航空軸承可靠性試驗(yàn)樣本數(shù)及試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)

安浩俊，王健，許冬冬，劉公平，馬德鋒

(1.中國航發(fā)哈爾濱軸承有限公司，哈爾濱 150025；2.洛陽軸承研究所有限公司,河南 洛陽 471039;3.河南省高性能軸承技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河南 洛陽 471039)

壽命及可靠性試驗(yàn)是判定軸承可靠性指標(biāo)的重要手段。經(jīng)長(zhǎng)期研究積累，通用滾動(dòng)軸承壽命及可靠性的試驗(yàn)方法已趨于成熟，GB/T 24607—2009《滾動(dòng)軸承 壽命與可靠性試驗(yàn)及評(píng)定》對(duì)試驗(yàn)類型、載荷、轉(zhuǎn)速、樣本數(shù)量、試驗(yàn)時(shí)間、試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法等給出了明確的界定范圍。用戶可根據(jù)自身軸承產(chǎn)品的特點(diǎn)，參照標(biāo)準(zhǔn)選取相應(yīng)的試驗(yàn)類型，并確定試驗(yàn)樣本數(shù)量及試驗(yàn)時(shí)長(zhǎng)。

航空軸承、高鐵軸承等高成本、高可靠性軸承的可靠性試驗(yàn)，一般會(huì)進(jìn)行小樣本、無失效數(shù)據(jù)的定時(shí)截尾試驗(yàn)， 即將一組軸承樣品在相同試驗(yàn)條件下試驗(yàn)至規(guī)定時(shí)間后停止。在定時(shí)截尾試驗(yàn)中，試驗(yàn)樣本、分組數(shù)及試驗(yàn)時(shí)間的選取對(duì)軸承可靠性評(píng)價(jià)的影響十分明顯。文獻(xiàn)[1]對(duì)多層貝葉斯法及E-Bayes法進(jìn)行對(duì)比分析，認(rèn)為航空軸承應(yīng)按照試驗(yàn)時(shí)間對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，當(dāng)分組數(shù)在6～9組之間選擇時(shí)評(píng)估效果相對(duì)較好，且航空軸承的試驗(yàn)時(shí)間越長(zhǎng)，分組數(shù)可以越少。但在實(shí)際工程應(yīng)用中，往往只有很少量的軸承樣品，無法滿足6～9組的分組數(shù)量要求；同時(shí)，試驗(yàn)時(shí)間也受到產(chǎn)品研發(fā)進(jìn)度、試驗(yàn)成本等客觀因素的限制。如何在受限條件下合理設(shè)計(jì)試驗(yàn)樣本數(shù)量和試驗(yàn)時(shí)間，保證試驗(yàn)結(jié)果的有效性，成為困擾航空軸承可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題。

大量的試驗(yàn)研究和理論分析表明，韋布爾分布可用于小樣本情況下的可靠性評(píng)估：文獻(xiàn)[2]采用韋布爾分布研究該市高壓電纜的壽命分布；文獻(xiàn)[3]介紹3種韋布爾分布的小樣本分析方法，對(duì)比分析了不同韋布爾分布參數(shù)、樣本量和失效數(shù)下的評(píng)估結(jié)果，對(duì)小樣本可靠性試驗(yàn)中最小樣本數(shù)的選擇有一定的指導(dǎo)意義；文獻(xiàn)[4]采用貝葉斯方法對(duì)累計(jì)失效概率進(jìn)行估計(jì)，再運(yùn)用韋布爾分布計(jì)算其可靠度；文獻(xiàn)[5]研究了韋布爾分布形狀參數(shù)的變化對(duì)產(chǎn)品接收和拒收概率的影響；文獻(xiàn)[6]在已知形狀參數(shù)下限的情況下給出了可靠度和使用壽命的單側(cè)置信下限，能夠根據(jù)定時(shí)無失效數(shù)據(jù)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行高置信水平的可靠性評(píng)定。

軸承的壽命服從韋布爾分布，因此，本文擬利用韋布爾分布原理推演航空軸承小樣本、無失效數(shù)據(jù)的可靠性試驗(yàn)時(shí)間、樣本數(shù)量與可靠度指標(biāo)、給定壽命、錯(cuò)判概率等給定指標(biāo)的相互關(guān)系，并探索試驗(yàn)時(shí)間、樣本數(shù)量的設(shè)計(jì)方法。

1 航空軸承壽命分布模型

韋布爾分布具有冪率特性，能夠有效反映產(chǎn)品的不同失效模式，被廣泛應(yīng)用于可靠性研究領(lǐng)域。在Lundberg-Palmgren滾動(dòng)軸承經(jīng)典疲勞壽命理論[7]以及相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中，滾動(dòng)軸承疲勞壽命符合二參數(shù)韋布爾分布，其累積分布函數(shù)為

(1)

概率密度函數(shù)為

(2)

則可靠度函數(shù)為

(3)

軸承的失效率函數(shù)為

(4)

式中：m為函數(shù)的形狀參數(shù)，反映不同的失效模式；η為函數(shù)的形狀參數(shù)；t為軸承壽命。

2 韋布爾分布定時(shí)截尾試驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 考慮置信度的定時(shí)截尾試驗(yàn)

航空軸承具有可靠性要求高，制造困難，壽命長(zhǎng)，試驗(yàn)成本高等特點(diǎn)。為節(jié)約試驗(yàn)成本，航空軸承可靠性試驗(yàn)通常采用小樣本定時(shí)截尾試驗(yàn)的方式。設(shè)試驗(yàn)樣本數(shù)為n，各航空軸承的壽命ti(i=1,2,3,…,n)服從韋布爾分布，在試驗(yàn)時(shí)間內(nèi)所有產(chǎn)品均未失效。令z=tm，則z服從指數(shù)分布

F(z)=1-exp(-λz)；z>0，

(5)

對(duì)于指數(shù)分布，在已知可靠度和壽命置信度γ的情況下，壽命的單側(cè)置信下限為[8]

(6)

在給定壽命z和可靠度置信度λ下，可靠度單側(cè)置信下限為

(7)

對(duì)于韋布爾分布，當(dāng)形狀參數(shù)已知時(shí)，由(1)，(5)式可得，在可靠度和壽命置信度已知的情況下，壽命的單側(cè)置信下限為

(8)

則對(duì)于給定樣本數(shù)，滿足壽命T、可靠度R的產(chǎn)品定時(shí)截尾試驗(yàn)所需要的試驗(yàn)時(shí)間t0為

(9)

給定試驗(yàn)時(shí)間t0時(shí)所需試驗(yàn)樣本數(shù)n為

(10)

由于受時(shí)間、成本等因素的影響，航空軸承試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)為無失效數(shù)據(jù)，不包含壽命分布信息，形狀參數(shù)無法直接得到，對(duì)于軸承，m的取值范圍一般為0.7～2.0，因此取其下限m1為0.7，上限m2為2.0，使m1≤m≤m2。

對(duì)(9)式兩邊取對(duì)數(shù)得

(11)

求偏導(dǎo)得

(12)

2.2 考慮錯(cuò)判概率的定時(shí)截尾試驗(yàn)

產(chǎn)品可靠性試驗(yàn)在生產(chǎn)實(shí)際中較為復(fù)雜，應(yīng)盡可能多的考慮影響因素，因此引入錯(cuò)判概率的概念。錯(cuò)判概率α也稱為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)，指當(dāng)批質(zhì)量符合要求卻不被接收時(shí)生產(chǎn)方承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。

由(3)，(4)式可得

(13)

兩邊取對(duì)數(shù)可得

(14)

當(dāng)F(t)很小時(shí)有

(15)

即

(16)

當(dāng)F(t)較小且近似服從泊松分布時(shí)，其接受概率可表示為

(17)

當(dāng)無失效數(shù)據(jù)時(shí)，c=0，(17)式可表示為

(18)

當(dāng)考慮錯(cuò)判概率時(shí)，對(duì)應(yīng)于可接受的失效率上限λ0(t)，接受概率為

(19)

兩邊取對(duì)數(shù)可得

(20)

設(shè)軸承壽命目標(biāo)值為T，可靠性試驗(yàn)時(shí)間為t0，有

t0=kT，

(21)

則由(5)，(12)，(13)式可得

(22)

當(dāng)軸承可靠度、錯(cuò)判概率、壽命目標(biāo)值已確定時(shí)，由(22)式可得壽命試驗(yàn)時(shí)間與樣本數(shù)的關(guān)系式，即

(23)

當(dāng)可靠度接近100%，錯(cuò)判概率取值較小時(shí)，計(jì)算結(jié)果的精確度更高。計(jì)算可知，可靠度接近100%，錯(cuò)判概率α=0.1時(shí)，計(jì)算誤差大約為5%。

由(23)式可以看出，試驗(yàn)時(shí)間、樣本數(shù)與壽命目標(biāo)值、錯(cuò)判概率正相關(guān)，與累積失效概率F=1-R的倒數(shù)正相關(guān)，與以往試驗(yàn)情況相符。另外，在給定指標(biāo)要求和試驗(yàn)條件的情況下，增加樣本數(shù)可對(duì)應(yīng)減少試驗(yàn)時(shí)長(zhǎng)，該趨勢(shì)性也與實(shí)際相符。

軸承壽命目標(biāo)值、試驗(yàn)時(shí)間均已確定時(shí)，可由(23)式得到軸承樣本數(shù)，即

(24)

3 航空軸承工程實(shí)例

某航空用角接觸球軸承的壽命目標(biāo)值為1 100 h，可靠度目標(biāo)值R≥98%，置信度為95%，使用方可提供最大試驗(yàn)樣本數(shù)n為10。

對(duì)于航空軸承，形狀參數(shù)m一般取1.5～2.0，因此取形狀參數(shù)的下限為1.5，上限為2.0，分別代入(9)式可得試驗(yàn)時(shí)間的下限t02和上限t01，具體結(jié)果見表1：形狀參數(shù)和樣本數(shù)對(duì)試驗(yàn)時(shí)間的影響很大，隨著樣本數(shù)的增加，試驗(yàn)時(shí)間的上、下限均呈下降趨勢(shì)，且試驗(yàn)時(shí)間的選取區(qū)間逐漸縮小。

表1 試驗(yàn)樣本數(shù)與試驗(yàn)時(shí)間區(qū)間匹配方案

在錯(cuò)判概率α分別為0.01，0.05，0.10時(shí)，由(23)式計(jì)算可得不同m值時(shí)試驗(yàn)時(shí)間與樣本數(shù)的匹配方案見表2，形狀參數(shù)m和錯(cuò)判概率α對(duì)試驗(yàn)時(shí)間的影響均很大。

表2 試驗(yàn)樣本數(shù)與試驗(yàn)時(shí)間匹配方案 Tab.2 Matching scheme of sample numbers and duration of test h

不同形狀參數(shù)和不同錯(cuò)判概率對(duì)試驗(yàn)樣本和試驗(yàn)時(shí)間的影響如圖1所示：隨著錯(cuò)判概率和形狀參數(shù)的增大，試驗(yàn)樣本-試驗(yàn)時(shí)間曲線的走勢(shì)不變，但取值呈上升趨勢(shì)，且變化較大。為準(zhǔn)確設(shè)計(jì)試驗(yàn)時(shí)間和試驗(yàn)樣本數(shù)量，仍需進(jìn)行大量試驗(yàn)以確定錯(cuò)判概率和形狀參數(shù)的取值范圍。

(a) α=0.05

4 結(jié)束語

基于韋布爾分布理論，對(duì)小樣本無失效數(shù)據(jù)下航空軸承可靠性試驗(yàn)的試驗(yàn)時(shí)間、樣本數(shù)與可靠度目標(biāo)值、置信度、錯(cuò)判概率、壽命指標(biāo)等因素的相關(guān)性進(jìn)行了推演，得到了一種考慮置信度和錯(cuò)判概率的試驗(yàn)時(shí)間和樣本數(shù)量的計(jì)算方法，對(duì)試驗(yàn)時(shí)間和樣本數(shù)等試驗(yàn)參數(shù)的確定，以及小樣本無失效數(shù)據(jù)下航空軸承可靠性試驗(yàn)的設(shè)計(jì)提供一定的參考。