飛秒激光加工金屬材料的相變研究進展

陳前軍,宋成偉,張海軍,黃滟荻,李 國,杜 凱

(中國工程物理研究院激光聚變研究中心,四川 綿陽 621000)

1 引 言

飛秒激光屬于超快超短激光的一種,具有極短的脈寬、高峰值功率、高重頻、較寬的光譜范圍等特點,其在工業制造、能源信息等方面發揮著精密加工、信息傳輸等重要作用,尤其是它在加工一些超硬材料、難加工材料及復雜微納結構方面,彌補了傳統機械加工方式的不足。近幾十年來,飛秒激光在加工金屬材料方面也得到了充分的應用和發展[1]。

然而在目前的實際應用過程中,飛秒激光加工金屬材料時存在材料重鑄、加工殘渣以及器件邊緣翹曲變形等工藝問題,這些問題主要與加工中材料的去除機制相關。

飛秒激光加工金屬時,材料的去除過程包括能量吸收、材料相變、等離子體膨脹三個階段。其中,飛秒激光加工金屬時引起材料相變的過程,總體來說是材料吸收激光能量,由初始物態轉變為新的物態的變化過程,包括固態到液態的相變,液態到氣態的相變,固態、液態或氣態轉變為等離子體的相變等。材料的相變階段能量來源于前一階段電子系統所沉積的飛秒激光能量,時間尺度約在幾十皮秒到納秒的量級。金屬材料本身由大量金屬原子組成,高能量的輸入使原子的運動狀態發生改變,致使晶格結構發生畸變或者離解,宏觀上相變結果表現為材料的熔化、機械破碎、氣化蒸發和等離子化等現象[2-3]。

可知,材料相變階段是決定材料去除機制的最主要過程,因此對飛秒激光加工金屬的材料相變機制加以研究,理論上可以完善對材料去除機制及其物理規律的認識,工藝上可以幫助解決實際工藝中的問題,以便于將飛秒激光更廣泛而有效地應用于金屬材料的加工,這對于國防軍事、信息技術、生物醫療、環保能源等諸多領域都具有重大意義。

2 飛秒激光作用下與金屬材料相變相關的理論模型

2.1 飛秒激光能量在金屬內的傳輸過程

按照能帶論的觀點,金屬原子的電子能帶分布情況如圖1(a)所示,其中,能量較低的能帶被全部填滿,而在高能量的能帶上,存在電子部分填充的情況,這個能帶稱為導帶,理想情況下,在電子未被激發時,導帶中電子能量所能達到的最高值被稱為費米能εF,相應的在倒空間內費米波矢組成的面叫做費米面,在費米面附近的電子,決定了金屬的很多物理性質,包括電學、光學以及化學等方面的性質等,因此,金屬材料的很多性質變化,主要與這部分電子的行為相關。

圖1 金屬電子能帶結構及導帶電子激發示意圖Fig.1 Band structure of metal electrons and schematic diagram of conduction band electron excitation

如圖1(b)所示,當飛秒激光作用于金屬材料時,金屬原子中的電子(主要是導帶電子,或稱為自由電子)由于光電作用吸收光子的能量,被激發到更高的能帶上。電子的激發是一個比較復雜的微觀過程,在10-14s 量級的時間尺度內電子會發生相位離散、自旋弛豫等過程。當電子躍遷至高能帶后,同時又會因與其他電子的碰撞而將改變能態,在新的費米面上重新建立準平衡態,到這個過程的時間尺度通常在10-13s量級,宏觀上表現為電子系統溫度升高,因此這個過程又稱為電子的熱化過程,其作用為將激光脈沖的能量吸收和暫存于電子系統中。

處于激發態的電子是不穩定的,一方面,激發態的電子會繼續與其他電子碰撞而產生能量的傳遞,宏觀上主要表現為電子的熱傳導,另一方面,電子也會與晶格(離子組成的周期性結構系統)碰撞,從而將能量傳遞給由離子組成的晶格,為方便描述這種物理過程,學者們引入了聲子(phonon)的概念,聲子是一種能量量子,處于高能態的電子通過發射光學支聲子(longitudinal optical phonon)的方式減少自身能量,而聲子使得晶格振動加劇,晶格能量增加,這是電子能量弛豫的主要方式,學者們稱之為電子-聲子耦合過程,或電子-晶格能量耦合過程,該過程一般發生在脈沖作用后10-12s量級的時間尺度內。隨后,聲子之間發生非諧振作用以及耦合到聲學支聲子,在布里淵區重新分布,宏觀上表現為建立晶格的準熱力學平衡。以上聲子的產生和弛豫過程又被稱為晶格的熱化過程[4-5]。

熱化后的晶格系統同樣也不穩定,會通過晶格-晶格耦合將能量進一步向周圍材料擴散,隨之而發生的是材料的相變,其時間尺度跨度相對前面的過程較大,一般來說是從10-12s到10-6s,是飛秒激光加工金屬時材料去除的重要階段,在近幾十年來的研究中,學者們建立和發展的理論為闡釋材料相變的機理奠定了基礎。

2.2 機械蝕除和熱機械蝕除機制中的相變過程

機械蝕除和熱機械蝕除機制主要考慮溫度和應力場的作用,適用于較低能量密度沉積下的金屬材料內部相變過程的解釋,主要涉及金屬固體晶態-非晶態、固態-液態的相變形式[6-10]。

機械蝕除理論主要認為,在飛秒激光作用下,能量沉積區域溫度并未達到材料熔點,但是材料由于機械應力波的作用發生斷裂形成團簇,從而被去除。在這一機制下,材料的相變過程主要表現為,材料內部能量分布不均勻,每個原子運動速度和方向出現差異,加上金屬原子之間本身的相互作用力,使得材料內產生了不同強度的機械應力,不同微觀區域的材料因為結合強度的差異可能被壓縮或拉伸,產生無序化相變[8-9]。

熱機械蝕除機制與上述過程有相似之處,但在這個機制下,使材料無序化相變的內因是熱熔化和機械應力的共同作用。當飛秒激光作用于金屬時,材料內部產生“高溫-低溫-高溫”這種不同的溫度分層,高溫區域的材料發生熱熔化,而低溫的區域材料可能并未熔化,這就使得不同區域的材料相變情況出現差異,熔融的材料結合力較弱,在機械應力作用下容易被拉伸而破碎,從而使材料去除。

上述這兩種機制中,材料相變的典型宏觀結果表現為“三明治”結構。近些年來,學者們通過研究超快激光與金屬材料的相互作用,發現壓力波的傳播可以使金屬內部材料產生過渡型相變,出現分層結構,呈現晶體與非晶體夾雜的如“三明治結構”的金屬相狀態,如圖2所示。

圖2 脈寬為100 fs,能量密度為35 mJ/cm2的激光 輻照B2結構鎳鈦合金靶材原子位型圖[9]Fig.2 Atomic profile diagram of B2 structure Nitinol target material irradiated by laser with a pulse width of 100 fs and an energy density of 35 mJ/cm2

研究指出,當飛秒激光能量密度較低時,靶材中沉積較少的能量,應力波的形成較緩慢,但應力波在傳播過程中影響了金屬原子的運動,使材料被反復拉伸與壓縮,應力波的傳遞誘使金屬發生了相變。雖然激光作用區域的溫度始終在材料沸點以下,但是材料依然發生了相變行為[9]。

為進一步驗證上述發現,學者們還利用分子動力學仿真的方法研究了飛秒激光作用于金屬材料時,材料內部應力波的傳播和相變的關系[6-7]。以圖3為例,圖中顯示了不同周期的雙脈沖飛秒激光作用于金屬后,材料應力的變化過程,可看出,飛秒激光作用后,材料內高應力區位置會隨著時間推移發生轉移,而隨著這種轉移,高應力區的材料會發生相變,出現斷裂、破碎等情況,也佐證了飛秒激光作用下金屬材料因應力傳播而發生相變的理論。

圖3 分子動力學仿真模擬雙脈沖飛秒激光作用于金屬鋁后材料內應力變化圖像[6]Fig.3 The image of the internal stress change of the material after the dual-pulse femtosecond laser is acted on by the molecular dynamics simulation

2.3 液相爆炸模型

這一理論適用于描述高功率激光的作用下,金屬材料內部發生固-液相變和相爆炸的過程。飛秒脈沖寬度短,能量的吸收很迅速,材料溫度增加非常快,但材料表面在短時間內來不及膨脹,使得內部高溫液態金屬進入過熱狀態,溫度超過材料的臨界點溫度Tc,在這種條件下,液體內部壓力急劇增大,并發生形核,材料以液體和蒸氣的形式噴射,最終發生液相爆炸[11-15]。

飛秒激光作用下液態金屬溫度和壓力變化可參考圖4,飛秒激光脈沖作用時間很短,加熱過程持續時間很短,熔融材料狀態與常規加熱情形不同,并非沿著雙節線變化,而是沿著過熱線變化而最終到達旋節線。在此期間,材料小范圍的密度變化很大,導致高能量沉積區域材料都發生了氣泡成核[11-12]。

圖4 液相爆炸模型中的材料溫度-壓力變化曲線[11]Fig.4 Material temperature-pressure curve in the liquid phase explosion model

越靠近臨界溫度時Tc,材料內氣泡成核率越高,成指數式增加,形核率J可由下式表示:

(1)

其中,Wcr為溫度T下氣泡形核所需要的最小能量;N為單位體積內原子數密度;σ為材料的表面張力;kb為玻爾茲曼常數。在低于0.9Tc的溫度下,材料很難發生自發成核；但在0.9Tc的溫度附近,液態材料可大量形核,當氣泡形核尺寸達到臨界值,氣泡繼續膨脹直至爆炸,氣態和液態材料混合在一起噴射出去,整個過程稱為相爆炸[13-14]。考慮氣泡形核所需時間τ,式(1)可變為:

(2)

其中,t是加熱時間。據推算,τ的近似表達式如下:

(3)

其中,M為物質的摩爾質量;ps為飽和蒸氣壓強;pl為液體壓強。

液相爆炸模型揭示了高功率飛秒激光加工金屬時,材料由固態轉變為液態和氣態混合物的相變過程,該理論也被普遍認為是飛秒激光加工金屬時材料的主要去除機理[15]。

2.4 氣化蒸發機制

魏健等利用時間分辨陰影成像技術從實驗上證實了這種膨脹波的形成[16]。圖5所示為不同時刻采集到的飛秒激光脈沖作用金屬鋁后,材料表面產生的等離子體膨脹波的運動情況,這也揭示了材料存在固態到氣態的這一相變過程。

圖5 飛秒激光燒蝕金屬鋁表面產生的膨脹波圖像[16]Fig.5 Image of plasma expansion produced by femtosecond laser ablation of metal aluminum surface

劉棟對低真空條件下飛秒激光作用于金屬鈦時產生的氣態混合物進行光譜測量,發現其組分有鈦原子(TiI)和一價鈦離子(TiII),說明材料相變產生的氣態物質是金屬原子和金屬離子的混合物[17]。這證實了飛秒激光加工金屬材料時,材料從固體變為氣態和等離子態這樣的相變過程。

2.5 多種機制共同作用下的相變過程

通過近些年來的研究和總結,人們也逐漸發現,金屬材料在飛秒激光作用下相變過程通常不是某一種機制的作用,而是多種機制共同作用。學者們通過分析超快激光作用金屬時材料內壓力和溫度的變化情況,將金屬材料去除過程總結為:斷裂、均勻形核、破碎和氣化,這些過程分別發生在材料不同的區域,同時也揭示了金屬材料的不同相變過程[19-21]。

以圖6為例,飛秒激光作用于金屬表面,在材料區域I內,金屬最先吸收激光的能量,該區域沉積的能量最高,超過原子體系的結合能,材料發生氣化并蒸發；在區域Ⅱ中,能量的弛豫使得金屬溫度超出氣液共存溫度,金屬材料沒有均勻形核現象,但膨脹率相較于其他區域更大,超臨界液相金屬分離成很多小的原子團,發生破碎過程；在區域Ⅲ中,金屬發生均勻形核,當形核率增加到一定值時,大量包裹于液相中的氣泡膨脹爆炸,發生液相爆炸過程；在第Ⅳ區域,材料的溫度相對其他區域的更低,但是在機械應力波和熱熔化作用下,晶格結構被破壞,材料以機械蝕除和熱機械蝕除的機制發生斷裂。綜上,飛秒激光作用于金屬時,由于能量的沉積和弛豫,材料內存在與上述多種機制相關的固-液、液-氣、固-氣、晶態-非晶態等多種形式的相變。

圖6 飛秒激光作用下金屬內不同能量沉積區域示意圖Fig.6 Schematic diagram of the deposition area of different energy in the metal under the action of femtosecond laser

近些年來關于材料相變機制的研究,主要也是圍繞前面所述的理論來展開,研究中發現了一些新現象,對相關理論進行了完善。這些新發現主要包括材料表面附近產生空泡結構和液化形核的微觀機理、材料內應力轉化的微觀機制以及金屬晶粒晶界尺度的微觀變化等[20-21]。這些研究對于闡釋飛秒激光與金屬作用過程中的材料相變機理起到了推動作用。

綜合近些年來的理論研究來看,飛秒激光作用于金屬材料時,材料的相變機制因材料種類、激光參數、環境條件等會各有不同,建立統一性的理論機制尚有較大困難,而飛秒激光與金屬材料作用過程時間和空間尺度都很小,使得通過試驗來探測相變過程的方法有較大的局限性,而計算機仿真計算技術的進步,為研究飛秒激光作用下金屬材料相變機制提供了更方便的技術方法,通過數值仿真計算,可以較為準確地探究微觀尺度下材料的變化過程。目前,學者們同樣也建立和改進了幾種主要的數值模型,用于飛秒激光與金屬作用機理的仿真模擬計算。

3 飛秒激光作用下金屬材料相變的數值模型

3.1 雙溫模型((TM模型))其相關改進模型

為求解超短激光作用金屬時材料內的非平衡過程,1974年,前蘇聯學者Anismov等提出了雙溫模型[22]。該模型被作為超快激光與金屬材料相互作用研究的重要理論基礎[23]。之后數位學者對模型加以改進,得到了目前廣泛應用的雙溫方程[23-25]:

(4)

(5)

其中,C是熱容;T是溫度;k是導熱系數;G是電子晶格耦合系數;S是加載到材料表面的激光能量分布函數;下標e和l分別表示電子和晶格。由于上述方程在直角坐標系下表現為雙拋物線,因此又稱為雙拋物線雙溫模型。S的具體表達式如下:

如何幫助高層次人才解決上述問題，對高層次人才政治價值取向產生的原因進行分析是前提，只有透徹分析原因，找出癥結所在，才能正確引導并予以解決問題。

(6)

其中,α是理論上根據光學穿透效應和電子彈道效應計算金屬材料中激光產生的穿透深度;R為金屬表面對激光的反射率;J為激光能量密度;tp為飛秒激光脈沖寬度。由此,求解飛秒激光加載金屬時材料內溫度場分布問題,轉變為求解雙溫方程問題。

雙拋物線雙溫模型考慮了晶格的弛豫效應,但是未考慮電子的弛豫效應。因此,之后一些學者在上述雙溫模型基礎上增加了電子的熱弛豫項,得到雙曲線雙溫模型,其數學方程形式為:

G(Te-Tl)+S(x,t)

(7)

(8)

無論是哪種形式的雙溫模型,其適用條件僅在固態或者液態等具有連續性條件的材料中,而在固液界面、液氣界面等非連續性界面條件下不適用。為了進一步研究金屬的相變過程,學者們采用了分子動力學模型(MD模型)流體力學模型(HD模型)數值仿真方法,而雙溫模型的計算結果,可作為這些方法的輸入條件。

3.2 結合雙溫模型的分子動力學仿真模型(TTM-MD模型)

分子動力學模型(Molecular-Dynamics model)是一種用于計算多粒子體系間粒子的相互作用和其運動軌跡的成熟方法。通過對系統中每個粒子的受力狀態、運動狀態進行求解,然后轉化為宏觀系統的物理性質,如溫度、密度、壓強等。分子動力學模型中有兩個基本假設:

(1)玻恩-奧本海默絕熱近似,即認為電子處于單一的本征態,可以對粒子進行單獨計算,并且粒子相互作用之間符合疊加原理；

(2)因原子核的質量遠大于電子,可近似將原子視為遵循經典牛頓動力學規律的點粒子。

基于這兩個基本假設,得出需要求解的粒子系統的控制方程:

(9)

(10)

分子動力學仿真計算的關鍵在于選取正確的勢函數。常用的勢能函數主要有Lennard-Jones勢:

(11)

其中,rij為粒子間距;ε為勢阱能量;σe為粒子間勢能等于零時的平衡距離。但這種簡單的勢能函數通常用于計算核外電子軌道已經飽和的單原子材料,對于單質金屬晶體,可采用Morse勢:

U(rij)=D[e-2b(rij-r0)-2e-b(rij-r0)]

(12)

其中,D表示原子間的解離能;ro表示原子間的平衡距離;b為平衡常數。這種勢能函數主要適用于典型的FCC(面心立方結構)單質金屬,如果金屬中有缺陷或者為合金材料,還可采用嵌入原子多體勢(Embedded atom method)進行求解。另外,還有Finnis-Sinclair勢也適用于金屬粒子體系的求解。這個模型在研究飛秒激光加工金屬材料中發揮了重要作用,證實了許多理論中的結果[6,21,26-30]。

分子動力學數值模擬計算中,為了求解作用于粒子上的力F,需要得到材料內能量沉積的情況。結合前面所述,能量的來源是電子吸收激光的能量。因此,許多研究者嘗試將TTM模型與MD模型進行耦合,即得到基于雙溫模型的分子動力學仿真模型(TTM-MD模型),對材料的相變過程進行研究。如圖7所示,Kudryashova等使用分子動力學模型模擬飛秒激光的燒蝕金屬的過程,發現了金屬材料在燒蝕過程中會出現斷裂、相爆炸、碎裂和氣化四種情況,這也證實了飛秒激光加工金屬材料中,材料的相變過程通常是多種機制共同作用的結果[6]。這種混合模型既能在宏觀尺度上描述電子對能量的吸收與傳遞,也能利用分子動力學對微觀材料相變現象進行模擬,是目前許多研究學者都采用的方法。

圖7 基于雙溫模型的分子動力學方法仿真模擬飛秒 激光燒蝕金屬鋁的材料變化圖像[6]Fig.7 Image of femtosecond laser ablation on aluminum with Molecular-Dynamics method based on two-temperature model

MD模型能具體計算單個原子的運動過程,可解決金屬材料固-液相變、液氣相變以及亞穩態液相中的成核問題等,但該方法運算量極大,導致 MD模擬計算一般只適用于微小尺寸(幾百到幾千立方納米體積,百萬個原子量級)和微小時間尺度(幾百皮秒),無法模擬大面積區域或長時間的過程。另外,MD模型也不能描述飛秒激光與金屬相互作用時電子和晶格的能量耦合過程,需要后續的研究進行改進或拓展。

3.3 流體動力學模型(HD模型)

飛秒激光加工金屬的過程中由于材料相變,會產生液態、氣態以及等離子體團簇等流體物質。對這些流體物質加以計算分析,可以獲知金屬材料的去除機理,從而推導材料的相變過程,因此流體動力學模型(Hydrodynamic model)也被應用到研究飛秒激光加工金屬時材料相變過程中。流體動力學方法能夠模擬電子、離子、輻射粒子流等的運動過程,它基于質量、動量和能量等基本物理量的守恒定律,將電子、離子和輻射粒子視為具有速度和溫度的單一流體來近似處理,以求解每種物質的速度變化和溫度變化。對于求解流體的速度,其基本數學方程為Navier-Stokes方程:

(13)

其中,ρ為系統的質量密度;v是流體質點的速度;p是系統壓強;q為馮諾依曼粘度;z是沿法向到表面的距離坐標。

而求解流體的溫度,則可通過以下能量守恒方程來實現:

(14)

其中,Uin為流體的熱力學能量；外源項S(z,t)則可以通過亥姆霍茲方程求解[31-35]。

與MD模型仿真方法類似,對于能量的吸收和傳遞過程,學者們也嘗試使用TTM模型進行前置計算,將雙溫方程的計算結果耦合到流體力學仿真中。 Inogamov等綜合使用了MD模型和HD模型,研究了飛秒激光作用下金屬材料密度和壓力變化的過程。圖8所示為分別利用MD模型和HD模型仿真計算飛秒激光作用于一維金單質后0.5 ns時刻材料不同位置密度的圖像,可以看出,HD模型和MD模型都可以準確地獲得材料物態參數,因此HD模型與MD模型一樣都可以用于飛秒激光與金屬相互作用的相變機制的研究[35]。

圖8 分子動力學模型與流體動力學模型仿真計算 飛秒激光作用于一維金材料后0.5 ns的材料密度分布圖[35]Fig.8 Material density distribution map after femtosecond laser is applied to the one-dimensional gold material in 0.5 ns with Molecular-Dynamics model and Hydrodynamic model simulation calculation

除此之外,HD模型還可以計算出液相和氣相的物質密度。圖9所示為利用HD模型計算飛秒激光作用于一維金材料后物質的密度和壓力變化曲線,可知物質密度和壓力與相態(固態、液態和氣態)相關,其中,曲線IV表示初始固態條件下的參數,曲線I和II分別表示了液態材料內部壓力升高的情況和蒸發變為氣態的情況,氣態的材料因蒸發而脫離樣品,而部分液態材料會發生重鑄,即曲線III所示,可看出重鑄后的材料密度相比于初始的固態材料有所減少,這也與實際加工中的情況相符。

圖9 HD模型仿真計算飛秒激光作用于一維金單質 后0.5 ns時的不同狀態材料密度分布圖[35]Fig.9 Material density distribution map of different states of matter after femtosecond laser is applied to the one-dimensional gold material in 0.5 ns with Hydrodynamic model simulation calculation

近些年來,學者們基于HD模型,進一步研究飛秒激光與不同種類的金屬相互作用過程,得出了飛秒激光燒蝕金屬的三種機制:①自由表面的金屬材料直接氣化蒸發；②臨界點溫度附近的液相材料發生均勻成核；③液相材料內部受機械應力作用而形成空泡進而斷裂。這些研究證實了金屬材料在不同能量密度的飛秒激光作用下會有不同相變過程的理論,同時也說明了流體力學模型在研究飛秒激光作用下金屬材料的液相、氣相等類流體相變機制的適用性[33-35]。

然而,流體動力學方法也有很多缺陷。比如,該模型的計算依賴于材料的狀態方程,并且對激光能量吸收的過程也無法精確描述,也不適用于描述固相材料的狀態變化,需要后續研究中對其進行完善和改進。

4 總結和展望

飛秒激光與金屬材料的作用機理,是近些年來基礎與應用研究的熱點問題之一。其中,金屬材料的相變機制也是研究中被廣泛關注的焦點之一。飛秒激光作用下金屬材料的相變形式主要包括固態到液態的相變,液態到氣態的相變,固態、液態或氣態轉變為等離子體的相變以及相爆炸等,對于每種形式的相變過程,目前也有相對成熟的理論模型和數值計算方法來加以闡釋。

在理論研究方面,學者們建立并發展了機械蝕除和熱機械蝕除機制、液相爆炸理論及氣化蒸發等與材料相變相關的理論基礎。從理論上解釋了材料熔化、斷裂、形核、破碎以及氣化等相變結果的主要機理；近些年來,各研究團隊也基于上述理論,圍繞不同材料、不同激光參數等條件對材料相變過程的影響展開了研究,對這些理論進行了驗證,同時也獲得了一些規律,之后的研究也將以這些理論模型為基礎,結合實際工藝中的問題,有針對性地展開研究,進一步完善對材料相變的微觀機理的認識。

在數值模型方面,目前的主要數值方法包括分子動力學模型(MD模型)和流體動力學模型(HD模型),這些方法通過對材料粒子系統運動過程的模擬,可以在一定程度上獲取材料內部溫度場、應力場、原子位型等與材料相變相關的信息。為了獲得這兩種模型的能量場和溫度場的分布,目前廣泛采用的是結合TTM模型來進行仿真計算,從理論上給出相關的相變過程和結果。而對于這些模擬結果的驗證,需要后續試驗中進行觀測和表征。每種數值模擬方法的適用條件都比較有限,目前還達不到跨尺度(時間和空間維度)的高效率仿真研究要求,距離能夠反映實際作用過程的數值模擬還存在很大的差距。

這些理論和模型,由于適用條件的不同,通常某個理論模型只能解釋特定條件下的機理。因此,未來關于飛秒激光作用下金屬材料相變機制的研究趨勢主要為:一方面,嘗試將多種模型進行耦合,建立統一而普適的描述飛秒激光加工金屬的理論模型；另一方面,由于飛秒激光與金屬材料作用發生在微小時空尺度,需要考慮量子力學方面的效應,因此,在研究中,需要結合量子力學相關理論,對現有理論模型加以修正和改進,并相應地改進數值計算模型,使計算更為精確。