毫米波MIMO系統中高頻譜效率的混合預編碼算法

周 圍，楊秋艷

(重慶郵電大學 a.通信與信息工程學院; b. 移動通信技術重慶市重點實驗室，重慶 400065)

0 引 言

在毫米波大規模多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)系統中，數字和模擬相結合的混合預編碼技術是消除數據流間干擾并提升系統性能的重要技術之一[1-4]?；旌项A編碼的結構主要分為部分連接結構和全連接結構[5]，前者硬件成本較低但頻譜效率也遠低于基帶數字預編碼器[6-7]；后者可以獲得全部的天線陣列增益，因此具有較好的頻譜效率。文獻[8]利用正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法獲得混合預編碼矩陣，但由于模擬預編碼矩陣的取值受陣列響應矩陣的限制，該算法的頻譜效率較低，特別是數據流數較大時；文獻[9]利用赫爾德不等式提出了基于相位提取的交替最小化 (Alternate Minimization using Phase Extraction，PE-AltMin)算法，該算法在頻譜效率上優于OMP算法，但射頻鏈數增加對算法頻譜效率的提升相對緩慢；文獻[10]在PE-AltMin算法的基礎上引入正交約束來初始化模擬預編碼矩陣，略微提高了系統的頻譜效率；文獻[11]中基于信道奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)的算法雖然復雜度低，但頻譜效率還有待提升；此外，文獻[12-13] 還提出了收發聯合的混合預編碼算法。

在上述文獻的研究基礎上，本文設計了一種基于梯度下降法的交替最小化(Alternate Minimization based on Gradient Descent (GD-AltMin)混合預編碼算法。與文獻[8-11]相比，本文所提算法的頻譜效率更接近最優無約束預編碼算法的頻譜效率，特別是射頻鏈數大于數據流數時，其頻譜效率遠遠優于其他算法。

1 系統模型與問題構想

1.1 系統模型

式中：x=[x1,x2,…,xNt]T∈Nt×1；s=[s1,s2,…,sNs]T∈Ns×1為原始信號，且滿足為期望，INs為Ns×Ns維的單位矩陣；FBB∈NRF×Ns為低維數字預編碼矩陣；FRF∈Nt×NRF為高維模擬預編碼矩陣。由于模擬預編碼部分由移相器構成，只能提供相位調整，因此模擬預編碼矩陣中的每個元素有相同的振幅，即式中，m和k為矩陣的第m行第k列元素。此外，發射端滿足總功率約束條件經毫米波信道傳輸后,接收端經過處理后的接收信號y為

式中：y=[y1,y2,…,yNs]T∈Ns×1為接收矢量；ρ為平均接收功率；n為加性高斯白噪聲矢量，服從CN(0,σ2I)，σ2為加性高斯白噪聲的功率，I為單位矩陣；H∈Nr×Nt為信道矩陣；WRF∈Nr×NRF和WBB∈NRF×Ns分別為接收端的模擬和數字組合矩陣，與模擬預編碼矩陣類似，模擬組合矩陣只提供相位調整，即滿足因此在該系統模型下，頻譜效率可表示為

圖1 單用戶毫米波大規模MIMO系統模型

1.2 信道模型

由于毫米波較高路徑損耗導致的空間稀疏性，以及密集的天線陣列導致毫米波在傳播過程中存在顯著的天線相關性，本文采用文獻[8]提出的一種基于擴展的S-V(Saleh-Valenzuela)的信道模型來模擬毫米波的傳播環境。該信道模型有Ncl個散射簇，每個簇包括Nray條傳輸路徑，因此信道矩陣H可表示為

在相同天線元件數目條件下，均勻平面陣列(Uniform Planar Array, UPA)更易于小型化和封裝，且能產生水平和垂直波束，因此本文假設收發兩端都采用UPA。UPA的每一行有N1個天線元件，每一列有N2個天線元件，則UPA響應矢量aUPA可表示為

式中：N=N1×N2且0≤n1

1.3 問題描述

本文的優化目標是聯合設計(FBB,FRF,WBB,WRF)使式(3)最大化。但FRF和WRF的恒模約束使這4個矩陣變量的聯合設計問題過于復雜，難以實現。因此混合預編碼的設計問題通常解耦為兩個獨立的子問題，即發射端的預編碼設計問題和接收端的組合器設計問題。兩者有相似的數學公式，只是前者有一個額外的功率限制。為簡化設計，本文重點研究了發射端混合預編碼器的設計，提出的算法同樣適用于接收端的解碼器。在發射端，最大化頻譜效率問題可近似為最大化互信息量：

最大化式(6)可等效為最小化式(7)[9]：

式中：‖·‖F為矩陣Frobenius范數；Fopt為最優無約束預編碼矩陣，由H右奇異矩陣的前Ns列矢量構成。

2 GD-AltMin算法

由于式(7)本質上是一個涉及兩個矩陣變量FRF和FBB的矩陣分解問題，然而FRF恒模約束的存在使得該優化問題仍是復雜的。因此，本文利用文獻[9]中PE-AltMin算法提到的交替最小化理論對這兩個矩陣變量進行迭代優化，交替求解FBB和FRF。

2.1 數字預編碼矩陣的設計

先固定模擬預編碼矩陣FRF來設計數字預編碼矩陣FBB。因此，式(7)可重新表述為

暫時移除功率約束，根據最小二乘法可解得：

2.2 模擬預編碼矩陣的設計

在下一步的交替過程中，將數字預編碼矩陣FBB固定，尋找一個模擬預編碼矩陣來優化下面的問題：

式中：α為步長；?FRFf(FRF)為目標函數f()對FRF的梯度，經數學推導可得：

為使每次迭代目標函數的值能逐漸減少，本文提出一種動態步長算式，即步長α的設定應能夠最小化下式：

式中，Tr()為矩陣的跡。

觀察式(13)可得，α可設定為

式中，∠(·)為取相位。經上述分析即可獲得FRF和FBB，然后不斷交替迭代直到滿足誤差終止條件。

為進一步加快算法的收斂速度，提升系統頻譜效率，本文利用信道SVD算法優化該算法的初始值，即提取V矩陣前NRF列的相位作為模擬預編碼矩陣的初始值，V為信道矩陣奇異值分解(H=UΣVH)后的右奇異矩陣(U、Σ分別為信道矩陣奇異值分解后的左奇異和對角矩陣)。因此，本文所提GD-AltMin混合預編碼算法的具體步驟如下：

1、輸入H、NRF、Ns和誤差值；

2、對信道矩陣進行SVD：[U，Σ，VH]=svd(H)；

3、最優無約束預編碼矩陣：Fopt=V(1∶Ns)；

4、初始化FRF=∠V(1∶NRF)；

5、重復步驟6～8，若觸發終止條件，跳轉到步驟9；

10、輸出FRF和FBB。

3 仿真結果分析

為驗證本文所提算法的有效性和正確性，本小節給出了不同混合預編碼算法在相同結構下頻譜效率的對比。仿真采用S-V信道模型，假設共有5個散射簇，單個簇信道內包括10個單散射體，即Ncl=5,Nray=10，每個簇信道內出發角和到達角的方位(仰)角均服從拉普拉斯分布。收發端采用UPA。所得的結果均是經過1 000次獨立信道仿真后的平均值。

圖2 NRF=Ns=4、Nr=36和Nt=144時，目標函數隨迭代次數K的變化曲線

圖3所示為在天線數目Nt=256、Nr=36以及收發端射頻鏈數和數據流數相等即NRF=Ns={4,8}情況下，本文所提GD-AltMin算法與OMP[8]、PE-AltMin[9]、信道SVD[11]以及最優無約束預編碼算法的頻譜效率隨信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)變化的曲線。由圖可知，所有混合預編碼算法的頻譜效率均隨SNR的增加而穩步增加，本文所提算法遠優于經典的OMP算法，相比PE-AltMin和信道SVD算法更接近最優無約束預編碼算法。此外，NRF=Ns=4時，本文所提算法的頻譜效率只是略優于PE-AltMin和信道SVD算法，但隨著數據流的增大，如NRF=Ns=8時，PE-AltMin和信道SVD算法與最優無約束預編碼算法的差距變大，本文所提算法與最優無約束預編碼算法之間的差距基本不變，可以看出數據流數的變化對本文算法的影響不大，相比于其他算法，數據流數較大時，本文所提算法的優勢更加明顯。

圖3 Nt=256、Nr=36和NRF=Ns={4,8}時，頻譜效率隨SNR的變化曲線

圖4所示為不同混合預編碼算法的頻譜效率隨射頻鏈數目變化的情況。由圖可知，在數據流數Ns=4和SNR=0的條件下，射頻鏈數的增加對信道SVD和PE-AltMin算法沒有明顯增益效果，而GD-AltMin和OMP算法隨著射頻鏈數的增加不斷逼近最優無約束預編碼算法的頻譜效率，但GD-AltMin算法的頻譜效率一直遠優于OMP算法。此外，當NRF≥2Ns時，本文所提算法的頻譜效率與最優無約束預編碼算法之間只存在極小的差距。因此，本文所提算法更適合射頻鏈數大于數據流數的實際情況。

圖4 Ns=4和SNR=0時，不同射頻鏈數的頻譜效率

圖5所示為在NRF=Ns=8的毫米波大規模MIMO系統中，各算法的頻譜效率與發射端天線數目之間的關系。當收發端天線數分別為Nr=36和Nt={36,64,100,144，196,256}時，得益于天線陣列增益的增加，所有算法的頻譜效率均隨著發射端天線數目的增加而提升，本文算法一直優于其他幾種算法，最接近最優無約束預編碼算法。當發射端天線數目較小時，幾種算法的頻譜效率相差不大，但隨著天線數目的增加，本文所提算法與其他幾種算法之間的頻譜效率差距越來越大，這證實了本文所提算法的優越性。

圖5 NRF=Ns=8和Nr=36時，發射端不同天線數目的頻譜效率

上述仿真結果均是假設收發端已獲得完美信道狀態信息(Channel State Information, CSI)，但在實際場景中往往不能獲得完美的CSI，因此圖6研究了信道估計誤差對這幾種混合預編碼算法的影響。根據文獻[14]，非完美CSI下的信道矩陣可表示為

式中：ξ為信道估計的精準度，其取值范圍為[0,1]；E為誤差矩陣，其元素服從CN(0,1)。以天線數Nt×Nr=256×36和NRF=Ns=8的毫米波大規模MIMO系統為例，對比圖3可知，在非完美CSI (ξ=0.8)場景中，各混合預編碼算法的頻譜效率都有所下降，但本文所提算法依然優于PE-AltMin、信道SVD和OMP算法。

圖6 Nt×Nr=256×36和NRF=Ns=8時，非完美CSI下的頻譜效率

4 結束語

針對全連接結構下的毫米波大規模MIMO系統，本文在信道SVD算法的基礎上，利用梯度下降法和最小二乘準則對模擬和數字預編碼進行設計，并結合交替最小化原理，使所設計的混合預編碼器不斷接近最優無約束預編碼器。仿真結果表明，本文所提算法相比于PE-AltMin、信道SVD和OMP算法具有更優的頻譜效率，當射頻鏈數大于數據流數或數據流數較大時，這一優勢比其他算法更明顯。此外，本文所提算法在非完美CSI下也能取得不錯的頻譜效率。