一類廣義非線性隨機系統的H∞濾波

卜令泰，楊春梅，趙峰，陳向勇

（臨沂大學 自動化與電氣工程學院，山東 臨沂 276005）

0 引 言

所謂濾波是在噪聲環境中，系統狀態不可測的情況下，利用與狀態有關的可測量輸出對系統狀態進行估計。自20世紀以來，濾波理論得到了迅速的發展，并且在許多實際領域中有著廣泛的應用，例如，導航系統，工業過程控制，信號過程，圖像再現，航空航天等。1960年數學家Kalman提出了經典的Kalman濾波方法。它作為一種重要的估計理論，推動了濾波理論的發展以及在實際系統中的應用。但是許多實際系統無法獲得精確模型和噪聲信息等情況，應用Kalman濾波導致了系統不穩定，甚至使得濾波系統發散。因此設計一個魯棒性能好的濾波器在實際的工程問題中是非常必要的。針對這種情況，1989年，Elasyred和Grimble提出了濾波問題，它是將魯棒控制與濾波理論結合起來形成的一種魯棒濾波方法。與傳統的Kalman濾波相比，濾波估計精度大大提高，在很大程度上提高了系統的性能，而后涌現出了許多相關的研究成果。

由于廣義系統重要的學術價值，以及在網絡、電力和通信等領域具有重要的應用價值，引起了學者們的廣泛關注，并出現了許多重要的令人矚目的研究成果。特別是針對廣義系統的濾波問題，Park等人研究了廣義系統的最優濾波問題，給出了誤差系統隨機容許的充要條件。Wang等人研究了時滯依賴的奇異Markov跳躍系統的濾波問題，給出了容許的充分條件，給出了期望的濾波器的存在性的充分條件。然而，由于伊藤型廣義非線性隨機系統的復雜性，針對這類系統的濾波問題仍然需要進一步的研究。

本文研究伊藤型廣義非線性隨機系統的濾波問題，目標是設計一個廣義濾波器使得濾波誤差系統是隨機穩定的并且滿足給定的性能。利用線性矩陣不等式和李雅普諾夫函數，給出了濾波器存在的條件。最后通過數值仿真驗證所給出方法的有效性。

1 問題描述

考慮以下描述的廣義非線性隨機系統：

其中()∈R、()∈、()∈R、()∈R分別是系統的狀態、擾動輸入、測量輸出、待估計信號，()是標準的一維布朗運動。非線性函數(，)滿足：

其中為已知常數。矩陣∈R滿足rank()≤。、、、、和是已知的適當維數的矩陣。

假設1：rank([])=rank()

定義1：系統（1）(())是隨機穩定的，如果存在正數()，對于任意的初始條件，使得如下的不等式成立：

定義2：廣義非線性隨機系統（1）是隨機容許的，如果系統（1）有正則，無脈沖并且是隨機穩定的。

考慮如下的濾波器：

其中x()∈R、z()∈R分別是濾波器狀態和輸出。A，B和L是待定矩陣。

其中

以下為研究的濾波問題描述：

對于廣義非線性隨機系統（1），能夠確定一個形如（3）的濾波器，使得下面的條件成立：

（1）誤差系統（4）(（）=0）隨機容許的；

（2）在零初始條件下，對于非零的()∈[0，∞]，滿足

其中

2 主要結果

本節將根據線性矩陣不等式，給出廣義非線性隨機系統的濾波問題的結論。首先給出關于濾波誤差系統的一個充分條件。

定理1：給定標量＞0，系統（4）是隨機容許的且滿足給定的性能，如果存在矩陣＞0，，，和；使得矩陣不等式成立：

下面對系統（4）（（）=0）選取如下的李雅普諾夫函數：

利用伊藤公式得

其中

利用Schur引理和（7）知：?＜0，則系統（4）(()=0)是隨機穩定的。

下面證明在零初始條件下，濾波誤差系統滿足給定的性能。利用伊藤公式可以得到：

其中

對式（10）兩端積分并取期望，可以得到：

對于系統（4）和任意的＞0，考慮以下的性能指標：

利用（7），可以得到()＜0。從而定理得證。

定理1提供的條件不是線性矩陣不等式，求解比較困難，同時利用條件（7）不能直接得到濾波器。下面將給出確定濾波器的充分條件以保證濾波誤差系統是隨機容許的且滿足給定的性能。

定理2：對于廣義非線性隨機系統（1）以及給定的干擾衰減水平＞0，濾波問題是可解的，如果存在矩陣

以 及 矩 陣，，，，，，，，，，，和，使得如下不等式成立：

其中是任意列滿秩矩陣且滿足：

得到期望的濾波器參數為：

證明：定義矩陣

可以證明由不等式（13）得到（7）成立，因此系統（4）是隨機容許的且滿足給定的性能，同時濾波器參數可通過式（14）得到。

3 數值仿真

本節給出了一個數值例子說明所提方法的有效性。考慮具有如下參數的廣義非線性隨機系統（1）：

給定性能水平＞1，利用定理2可以得到

圖1顯示了()和z()的仿真結果。從圖中可以看出，利用所設計的濾波器可以很好的估計原系統狀態。

圖1 z(t)和zf(t)的變化曲線

4 結 論

本文研究了伊藤型廣義非線性隨機系統的濾波問題。設計相應的濾波器，利用線性矩陣不等式給出充分條件保證系統是隨機容許的并且滿足給定的性能，通過解線性矩陣不等式得到濾波器參數。最后給出一個數值仿真來驗證所提方法的有效性。