基于概率統計方法確定水下盾構隧道結構健康監測安全預警值

阮俊安，李長俊，李 明，汪 漫，孫 飛，陸鈺銓

(1.杭州市城市水設施和河道保護管理中心，浙江 杭州 310003；2.浙江數智交院科技服份有限公司，浙江 杭州 310030；3.福建工程學院土木工程學院，福建 福州 350118；4.武漢商學院信息工程學院，湖北 武漢 430056)

隧道結構由于其工作環境復雜、運營條件特殊，尤其對于水下盾構隧道，其位于江河湖海之下，承受高水壓，且受季節降雨或潮水的影響，水位變化頻繁，相當比例的隧道主體結構在運營期間會產生變形過大、滲漏水、管片錯位等病害[1]，這些病害若不能被及時發現并治理，將會嚴重威脅隧道運營的安全。為了了解隧道的長期力學行為，實現對隧道運營狀況的實時監測和穩定狀況的反饋，有必要開展隧道結構健康監測系統的研究。隧道結構健康監測主要通過在關鍵位置安裝傳感器，對隧道運營期內各種力學響應進行長期在線監測，實現隧道結構的實時預警和穩定性評價，從而保證隧道的安全運營。一般情況下，一套完整的隧道結構健康監測系統主要由5部分組成[2]：①數據采集模塊:完成監測項目數據的實時采集及向中心數據庫傳輸監測數據；②中心數據庫:完成原始監測數據的預處理及監測數據的存儲；③數據管理模塊:完成原始監測數據的預處理及隧道結構穩定性的預報警；④結構安全分析模塊:基于預處理后的監測數據和有限元等方法完成隧道結構穩定性的實時計算分析；⑤結構安全評價模塊:結合監測資料和現場調研資料完成隧道結構健康狀況的定期評估。

近十幾年國內外學者開展了隧道結構健康監測研究，主要集中在傳感器研發、軟件開發、結構有限元分析等方面[3-12]，但對于數據管理模塊中隧道結構穩定性預報警相關問題的研究相對較少，預報警中的核心問題包括預警值確定、預警等級劃分和多傳感器數據融合，其中預警值確定是預警等級劃分和多傳感器數據融合的基礎。目前相關文獻中涉及或推薦的確定隧道結構健康監測安全預警值的方法主要有數值分析、參考相關規范、基于實測資料的統計規律等方法[13-16]。文獻[13]中采用力學計算、參考經驗、數值計算等方法初步確定了預警值，雖具有一定的參考意義，但并未形成嚴謹的、成體系的計算方法，還有待進一步完善；另外，該文獻中確定預警值并沒有結合現場實際監測數據，由于影響隧道結構力學響應的外界因素非常復雜，只通過純理論計算或經驗確定預警值往往難以反映工程實際。文獻[14]～[16]主要是在基于現場監測數據分析的基礎上確定預警值，較貼合工程實際，具有一定的借鑒意義。總的說來，由于水下盾構隧道結構健康監測安全預警值的研究較少，且所涉及工程本身具有的特殊性，目前并未形成一種公認的確定預警值的方法，為了添補這方面研究的不足，本文結合某水下盾構隧道結構健康監測系統一年期的監測數據，提出了利用概率統計方法來確定監測斷面各傳感器監測數據的預警值，作為一種新的方法嘗試，以為類似工程提供借鑒。

1 監測數據概率統計分析的基本原理

由于隧道結構所處環境中巖(土)體物理力學參數、車輛荷載、降雨引起的地下水變化、人類活動等具有隨機性，因此隧道運營期結構的力學響應(襯砌應變、襯砌裂縫、管片接縫張開等)具有隨機性。本文結合工程背景定義如下相關概念[17]：

總體：將某力學響應X看作一隨機變量，則該力學響應的全部可能值稱為總體。

樣本：將傳感器對力學響應的一次采集看作抽樣，則n次采集構成一個來自總體X的樣本容量為n的樣本X1、X2、…、Xn。

理論假設：①由于傳感器的每一次采集所受的影響因素相同或相近，可假定樣本X1、X2、…、Xn具有相同分布；②由于傳感器的前一時刻采集并不影響后一時刻采集，可假定樣本X1、X2、…、Xn相互獨立。

概率統計的基本思想是當總體X的分布未知或不完全知道的情況下，利用總體X中抽取的某一樣本X1、X2、…、Xn，對總體的分布做出種種推斷，從而實現對總體的認識。一般情況下，隧道結構某一力學響應的分布是未知的，但隧道結構健康監測系統可完成對其抽樣，從而獲得某一容量的樣本(監測數據)，通過對樣本分布的研究則可實現對總體的認識。

由于現實生活中正態分布隨機變量是較為廣泛存在的，因此基于假設檢驗的思想，當研究某一連續總體時，往往先假定待分析隨機變量服從正態分布，然后基于抽樣所得樣本對其進行正態性檢驗，常用的檢驗方法有擬合檢驗法、偏度-峰度檢驗法、夏皮羅-威爾克法等。當假設的隨機變量服從正態分布并通過檢驗時，則結合相關概率統計方法可獲得隨機變量的概率分布函數；當未通過檢驗時，則利用其他相關方法先獲得隨機變量的概率密度函數，再得到其概率分布函數。故基于概率統計方法確定某一力學響應(某一隨機變量)預警值的流程，見圖1。

圖1 基于概率統計方法確定某一力學響應(某一隨機 變量)預警值的流程圖Fig.1 Flow chart of determining early warning value of a mechanic response,i.e. a random variable by probability and statistics method

1. 1 正態分布的偏度和峰度檢驗

X為某一隨機變量，X1、X2、…、Xn為容量為n的來自總體X的樣本，隨機變量X的偏度v1和峰度v2表示如下[17]：

(1)

(2)

式中：E(X)表示總體X的期望；D(X)表示總體X的方差。

v1、v2的矩估計量樣本偏度G1和樣本峰度G2分別如下：

(3)

(4)

研究表明，當隨機變量X服從正態分布且樣本容量n充分大時，理論上有：

v1=v2=0

(5)

G1～N(0,6(n-2)/(n+1)(n+3))

(6)

(7)

故隨機變量X的正態性假設檢驗原理為：

構造如下假設：

H0：X為正態總體，H1：X為非正態總體

記：

σ1=[6(n-2)/(n+1)(n+3)]1/2

(8)

(9)

U1=G1/σ1

(10)

U2={G2-[3-6/(n+1)]}/σ2

(11)

若H0為真且n充分大，則近似有：

U1～N(0,1)

(12)

U2～N(0,1)

(13)

即，G1與v1、G2與v2的偏離不應該太大，當|U1|、|U2|的觀察值|u1|、|u2|過大就拒絕H0，取顯著性水平α，可得拒絕域為

(14)

|u1|≥zα/4或|u2|≥zα/4

(15)

即，當|u1|或|u2|大于zα/4時，隨機變量不服從正態分布，zα/4的取值見表1。

表1 zα/4取值表

1. 2 確定隨機變量概率密度函數的多項式擬合法

確定隨機變量概率密度函數的方法很多，相關文獻中提及的方法有正態信息擴散推斷、信息熵推斷、正交多項式推斷、多項式推斷等，考慮方法的準確性和簡便性，本文選擇多項式擬合法確定監測數據的概率密度函數。

X為區間[a,b](有限或無限)上的隨機變量[15,18]，其概率密度函數為f(x)，X1、X2、…、Xn為容量為n的來自X的樣本，x1、x2、…、xn為其觀測值，則隨機變量X的k階原點矩uk和X1、X2、…、Xn的k階樣本矩Ak分別如下：

(16)

(17)

由于X1、X2、…、Xn相互獨立且同分布，根據大數定律可證樣本矩依Ak概率收斂于總體矩uk，故當n充分大時,有[15,17]：

Ak=uk

(18)

將x在區間[a,b]上的所有連續函數記為C[a,b],若給定f(x)、g(x)∈C[a,b]，稱：

(19)

為函數f(x)與g(x)在[a,b]上的內積，其中ρ(x)為區間[a,b]上的權函數。

若有函數組φ0(x)、φ1(x)、…、φn(x)∈C[a,b]，且在[a,b]上線性無關，則可生成空間C[a,b]的一個子空間：

Hn=Span{φ0(x),φ1(x),…,φn(x)}

(20)

Hn中的任一元素可由基底表示為

(21)

其中，ai(i=0,1,…,n)為常數。

對于給定的函數f(x)∈C[a,b]，若p*(x)∈Hn滿足：

(22)

則稱p*(x)為子空間Hn中對f(x)的最佳平方逼近元素，其存在的充分必要條件是[15,18]：

(f-p*,φi)=0

(23)

即：

(24)

(25)

(26)

式(25)中由于{φi(x)}(i=0,1,…,n)是線性無關的，故方程組的系數行列式不等于零，方程組有唯一解。

1. 3 隨機變量概率分布的雙側分位數

對于隨機變量X，其概率分布函數為F(x),概率密度函數為f(x)，對于給定的α(0<α<1)，若存在數λ1、λ2(0<λ1、λ2<1)，使：

(27)

則稱λ1、λ2為隨機變量X概率分布的雙側分位數，見圖2。

圖2 隨機變量X概率分布的雙側分位數Fig.2 Bilateral quantiles of random variable X probability distribution

2 水下盾構隧道結構健康監測系統簡介

某水下盾構隧道所處環境中地層軟硬不均、水壓高、透水性強，運營環境極其復雜，為了確保該隧道安全運營并及時掌握管片受力狀態及其發展趨勢，在隧道中安裝了一套在線健康監測系統，該系統由12個監測斷面組成，左、右線各布設6個監測斷面，見圖3。如圖4至圖6所示，每個監測斷面均在拱頂管片沿環向安裝4支混凝土表面應變計(S1～S4)和6支混凝土表面裂縫計(S5～S10)，其中3支用于測量環間裂縫，3支用于測量環內裂縫。該系統投入運行以來，每小時進行一次數據采集，截止目前系統運行狀況良好，由于傳感器數量較多，故本文僅選擇某一監測斷面(LP4)10支傳感器一年期的監測數據進行概率統計分析研究。

圖3 某水下盾構隧道監測斷面示意圖Fig.3 Schematic diagram of monitoring section of a underwater shield tunnel

圖4 混凝土表面應變計Fig.4 Concrete surface strain gauge

圖5 混凝土表面裂縫計Fig.5 Concrete surface crack meter

圖6 某水下盾構隧道拱頂管片應變計與裂縫計安裝 位置示意圖Fig.6 Schematic diagram of installation position of segment strain gauge and crack gauge on vault

3 監測數據正態性檢驗

某水下盾構隧道LP4監測斷面10支傳感器一年期的監測數據，見圖7至圖9。

圖7 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S1～S4 一年期監測數據Fig.7 One year monitoring data of LP4 section sensor S1～S4

圖8 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S5、S9、S10 一年期監測數據Fig.8 One year monitoring data of LP4 section sensors S5,S9 and S10

圖9 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S6、S7、S8 一年期監測數據Fig.9 One year monitoring data of LP4 section sensor S6～S8

基于偏度和峰度檢驗法對某水下盾構隧道LP4監測斷面10支傳感器一年期監測數據進行了正態性檢驗，即利用公式(3)～(10)，計算得到統計量U1、U2的統計值u1、u2，見表2。

由表2可知：u1、u2均大于表1中的zα/4，故10支傳感器的監測數據均不服從正態分布，需要利用其他方法確定傳感器監測數據的概率密度函數f(x)和概率分布函數F(x)。傳感器的監測數據受氣溫、水位等外部環境的影響，其不服從正態分布是符合實際情況的。

表2 統計量U1、U2的統計值u1、u2計算結果

4 監測數據概率密度函數的多項式擬合與預警值的確定

4.1 基于多項式擬合法確定隨機變量的概率密度函數

由監測數據正態性檢驗結果可知，該水下盾構隧道LP4監測斷面各傳感器的監測數據均不服從正態分布，需要通過其他方法確定監測數據的概率密度函數f(x)，選擇基底為

φi(x)=xi(i=0,1,…,6)

(28)

由多項式逼近原理可知擬合目標是求系數a0、a1、…、a6，使得下式成立：

f(x)≈a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6

(29)

結合實測資料和第1.2節介紹的相關原理和方法求得LP4監測斷面各傳感器監測數據的概率密度函數多項式擬合系數，見表3(由于裂縫值較小在計算中會產生病態矩陣，所以首先要對監測數據進行適當的處理，本文先將裂縫監測值放大500倍，然后將所得結果縮小500倍得到預警值)。

表3 PL4斷面各傳感器監測數據的概率密度函數多項式擬合系數

由于篇幅限制，此處給出某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S1、S2、S5、S6監測數據的統計頻率和多項式擬合得到的概率密度函數f(x)，以及監測數據的頻率累計分布和擬合概率分布函數F(x)，見圖10至圖17。

圖10 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S1監測 數據的統計頻率和擬合概率密度函數Fig.10 Monitoring data frequency and fitting probability density function of LP4 section sensor S1 of an underwater shield tunnel

圖11 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S1監測 數據的頻率累計分布和擬合概率分布函數Fig.11 Cumulative frequency distribution and fitting probability distribution of monitoring data of LP4 section sensor S1 of an underwater shield tunnel

圖12 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S2監測 數據的統計頻率和擬合概率密度函數Fig.12 Monitoring data frequency and fitting probability density function of monitoring data of LP4 section sensor S2 of an underwater shield tunnel

圖13 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S2監測 數據的頻率累計分布和擬合概率分布函數Fig.13 Cumulative frequency distribution and fitting probability distribution of monitoring data of LP4 section sensor S2 of an underwater shield tunnel

圖14 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S5監測 數據的統計頻率和擬合概率密度函數Fig.14 Monitoring data frequency and fitting probability density function of monitoring data of LP4 section sensor S5 of an underwater shield tunnel

圖15 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S5監測 數據的頻率累計分布和擬合概率分布函數Fig.15 Cumulative frequency distribution and fitting probability distribution of monitoring data of LP4 section sensor S5 of an underwater shield tunnel

圖16 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S6監測 數據的統計頻率和擬合概率密度函數Fig.16 Monitoring data frequency and fitting probability density function of monitoring data of LP4 section sensor S6 of an underwater shield tunnel

圖17 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S6監測 數據的頻率累計分布和擬合概率分布函數Fig.17 Cumulative frequency distribution function and fitting probability distribution of monitoring data of LP4 section sensor S6 of an underwater shield tunnel

由圖10至圖17可知，本文提出的多項式擬合法可以合理、準確地確定監測數據的概率密度函數和概率分布函數。

4.2 基于隨機變量概率分布雙側分位數確定的預警值及預警結果

隧道在運營期間，夏季汛期和冬季枯水期水位落差大，溫差大，加上河床沖刷疏浚等的影響，隧道結構所處的應力狀態變化較復雜，管片可能產生拉應力導致管片局部受拉產生裂縫，也可能產生局部的壓應力集中導致管片結構開裂，因此結合工程特點，采用隨機變量概率分布雙側分位數來確定隧道上界及下界的預警值。

由于一年期間，該隧道均處于安全運營狀態，依據隨機變量概率分布雙側分位數定義，選取α=0.05，并結合第4.1節中求得的隨機變量概率密度函數和概率分布函數，得到該隧道LP4監測斷面各傳感器監測數據雙側分位數λ1、λ2(臨界值)，見表4。

表4 某水下盾構隧道LP4監測斷面各傳感器監測數據的雙側分位數(λ1、λ2)

借鑒數據標準化的思想，并參考相關文獻[2]、[15]，構造如下預警指標k并確定預警等級：

(30)

式中：x為實際監測數據；λ1表示傳感器監測數據上側分位數；λ2表示傳感器監測數據下側分位數。

當|k|<1時，表示正常狀態；當1≤|k|<1.5時，表示藍色預警狀態；當1.5≤|k|<1.8時，表示橙色預警狀態；當|k|≥1.8時，表示紅色預警狀態。由于篇幅限制，此處給出部分傳感器的預警結果，見圖18至圖21(圖中橫坐標下的年月刻度代表該月的起始時間)。

圖18 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S1監測 數據的預警結果Fig.18 Monitoring data and early warning results of LP4 section sensor S1 of an underwater shield tunnel

圖19 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S2監測 數據的預警結果Fig.19 Monitoring data and early warning results of LP4 section sensor S2 of an underwater shield tunnel

圖21 某水下盾構隧道LP4監測斷面傳感器S6監測 數據的預警結果Fig.21 Monitoring data and early warning results of LP4 section sensor S6 of an underwater shield tunnel

由圖18至圖21可見，該隧道大部分時間處于正常狀態，在每年6～8月、12月～次年2月為臨近或達到藍色預警狀態。該隧道的實際情況為：每年6～8月豐水期水位最高，隧道結構受較大的壓應力，隧道上浮、滲水、失穩等風險較大；每年12月～次年2月枯水期水位最低，由于上部卸荷作用，隧道結構局部可能產生較大的拉應力，存在管片接縫張開滲水、混凝土拉裂等風險。

綜上所述，本文所提出的概率統計預警方法獲得的預警結果與隧道實際運營狀況基本是相吻合的，表明概率統計方法在盾構隧道結構健康監測安全預警中具有較好的適用性。

5 結 論

針對隧道結構健康監測系統中預警值較難確定的問題，以某水下盾構隧道結構健康監測系統為項目背景，選取LP4監測斷面10支傳感器一年期的監測數據，利用概率統計方法確定了各傳感器監測數據的預警值，得到以下結論：

(1) 參考前人相關研究，提出基于概率統計方法確定傳感器監測數據預警值的基本流程為：首先通過正態檢驗或多項式擬合法確定傳感器監測數據的概率密度函數f(x)；然后選擇置信度α，確定傳感器監測數據概率分布的雙側分位數λ1、λ2，則以λ1、λ2為相應預警值。

(2) 利用偏度和峰度檢驗法對隧道LP4監測斷面10支傳感器一年期的監測數據進行正態檢驗，結果表明其均不服從正態分布。

(3) 利用多項式擬合法確定了隧道LP4監測斷面各傳感器監測數據的概率密度函數f(x)和概率分布函數F(x)，計算結果顯示擬合結果理想，故多項式擬合法在確定隧道傳感器監測數據的概率密度函數時具有很好的適用性。

(4) 結合隧道各傳感器監測數據的概率密度函數和概率分布的雙側分位數，選擇α=0.05，確定了各傳感器監測數據的雙側分位數λ1、λ2，并基于數據歸一化的思想提出預警指標，同時給出了部分傳感器監測數據的預警結果，該預警結果與隧道實際運營狀況相符。

本文的研究方法是基于已有監測數據采用概率統計理論確定隧道結構健康監測系統安全預警值的一種全新嘗試，能夠反映隧道結構健康監測系統工程實際，對同類型工程具有借鑒意義。