基于STEAM 教育理念下的數(shù)學(xué)建模活動教學(xué)策略與案例分析

●高照穎 趙寶江

STEAM 教育理念是集科學(xué)、技術(shù)、工程及藝術(shù)的數(shù)學(xué)跨學(xué)科教育，強調(diào)課程回歸生活以學(xué)生為本，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決社會生產(chǎn)問題，推動數(shù)學(xué)學(xué)科知識與多領(lǐng)域知識的綜合應(yīng)用，在創(chuàng)新驅(qū)動下培養(yǎng)綜合人才，打破傳統(tǒng)教學(xué)中單學(xué)科教學(xué)和課堂教學(xué)中教師重理論輕實踐教學(xué)的弊端，通過實踐活動運用知識掌握技能提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論。

一、基于STEAM 理念的數(shù)學(xué)建模活動教學(xué)策略

STEAM 教育理念作為新教育理念，在高中建模教學(xué)的研究相對較少，數(shù)學(xué)建模活動對于高中生來說是個比較難駕馭的課題，數(shù)學(xué)建模活動提出的課題問題大多來自現(xiàn)實生活，解決建模活動問題需要綜合物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟等領(lǐng)域的知識，因此教師在建模活動教學(xué)中滲透STEAM 教育理念，注重多學(xué)科的融合教學(xué)，讓學(xué)生找到建模問題突破方向，經(jīng)歷完整建模活動，明白問題解決的來龍去脈，通過建模活動發(fā)揮主人公、決策者、合作伙伴等角色，學(xué)生是建模活動的主人公，學(xué)生親自實踐動手聯(lián)系實際生活，用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，運用數(shù)學(xué)語言表達世界，讓學(xué)生在建模專題實踐活動中綜合發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模思維，獲得直接經(jīng)驗和實踐能力，從而保證建模活動的順利開展提出以下教學(xué)策略。

（一）精選貼近實際生活的數(shù)學(xué)建模活動課題

STEAM 理念下的教學(xué)強調(diào)實踐性，數(shù)學(xué)建模活動具有開放性，因此教師和學(xué)生在共同確定探究的數(shù)學(xué)建模活動課題時，應(yīng)精選貼近學(xué)生實際生活的活動課題，本著面向全體學(xué)生，活動課題的選擇不應(yīng)過于深奧或者理論性過強，不利于學(xué)生參與的積極性。選題應(yīng)本著以學(xué)生為本，激發(fā)學(xué)生的建模活動參與的積極性，與學(xué)生現(xiàn)階段的建模認(rèn)知水平相契合，難度適中，學(xué)生在主動查閱資料和收集數(shù)據(jù)過程中，積累建模活動經(jīng)驗，真正實現(xiàn)在做中學(xué)數(shù)學(xué)，從而提升學(xué)生的建模思維水平。收集建模課題素材，根據(jù)現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)不同版本教材整理和改編提出建模教學(xué)課題，例如，“對國民收入、消費與投資的關(guān)系的探究”“體重與脈搏探究”“決定蘋果最佳出售時間點”“進貨次數(shù)與總費用關(guān)系的存貯模型探究”等，或者根據(jù)現(xiàn)實生活提出建模問題，例如“用適當(dāng)?shù)目諝庀短岣吲勘匦堋钡冗M行探究。

（二）建模過程中開展數(shù)學(xué)化訓(xùn)練

數(shù)學(xué)建模活動以實際問題背景引入，例如，“對霧霾天室內(nèi)PM2.5 濃度變化探究”學(xué)生需要綜合多學(xué)科查閱相關(guān)資料，對提出的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再用數(shù)學(xué)知識求解。因此教師在教學(xué)中開展建模數(shù)學(xué)化訓(xùn)練，訓(xùn)練學(xué)生科學(xué)閱讀能力，增強學(xué)生物理、生物、經(jīng)濟學(xué)等方面的生活閱歷，多積累不同知識領(lǐng)域?qū)Ｓ行g(shù)語及相關(guān)知識，比如馬爾薩斯增長模型、車流密度、放射性物質(zhì)衰變、交通流量、信道容量、聲音強度、投資回報率、個人所得稅稅率等。通過多領(lǐng)域科學(xué)知識的積累，幫助學(xué)生在建模活動中對實際背景的認(rèn)識理解，順利地從直觀感知到抽象推理，讓學(xué)生能夠?qū)嶋H問題抽象為數(shù)學(xué)問題并用形式化的數(shù)學(xué)語言表達出來的數(shù)學(xué)化過程。

（三）營造學(xué)生知識正遷移教學(xué)氛圍

STEAM 理念下的教學(xué)強調(diào)知識遷移，在開展數(shù)學(xué)建模活動中，針對提出的課題問題，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)促使學(xué)生發(fā)生知識正遷移的教學(xué)氛圍，從數(shù)學(xué)模型假設(shè)、模型求解、模型的驗證與反思的過程中，激發(fā)學(xué)生原有的認(rèn)知對建模活動問題解決的促進作用，達到知識應(yīng)用的融會貫通，真正做到學(xué)以致用。如提出建模問題“參加宴會8 人每兩個人之間進行握手，共多少次握手？”教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用原有知識多角度解決此模型問題，學(xué)生順應(yīng)思維可運用小學(xué)算法一一羅列加和；運用初中的算法平面幾何求正八邊形邊數(shù)和對角線數(shù)；運用高中算法楊輝三角以及數(shù)列通項迭代公式算法求解等多種知識遷移應(yīng)用可得共28 次。針對建模問題，綜合學(xué)習(xí)過的知識，不拘泥于僅僅解決建模問題，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生多途徑多維度剖析問題，促使學(xué)生發(fā)生知識的正遷移，舉一反三。

（四）組織建模經(jīng)驗交流，深化應(yīng)用意識

建模活動教學(xué)中組織開展建模經(jīng)驗交流，師生共同進行研究成果的展示與交流，建模小組匯報本組的建模活動研究成果，匯報內(nèi)容重點覆蓋從收集數(shù)據(jù)到模型求解的整個過程以及出現(xiàn)的難點、解決方案，通過質(zhì)疑、辯論、分析不足、反思，開展自我評價、同學(xué)評價與教師總結(jié)評價，總結(jié)成果并分享體會領(lǐng)悟。經(jīng)過相互交流借鑒、取長補短，實踐交流中積累數(shù)學(xué)建模活動經(jīng)驗，發(fā)揮小組合作能力，進一步激發(fā)學(xué)生建模活動主人公精神，學(xué)思結(jié)合形成應(yīng)用數(shù)學(xué)融合多學(xué)科領(lǐng)域解決實際問題的意識，針對不同建模角度切入進行經(jīng)驗交流開拓建模視角，從而提升學(xué)生建模創(chuàng)新思維的發(fā)展。

二、基于STEAM 理念的數(shù)學(xué)建模活動教學(xué)案例

結(jié)合STEAM 教育理念與提出的建模活動教學(xué)策略，選取貼近高中生實際生活和符合認(rèn)知規(guī)律的建模活動課題“不同包裝規(guī)格商品的成本問題”進行分析。

《不同包裝規(guī)格商品的成本問題》數(shù)學(xué)建模活動教學(xué)案例

（一）數(shù)學(xué)建模活動實際問題提出：

同學(xué)們，去超市購物，我們看到貨物架上琳瑯滿目的商品（如洗衣粉、奶粉、大米、牙膏、沐浴露等）有大包裝和小包裝不同規(guī)格，價格也不同，那么請同學(xué)們實際調(diào)研當(dāng)?shù)乇憷甑纳唐罚骄客簧唐穯挝话b量價格與包裝規(guī)格大小的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了什么？針對同一商品不同包裝量與商品成本價格之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，嘗試建立數(shù)學(xué)模型并預(yù)測不同包裝規(guī)格的牙膏成本價格。

（二）學(xué)生小組合作收集數(shù)據(jù)

分別統(tǒng)計奶粉、沐浴露、大米、牙膏不同包裝規(guī)格的售價和計算單位包裝量的價格，通過表格初步判斷之間的邏輯關(guān)系。

（三）教師引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)據(jù)

表1 不同規(guī)格商品的商品量、價格和單位包裝量價格

通過表格數(shù)據(jù)統(tǒng)計我們可以分析得到同一商品單位包裝量價格與商品包裝規(guī)格的關(guān)系，即：同一商品大容量包裝比小容量包裝的單位包裝量價格普遍少，這是由于大容量包裝節(jié)省包裝成本，那么我們可以進一步預(yù)測同一商品包裝量（即商品量）增大時生產(chǎn)產(chǎn)品的單位成本降低，通過建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型描述并驗證我們的猜想。

（四）師生共同探究模型假設(shè)

由于商品生產(chǎn)過程復(fù)雜，因此要探究商品的成本價格與商品不同規(guī)格包裝量的關(guān)系，將做如下前提假設(shè)：

1.商品的成本價格由生產(chǎn)商品的原料及加工成本和商品的包裝材料及加工成本兩部分組成，商品在其他生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的成本忽略不計；

2.同一商品包裝的材料是相似的，不同規(guī)格大小的商品包裝外觀是相似的；

3.商品包裝是密合的沒有空隙[1]。

根據(jù)上述生產(chǎn)過程的前提假設(shè)，設(shè)商品的成本價格為y元，商品的規(guī)格包裝量為x（g）,商品的原料及加工成本為M1（元），商品的包裝材料及加工成本為M2（元）。商品的原料及加工成本為M1（元）與商品的規(guī)格包裝量成正比，包裝材料及加工成本M2正比于商品的表面積S, 而包裝表面積S 正比于商品體積,商品體積V 正比于商品的規(guī)格量[2]。

（五）學(xué)生小組通過數(shù)學(xué)化建立數(shù)學(xué)模型

根據(jù)上述模型假設(shè)，運用形式化的數(shù)學(xué)語言表達上述關(guān)系：

商品的生產(chǎn)原料加工成本：M1=kx

商品的成本價格：y=M1+M2

由此我們得到了商品成本價格與商品不同包裝規(guī)格量的數(shù)學(xué)模型（2.1）。

（六）學(xué)生小組對建立的數(shù)學(xué)模型進行求解

通過調(diào)查，現(xiàn)有同款牙膏規(guī)格100g 成本價格為12.8 元，150g 成本價格為16.9 元，將其代入建立的數(shù)學(xué)模型（2.1），聯(lián)立方程組求出參數(shù)k 和參數(shù)t，即：

由方程組解得參數(shù)k≈0.021

從而得到該同款牙膏不同包裝規(guī)格的成本價模型：

由此我們得出刻畫該牙膏成本與不同包裝規(guī)格量的數(shù)學(xué)模型。

（七）學(xué)生小組對建立的數(shù)學(xué)模型進行驗證

根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，我們預(yù)測該同款牙膏200g 的成本價格，將x=200 代入模型，解得y=21.68 元，對比調(diào)查的同款牙膏200g 成本價格21.9 元，誤差值約為1%，因此我們預(yù)測的這個模型相對較成功。

（八）師生共同開展建模活動交流與總結(jié)

開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動，進行建模交流活動，深化對實際問題的認(rèn)識與模型的應(yīng)用，通過探究“不同包裝規(guī)格商品的成本問題”建立商品成本價格與商品不同包裝規(guī)格量的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)建立的模型，我們可以進一步綜合分析得到：

由此可得單位商品包裝量的成本（2.3）是包裝規(guī)格量X的減函數(shù)，因此印證了包裝規(guī)格量增加時，商品的單位包裝量的成本下降。

同時，我們再進一步進行知識遷移從定性角度分析做深入研究，同一商品包裝規(guī)格量增加時，商品的單位包裝量的成本下降速率：

由此可得商品的單位包裝量的成本下降速率（2.4）是包裝規(guī)格量的減函數(shù)，因此隨著商品包裝規(guī)格量的增加其單位包裝量的成本降低率的變化將越來越小[1]。

教師補充總結(jié)通過探究“不同包裝規(guī)格商品的成本問題”建立的數(shù)學(xué)模型屬于量的比例模型即輪廓模型，由兩個物理量的乘冪之間的比例關(guān)系的形式表示出來，例如本探究中的包裝表面積s 正比于包裝體積。輪廓模型是數(shù)學(xué)建模中常用的一種模型，面對復(fù)雜的實際問題，通過簡單的方式描述有關(guān)量之間的大致關(guān)系，利用量的比例關(guān)系所組建的模型就是輪廓模型[1]，是一個很實用的簡化假設(shè)模型，例如“探究動物體重與心率模型”“二十一屆高中應(yīng)用競賽初賽根據(jù)數(shù)據(jù)計算水庫的水面面積”等實際問題對輪廓模型的廣泛應(yīng)用，拓寬學(xué)生的建模知識面，深化量的比例模型在不同實際問題情境中的應(yīng)用。

三、基于STEAM 教育理念的教學(xué)案例反思

筆者將STEAM 教育理念與高中數(shù)學(xué)建模活動教學(xué)的有機結(jié)合，嘗試探索高中數(shù)學(xué)建模活動教學(xué)新模式，選取輪廓模型進行高中建模活動案例分析，在STEAM 教育理念下應(yīng)用提出的建模教學(xué)策略，使得學(xué)生在建模活動中掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本技能體會數(shù)學(xué)與多學(xué)科的融合，學(xué)生在“自主”或者“合作”的建模活動方式下，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模抽象、歸納、演繹、類比、模擬等邏輯思維能力以及想象、直覺、頓悟靈感等非邏輯思維方法能力，培養(yǎng)創(chuàng)新驅(qū)動下綜合素質(zhì)人才奠定基礎(chǔ)，通過數(shù)學(xué)建模活動綜合多領(lǐng)域?qū)W科知識的應(yīng)用，解決實際問題的創(chuàng)新型教學(xué)理念下的數(shù)學(xué)建模活動。