

1)求得五軸圓弧加工的內插點，以使圓弧加工滿足加工精度要求。

圖2所示為利用小圓弧中點CCm來求得插補點的示意圖，此圖中若小圓弧的起點S及最大容許誤差δ為已知，可運用公式求出小圓弧的另一個端點I，該點就是使刀具路徑平順化所需加入的插補點。注意：在計算過程中必須先假設此小圓弧非常小，所以其最大誤差量才會位于小圓弧的中點CCm上[5]。

δ≡|Cm1-CCm|=

(1)

五軸圓弧切削的已知條件如圖3所示。

若已知五軸圓弧切削的方程式為C(βi)，以下簡稱圓弧方程式，其中βi為圓心角，假設刀具在圓弧切削起點CL0時βi=0，代入圓弧方程式C(βi)，可得圓弧切削起點CL0的坐標為C(0)，運用五軸圓弧插補法求得所需圓弧插補點的步驟如下。

a.步驟1：求出第1個圓弧插補點CLβ1的坐標方程式C(β1)。

假設圓弧第1個插補點的圓心角為β1，將β1代入圓弧方程式(見式2)，可得到第1個插補點CLβ1的點坐標方程式C(β1)(見圖4)。

b.步驟2：將已知的點數據由CLdomain轉換至NCdomain，運用CLtoNC的計算公式，將已知起點CL0的坐標值以及含未知參數β1的點坐標方程式CLβ1轉換到NCdomain，即可得到點NC0的坐標值以及含未知參數β1的點坐標方程式NCβ1(見圖5)。

C(β)=Mm[+]·Mz[-A3]·My[-A2]·

Mz[-A1]·Mp[β]

(2)

式中，旋轉角A1、A2及A3分別為：

(3)

A2=cos-1zi

(4)

(5)

c.步驟3：求直線NC(βi)的中點坐標NCm，在點NC0及點NCβ1之間建立直線方程式NC(βi)：

NC(βi)=(1-βi)NC0+NCβ1,

其中，0≤βi≤1

(6)

將點NC0及NCβ1代入計算中點NCm的公式，可得

(7)

即可求出直線NC(βi)的中點坐標NCm(見圖6)。

2)規劃圓弧內插點之刀軸向量，以減低刀軸軸向變化的跳動度。

a.步驟4：將中點NCm由NCdomain再轉換回到CLdomain。

將點NCm代入NCtoCL轉換的計算式，便可求得點CCm的坐標(見圖7)，在此必須再次強調五軸加工時因為多了2個旋轉軸同時在運動的關系，所以即使中點NCm(在NCdomain)是在直線NC(βi)的中點上，但該點經過NCtoCL坐標轉換后，對應到CLdomain上的點CCm卻一定不會落在圓弧C(βi)路徑上的兩點(CL0與CLβ1)之間[6-7]。

b.步驟5：在點CL0與CLβ1間求出圓弧正確路徑上的中點CLm。

將點CLβ1的圓心角β1與CL0的圓心角β0(注意β0=0)代入計算中點βm的公式

(8)

即可求出在圓弧正確路徑上的中點坐標CLm=C(0.5β1)(見圖8)。

c.步驟6：計算正確路徑的中點CLm與實際切削路徑的中點CCm間的誤差。

圖9所示為計算圓弧正確路徑上的中點CLm與實際切削路徑的中點CCm的距離δ：

δ=|CLm-CCm|

(9)

d.步驟7：求出第1個圓弧插補點的參數值β1。

若已知圓弧加工容許誤差為某一定值ε，再將2個都含未知參數β1的中點坐標方程式CLm及CCm代入計算式，即可求得第1個圓弧插補點的參數值β1(見圖10)。

e.步驟8：將第1個插補點的CL與NC坐標求出。

將參數值β1代回步驟1的點坐標方程式C(β1)，即可求得第1個圓弧插補點的CL坐標CLβ1。另外，將參數值β1代回步驟2的點坐標方程式NCβ1，即可求得第1個圓弧插補點的NC坐標NCβ1(見圖11)。

因為0≤βi≤1，所以步驟7所計算出來的β≥1時，表示CL0與CL1之間的所有插補點都已經被求出；反之，若β<1，則表示應該還有其他的插補點需要計算，此時可將CLβ1指定為CL0，再假設第2個插補點的參數為β2，然后重復步驟1～步驟8，即可逐步地將每一個插補點一一算出(見圖12)。

3 仿真驗證

依據本研究所提出的五軸圓弧插補法求插補點的8個步驟，求出圖13所示介于點CL0及點CL1之間的所有插補點及其刀軸向量，并透過模擬切削來驗證連接這些插補點確實可產生一條刀軸向量呈二次曲線變化的圓弧切削路徑[8]。

假設已知：起點CL0的球刀中心坐標為(6.152,-1.880, 30.392)，起點的刀軸向量N0=(i,j,k)=(0.586 7,-0.212 6, 0.781 4)，圓弧半徑r=5 mm，圓柱的軸向量Nc=(-0.174,-0.337, 0.925)及刀具逆時針方向移動。

此外，假設已知：WCS原點至C軸旋轉中心的偏移量(Dx,Dy,Dz)=(0, 0, 0)，C軸至B軸的偏移量(Ex,Ey,Ez)=(0, 0, 0)。另外，假設允許的最大加工誤差量為ε=0.01 mm且圓心角β由0°變化至100°，求所需的插補點。假設起點的參數β=0，第1個插補點的參數為β1。

依據本研究所提出的五軸空間圓弧插補法求插補點的步驟1～步驟6，可以計算出五軸圓弧內插法所求出的NC坐標點，運用這些點數據就可以使五軸機床進行加工。所以如果將這些NC data再加上適當的程序頭、尾，就是一個可用于五軸加工機床的NC程序。圖14所示為在實體切削軟件(VERICUT)上仿真圓弧切削，可明顯地看出刀具在切削過程中，刀軸向量呈二次曲線的路徑而變化，因此只要使用者能適當地選擇(或調整)軸向夾角θi計算式中的n及m值，就能避開五軸圓弧切削的干涉，達成五軸空間圓弧切削的目的[2]。

(10)

4 結語

五軸加工機床因為多了2個旋轉軸的運動，使其運動的復雜度及工作中的危險性都大幅提升，本研究深入探討五軸加工機床在五軸聯動時的路徑偏離問題，并提出解決的方法。綜上所述，本文研究成果如下：1)提出五軸空間圓弧插補法，可由使用者依需要自行設定刀軸向量，并自動產生五軸空間圓弧加工的刀具路徑，此法同樣可適用于任意類型的五軸加工機床；2)提出五軸空間圓弧切削容差界限概念，可提高五軸空間圓弧加工的精度。透過計算2個CL點之間最大誤差的計算式，可實時判斷需要插入點的時機[9]。

本研究所提出的五軸空間圓弧插補法結合許多經驗與知識，而每項功能都有其獨特的用途，若能以本研究的成果作為基礎，繼續探討其他的五軸加工后處理問題，將可開拓更大更深的五軸加工機床研究視野。