考慮傾角和側壓系數影響的巷道圍巖穩定分析

張雷

(中鋼集團馬鞍山礦山研究總院股份有限公司， 安徽 馬鞍山市 243000)

0 引言

忽略巷道軸長的影響，可以近似將巷道圍巖的受力問題看作平面應變問題，從而將巷道的受力問題簡化為雙向受壓無限寬板帶有中心圓孔的應力分布問題。圓形孔洞圍巖的彈塑性分析是經典的巖土力學問題，該問題最先由R.Fenner提出，在軸對稱荷載情況下，Kastner[1]將圍巖視為理想彈塑性介質得到了圓孔圍巖的彈塑性解析解，后來，國內外學者又對其進行了修正[2-4]。蔡海兵等[5]基于廣義Hoek-Brown準則，研究了在軸對稱荷載條件下巖體剪脹和塑性區內的彈性變形對圍巖的影響。張小波等[6]基于Drucker-Prager準則和非關聯流動法則，研究了在軸對稱荷載條件下應變峰后軟化與擴容對圍巖的影響。在非軸對稱荷載情況下，蔡曉鴻等給出了隧洞圍巖的塑性區分布解析解，但未考慮巖土體的軟化和剪脹性[7-8]；孫金山等[9]通過試算法找到了適當的應力函數，基于該應力函數并考慮巖土體的剪脹和軟化特性，得到了圓形隧洞圍巖的彈塑性解析解，但只考慮了側壓系數為1～3的情況。

在工程上，一般將巷道的軸向方向與最大主應力方向平行布置，這樣可以降低構造應力對巷道穩定性的影響[10]。有時，受工程地質條件影響，巷道的軸向往往與各應力方向呈一定的傾角[11]，從而導致巷道變形較為劇烈。本文基于彈塑性理論，通過坐標變換得到了側壓系數和巷道軸向傾角對巷道圍巖穩定性的影響，并研究了巷道圍巖彈塑性交界處偏應力主值的分布情況。

1 圓孔孔壁的應力轉換及力學模型

深部礦體受到三向地應力作用，即兩個水平方向的地應力σh1、σh2和一個垂直方向的地應力σv，基于三個地應力主方向建立坐標系如圖1所示。

本文在計算時基于如下假設：

（1）巷道圍巖視為均質各向同性材料；

（2）塑性區的應力取決于巖體的極限平衡 狀態；

（3）巷道為平面應變問題且為小變形范疇[12]。

圖1 坐標變換

計算時，可將巷道簡化為圓孔問題進行解析。由于圓孔的軸向方向往往不與三個主應力方向平行，通過坐標變換使得圓孔軸向與某一坐標軸方向重合可以降低圓孔圍巖應力場的分析難度。因此， 將基于三個地應力主方向建立的坐標系按照圖1所示方式進行兩次坐標軸旋轉。

（1）在不改變坐標原點位置的情況下先將基于三個地應力主方向建立的坐標系以σv為軸按右手定則旋轉角α，建立坐標系（X1，Y1，Z1），在該坐標系下各應力分量為：

式中，[σlm]表示原坐標系中各應力分量，其中：

（2）同樣在不改變坐標原點情況下，再將坐標系（X1，Y1，Z1）以Y1為軸按右手定則旋轉角β，形成坐標系（X，Y，Z），在該坐標系下各應力分量為：

式中：

由式（1）至式（4）得：

式中：

由式（5）得到在坐標系（X，Y，Z）中，圍巖各應力分量為：

忽略水平方向應力的差異，即認為σh1=σh2，令σv=p0，σh1=σh2=λp0，λ為側壓系數。從而式（7）可簡化為：

將圓孔簡化為平面應變問題，從而得到圓孔受力模型如圖2所示，圖中a為孔半徑，Rp為塑性區半徑，并令σy=q，σx=kq。

圖2 圓孔受力模型

由圖2及式（8）可知，當忽略兩個水平主應力的差異時，巷道圍巖的應力分布情況與角α無關。

2 巷道圍巖應力及位移彈塑性解

2.1 彈性區應力與位移解

由圖2可知，巷道圍巖在彈性區的受力狀態可視為雙向受壓無限寬板帶有中心圓孔的應力分布問題。將極坐標軸設在水平位置，由彈性力學中的基爾斯解答可得到彈性區的應力為[13]：

式中，θ表示與極軸的夾角，pa為彈塑性交界面的接觸壓力。

彈性區在極坐標下的幾何方程為：

由圖1可知，σy=q，σx=kq，由式（9）和式（10）得到彈性區的位移表達式如下：

根據魯賓涅特方程得到塑性區半徑的計算公式如下[14]：

式中，?為圍巖的內摩擦角，P1為支護力。當支護力為0時:

將式（13）代入式（12）得：

2.2 塑性區應力與位移解

結合前文假設條件（2），塑性區的平衡微分方程可寫為：

假設塑性區的圍巖所承擔的應力為巖體自身能承擔的極限應力，當采用Mohr-Coloumb屈服準則時，結合前文假設條件（2），在極坐標下塑性區的圍巖應力滿足下式：

式中，σc為圍巖的單軸抗壓強度。當r=Rp時，，結合式（15）與式（16）并令， 得到塑性區的應力解：

塑性區內的圍巖遵循非關聯流動法則，考慮剪脹效應對塑性區的影響得到塑性區的應變關系為：

式中，ψ為剪脹角。

假定塑性區中的應變呈軸對稱分布，上式可以寫成：

由式（18）和式（19），忽略塑性區圍巖的彈性變形并結合彈塑性交界面徑向位移連續條件：，可解得塑性區的徑向位移為：

在彈塑性區交界處的應力滿足式（16），結合式（9）與式（16），可以解得彈塑性交界面的接觸力為：

3 彈塑性交界處偏應力場分布規律

巖體的穩定性與巖體所處的偏應力場有密切關系，偏應力主要影響巖體的畸變，對巖體的破壞起重要作用。因此，分析巷道圍巖彈塑性交界面處的偏應力狀態對巷道的支護設計具有一定的工程指導意義。

令r=Rp，利用彈性力學中的極坐標與直角坐標轉換公式，可由式（9）得到彈塑性交界處應力的直角坐標表達式：

由于本文采用平面應變問題，故εz=0，由廣義胡克定律知：

由式（22）、式（23）得到：

由式（22）與式（24）即可得到圓孔圍巖彈塑性交界處在直角坐標系下的各應力分量值。一點的應力狀態可分解為靜水壓力狀態和偏應力狀態之和，即：

式中，δij為Kronecker符號，σ0為平均應力，σ0δij為球形張量。

平均應力為：

由式（23）知，τxz=τyz=0，故主偏應力為：

式中，θσ為lode角，可由下式確定：

式中：

由上述公式即可算出彈塑性交界處各偏應力主值。

4 算例

4.1 側壓系數和傾角對塑性區半徑的影響

基于上述公式以及數值計算軟件Matlab并以某礦圍巖力學參數作為依據來分析圓孔周圍的應力、位移、塑性區分布情況及其影響因素。取垂直方向的地應力為12 MPa，圍巖各力學參數見表1。

表1 圍巖力學參數

由表1中的數據并結合式（14）即可算出圓孔塑性區半徑。圖3為不同傾角β和不同側壓系數λ下塑性區半徑在極坐標下的分布情況。

圖3 塑性區半徑

由圖3可知，當側壓系數為1時，塑性區形狀恒為圓形并且其大小不受傾角的變化而變化。并且當側壓系數為1時，圖2所示的力學模型變為軸對稱荷載情況，Kastner曾給出過較為經典的軸對稱荷載下圍巖的塑性區分布情況，圖3所示的計算結果與Kastner解答得出的塑性區分布形狀及范圍相吻合。在不同傾角情況下，塑性區范圍均隨側壓系數λ的增大而增大。當傾角β為15°時，在不同側壓系數下塑性區形狀近似呈圓形。隨著β的增大，在側壓系數不等于1的情況下塑性區形狀為橢圓形，當側壓系數大于1時，塑性區形狀由“豎橢圓”狀變為“橫橢圓”狀。值得注意的是，當側壓系數為0.5時，隨傾角的增加，塑性區形狀逐漸由橢圓形演化成“葫蘆狀”，其中在水平方向上塑性區半徑隨傾角的增大而減小，在豎直方向上塑性區半徑隨傾角的增大而增大。總的來說，側壓系數λ對圍巖塑性區范圍的影響較大，對塑性區的形狀影響較小；傾角β對塑性區的形狀影響較大，而對塑性區的范圍影響較小。

4.2 側壓系數和傾角對孔壁位移量的影響

圍巖位移量大小可直接反應圍巖穩定性。基于式（20）計算得到塑性區內圍巖的位移量情況，計算結果如圖4所示。

由圖4可看出，距離孔壁的距離越大，圍巖的位移量越小。當傾角β為15°且側壓系數λ為0.5時，孔壁的位移量最小，結合圖3可知，此時塑性區半徑最小并且塑性區形狀近似為圓形。當傾角β為15°且側壓系數λ為1.5時，孔壁的位移量最大。當λ小于1時，傾角越大，孔壁的位移量越大；當λ大于1時，傾角越大，孔壁的位移量越小。當λ=1時，孔壁在水平方向的位移量與豎直方向上相等，并且孔壁的位移量不隨傾角的改變而改變，此時圍巖的塑性區半徑為圓形。

圖4 不同傾角及側壓系數下孔壁位移情況

4.3 彈塑性交界面偏應力場分布情況

由式（25）至式（30）可得到彈塑性交界處各偏應力主值的分布情況，計算結果如圖5所示。

由圖5可知，在彈塑性交界面處三個偏應力主值隨側壓系數及傾角的改變而同步發生變化。

在水平方向上（θ=0°），當側壓系數小于1時，三個偏應力主值均隨傾角的增加而減小；當側壓系數大于1時，三個偏應力主值均隨傾角的增加而 增大。

在豎直方向上（θ=90°），彈塑性交界處的偏應力場變化規律與水平方向恰好相反：當側壓系數小于1時，三個偏應力主值均隨傾角的增大而增大；當側壓系數大于1時，三個偏應力主值隨傾角的增加而減小。

根據圖5，當側壓系數為1時，無論在水平方向還是在豎直方向上，彈塑性交界處的三個偏應力主值均為定值且不隨傾角的變化而變化。這是因為當側壓系數為1時，圖2所示的受力模型變為軸對稱荷載情況，此時圍巖的應力狀態只與半徑有關而與極角無關，故而出現上述情況。

圖5 彈塑性交界處偏應力場分布情況

5 結論

根據上述分析可得出以下主要結論：

（1）通過應力分量的坐標轉換公式，得到了考慮軸向傾角的非等壓條件下巷道受力模型，采用Mohr-Coloumb屈服準則，推導了圓孔圍巖的彈塑性解析解。

（2）側壓系數對巷道塑性區范圍的影響較大，對塑性區的形狀影響較小；傾角對塑性區的形狀影 響較大，而對塑性區的范圍影響較小。孔壁圍巖在豎直方向上和水平方向上的位移量隨側壓系數的變化表現出不同的變化規律。

（3）圍巖彈塑性交界面處，在水平方向上，當側壓系數小于1時，三個偏應力主值均隨傾角的增加而減小，當側壓系數大于1時，三個偏應力主值均隨傾角的增加而增大。豎直方向上則相反。