基于擴張狀態觀測器的板球系統誤差反步控制

2022-08-10 03:13:40孟圣鈞韓光信白淏文

吉林化工學院學報 2022年3期

關鍵詞：系統

孟圣鈞，韓光信，白淏文

(吉林化工學院信息與控制工程學院，吉林吉林 132022)

板球裝置作為一種典型的非線性系統，具有強耦合性和參數多變性等特點.小球在運動過程中需要不斷地調整平板角度來實現定位控制或者軌跡跟蹤控制，同時會受到電機傳動機構、球與板之間的摩擦以及未知干擾的影響而降低軌跡跟蹤精度.為此在板球系統的軌跡跟蹤問題上，相關學者做了大量研究.例如，文獻[1-3]采用滑模控制方法對參數和擾動變化不敏感這一優點，有效地克服外界干擾.其中，郝偉等[1]引入非線性觀測器有效地觀測系統干擾，并將濾波反演法與滑模控制相結合，保證系統的魯棒性，但軌跡跟蹤前期調節時間較長.文獻[2]中滑模表面的系數有待進一步解決，文獻[3]中跟蹤精度有待進一步提高.韓潔[4]、史智慧[5]、翟晨汐[6]利用群智能算法分別結合VSFOA-PID、SFLA-PID和模糊滑模控制算法，提高系統控制性能.其中，韓潔[4]僅對圖像做了中值去噪和OTSU二值化，圖像處理效果有待進一步優化.史智慧[5]忽略了未知的機械干擾對控制效果產生的影響.翟晨汐[6]在一定程度上提高了板球系統的視覺控制精度，但在圖像處理和加快蟻群優化的算法上還應進一步優化.文獻[7-8]均運用反步法設計軌跡跟蹤控制器，提高了系統穩定性.弋艷麗[7]未考慮板球系統受到的干擾，可能存在抗干擾能力不強的問題.王傲翔等[8]設計的自適應神經網絡H∞控制器，簡化了反步法的計算量，增強了系統抑制干擾能力，但其軌跡跟蹤精度有待提高.黃文杰等[9]利用RBF-PID控制方案，提高了系統的抗干擾能力，但僅做了定點軌跡跟蹤實驗.

由于板球系統機械傳動部分存在輪齒間隙、小球自身的滾動摩擦以及系統受到的不確定干擾均會影響平板的轉動角度，增加板球模型的不確定性，降低系統的動態性能和控制精度.本文針對這一問題，以誤差反步控制為切入點，設計擴張狀態觀測器觀測出平板轉角和角速度，估計出系統的未知擾動.同時結合板球數學模型引入低通濾波器，組建復合系統，接著將觀測出的平板轉角和角速度狀態變量與反步法相結合，設計誤差反步控制器，克服系統外界干擾.仿真結果表明，所研究的擴張狀態觀測器下的誤差反步控制方案有效地提高了軌跡跟蹤性能，增強了抗干擾能力.

1板球系統數學描述及控制方案

1.1 板球系統數學描述

板球系統通過視覺系統采集平板上小球的位置信息，將信息傳遞給系統控制器后，控制兩個垂直方向的電機帶動平板轉動，從而實現小球在平板上的定點控制或軌跡跟蹤控制.Quanser板球系統實驗平臺如圖1所示，主要由伺服電機、連桿、攝像機、平板和小球組成.本文在建模過程中，忽略小球與平板之間的摩擦，假設負載力矩不會影響電機位置、平板角速度很小且轉動角度范圍不大(±5°).考慮小球受到外界不確定干擾的情況下，采用歐拉-拉格朗日方程推導板球系統X,Y軸兩個方向子系統數學模型，在原點解耦、線性化后可得狀態空間模型為[10]：

圖1 Quanser板球系統實驗平臺

(1)

y1=x1.y2=x5.

其中，B=m/(m+Jb/R2)；球的轉動慣量Jb=2mR2/5；m為小球質量；R為小球半徑；x1、x2、x3、x4和x5、x6、x7、x8分別為板球系統X,Y軸對應的小球位置、速度和平板傾斜角度和角速度狀態變量.y1、y2分別是板球系統X,Y軸小球的實際位置輸出.ux、uy分別是板球系統X,Y軸控制輸入，即角加速度.wx、wy分別是板球系統X,Y軸兩方向受到的未知擾動.

1.2 基于擴張狀態觀測器的誤差反步控制方案

板球系統中模型的不確定擾動、向心力和視覺系統采集小球位置信息的滯后性等因素均會對小球運動軌跡產生影響，為提高板球系統的軌跡跟蹤精度，設計擴張狀態觀測器估計平板轉動過程中受到的噪聲干擾.針對采集平板轉角存在的量測噪聲，利用低通濾波器濾除噪聲干擾，并針對板球系統和低通濾波器構成的復合系統設計了含有低通濾波的誤差反步控制器，克服系統受到的外界未知擾動.板球系統X軸方向的擴張狀態觀測器下的誤差反步控制方案結構圖如圖2所示.Y軸控制方案參考X軸設計.

圖2 擴張狀態觀測器下的誤差反步控制方案結構圖

2 控制器設計及閉環穩定性分析

2.1 擴張狀態觀測器設計

小球實際的軌跡跟蹤過程中，系統通過控制平板的傾斜角控制小球的運動.針對系統受到干擾而影響平板轉動角度這一情況，根據擴張狀態觀測器設計原理[11]，選取板球系統模型式(1)中X軸子系統中的平板轉角和角速度狀態變量，擴張成新的線性控制系統式(2)，對這個被擴張的系統建立擴張狀態觀測器[12].因板球系統X,Y軸對稱分布，Y軸的擴張狀態觀測器設計參考X軸即可.

(2)

2.2 誤差反步控制器設計

針對存在隨機量測噪聲干擾的板球系統，為增強系統穩定性，將低通濾波器應用到誤差反步控制方法中，首先引入低通濾波器如下[13-14]：

(3)

其中，T表示低通濾波器時間常數；x1、x3分別表示小球位置和平板轉角；y3表示經過低通濾波器濾除測噪聲干擾的平板轉角.結合板球模型式(1)中X軸子系統和式(3)，組建帶低通濾波器的復合系統如式(4)，板球模型Y軸方向的復合系統和誤差反步控制器的設計參考X軸即可.

(4)

根據式(4),定義系統偏差[15]：

(5)

其中，α1、α2表示虛擬函數，在后面進行定義.y0x表示板球系統X軸參考輸入信號.e1、e2、e3分別表示廣義上的小球位置誤差、平板轉角誤差和角速度誤差.

對式(5)中e1求導，結合式(4)、(5)化簡后可得：

(6)

(7)

定義虛擬控制量α1，

α1=-c1e1+x1(c1>0的常數) ,

(8)

代入式(7)得：

(9)

(10)

(11)

結合式(5)、(7)、(8)和(11)化簡式(10)：

(12)

定義虛擬控制量α2：

(13)

帶入式(12)得：

(14)

(15)

(16)

結合式(6)、(11)、(12)、(16)化簡式(15)可得：

(17)

選取控制規律u0x，

(18)

結合式(4)、(5)、(8)、(13)化簡式(18),可得誤差反步控制規律u0x，

f2=c1+c2+c3-c1c2-c1c3-c2c3,

f3=c1+c2+c3,

f4=c1c2+c1c3+c2c3,

(19)

2.3 系統穩定性分析

板球系統式(1)穩定性與輸入和擾動無關[17]，在X軸方向子系統中可令ux=0,wx=0.根據引理1，選取Lyapunov方程V4(x)=xTp1x(p1為實對稱矩陣)，求導后得：

(20)

則式(1)中的X軸子系統是漸進穩定的.

對式(2)選取誤差狀態方程：

(21)

(22)

利用Young’s不等式[13]

(23)

根據引理1，結合式(22)、(23)可得：

≤-(λmin(Q2)-γ)‖ez‖2+γ‖p2‖2.

(24)

其中，λmin(Q2)表示矩陣Q2的最小特征值.根據Lyapunov穩定性理論，當擴張狀態觀測器在有限時間內漸進穩定，只需合理地調整觀測器增益即可，使λmin(Q2)-γ>0的同時γ‖p2‖2有界.

結合式(9)、(14)、(17)、(18)、(20)和(24),根據Lyapunov穩定性理論，板球系統X軸方向的擴張狀態觀測器下的誤差反步控制系統是漸進穩定的.同理可證板球系統Y軸方向的控制系統同樣是漸進穩定的.

3 仿真結果分析

板球系統模型參數m=0.1 kg,R=0.01 m,g=9.8 m/s2,B=5/7.板球系統X,Y軸擴張狀態觀測器參數均為β01=35,β02=500,β03=1 000.誤差反步控制器參數c1=3,c2=2,c3=1.小球從坐標(0,0.08)出發做半徑r=0.1 m的圓形軌跡跟蹤運動，輸入信號為：

(25)

零初始條件下，采用幅值為±0.01持續的隨機噪聲干擾作為系統受到的外界未知擾動wx和wy，圖3和圖7分別是誤差反步控制和LQR控制下的軌跡跟蹤曲線.

圖4和圖8分別是誤差反步控制和LQR控制下的X,Y軸誤差響應曲線.圖4表示的誤差反步控制下板球系統X,Y軸跟蹤誤差絕對值的平均值分別為0.77 mm和1.87 mm，而圖8表示的LQR控制下板球系統X,Y軸跟蹤誤差絕對值的平均值分別為5.3 mm和19.5 mm.圖5和圖9分別是誤差反步控制器和LQR控制器輸出曲線.圖6和圖10分別是誤差反步控制和LQR控制下的擴張狀態觀測器X,Y軸擾動.

當小球穩定運行時，在10 s處加入幅值為0.1的單位脈沖作為系統受到的外界未知擾動wx和wy，誤差反步控制下的軌跡跟蹤曲線和X,Y軸跟蹤誤差分別與圖3和圖4仿真效果一樣，LQR控制下的軌跡跟蹤曲線和X,Y軸跟蹤誤差分別與圖7和圖8仿真效果一樣.圖11和圖13分別是誤差反步控制器和LQR控制器輸出曲線.圖12和圖14分別是誤差反步控制和LQR控制下的擴張狀態觀測器X,Y軸擾動.

從圖3～14可以看出，誤差反步控制系統的軌跡跟蹤精度更高、抗干擾能力更強.