B2O3/藍(lán)寶石熔體浮力-熱毛細(xì)對(duì)流的線性穩(wěn)定性分析

莫東鳴

(重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，重慶 401120)

0 引 言

提拉法是晶體生長(zhǎng)中最常用的一種方法之一，在提拉法生長(zhǎng)法的熔體上方添加與熔體不相溶混的液封液體，不僅可防止熔體的蒸發(fā)，也能夠抑制自由界面的熱毛細(xì)對(duì)流，提高晶體生長(zhǎng)質(zhì)量，該方法稱為液封提拉法，在晶體生長(zhǎng)領(lǐng)域中得到了廣泛的推廣[1]。對(duì)于液封生長(zhǎng)技術(shù)中的雙層液體系統(tǒng)而言，在液封液體與熔體之間的液-液界面也存在著熱毛細(xì)力，加之自由界面的熱毛細(xì)力、雙液層中受重力影響的浮力作用的耦合，使得雙層流體系統(tǒng)內(nèi)的熱對(duì)流過程變得非常復(fù)雜。近年來，越來越多的學(xué)者對(duì)雙液層流體的熱毛細(xì)對(duì)流不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。Li等對(duì)有上自由表面的B2O3/GaAs、5cSt硅油/H2O環(huán)形雙液層進(jìn)行了二維數(shù)值模擬[2-3]與漸進(jìn)解的求解[4-5]，結(jié)果表明，雙層流體比同等條件單液層的臨界Marangoni數(shù)大約兩個(gè)數(shù)量級(jí)，即液封層可以大大增強(qiáng)流動(dòng)的穩(wěn)定性。莫東鳴等[1]對(duì)微重力條件下、上部為自由表面的環(huán)形雙液池內(nèi)的B2O3/藍(lán)寶石熔體的熱毛細(xì)對(duì)流進(jìn)行了二維數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Marangoni數(shù)超過臨界值時(shí)，出現(xiàn)的失穩(wěn)流型為熱壁向冷壁處流動(dòng)的熱毛細(xì)對(duì)流失穩(wěn)與近冷壁處出現(xiàn)的Marangoni對(duì)流。Simanovski等[6-8]對(duì)上部為固壁、垂直溫度梯度與水平周期加熱的邊界條件，并且界面處施加熱源的矩形雙層系統(tǒng)展開了二維數(shù)值模擬，結(jié)果發(fā)現(xiàn)界面處的熱源超過臨界值會(huì)引起流動(dòng)分岔的發(fā)生。

Mo等采用線性穩(wěn)定性分析[9-11]對(duì)上自由表面、上固壁條件下的環(huán)形雙液層的5cSt硅油/HT-70的流動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)了在不同的半徑比、深寬比、下液層與總液層厚度比條件下，系統(tǒng)出現(xiàn)了三種流動(dòng)失穩(wěn)現(xiàn)象，即輪輻狀的熱流體波、輪輻狀和熱壁處同波數(shù)流胞疊加的熱流體波，以及三維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)。

綜上，以上的研究多采用數(shù)值模擬，它們可以獲得特定工況下的流動(dòng)特征，但要系統(tǒng)研究特定模型下的流動(dòng)穩(wěn)定性臨界條件，則采用線性穩(wěn)定性分析。而且，針對(duì)藍(lán)寶石晶體的液封提拉法的環(huán)形雙層熱毛細(xì)對(duì)流的線性穩(wěn)定性研究還尤為缺乏。為此，本文對(duì)常重力條件下、上自由表面的環(huán)形液池中B2O3/藍(lán)寶石熔體的熱毛細(xì)對(duì)流進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析，不僅可以豐富雙液層流動(dòng)系統(tǒng)非平衡熱力學(xué)理論，更可獲得液封提拉法生長(zhǎng)藍(lán)寶石晶體的工程指導(dǎo)建議。

1 物理模型及求解方法

雙層液體施以水平溫度梯度，內(nèi)壁為低溫Tc，外壁為高溫Th(Tc

圖1 物理模型

在模型中引入如下假設(shè)：(1)熔體和液封均為不可壓縮的牛頓流體，滿足Boussinesq近似；(2)流速較低，流動(dòng)為軸對(duì)稱二維層流；(3)兩相界面平整無變形，在液液界面考慮熱毛細(xì)力的作用，固-液界面滿足無滑移條件；(4)液池頂部和底部邊界均絕熱；(5)表面張力是溫度的線性函數(shù)。

對(duì)控制方程進(jìn)行無量綱化，時(shí)間、長(zhǎng)度、速度、壓力無量綱尺寸如下：(ro-ri)2/v1，ro-ri，v1/(ro-ri)和ρ1v12/(ro-ri)2，則無量綱方程可寫為：

?·Vi=0

(1)

(2)

(3)

在Z=H1=h1/(ro-ri)的液-液界面邊界條件為：

(4)

其中，R與Z為無量綱坐標(biāo)；Ma是Marangoni數(shù)，其定義式為Ma=g2-1(Th-Tc)(ro-ri)/(m1a1)；m為動(dòng)力粘度；k為導(dǎo)熱率；g2-1=-?g/?T是流體的界面張力梯度。

徑向與縱向速度用無量綱流函數(shù)y定義如下：

(5)

2 線性穩(wěn)定性分析

(6)

把方程(6)代入方程(1-4)并消去非線性項(xiàng)，則獲得線性擾動(dòng)方程。于是，方程可化簡(jiǎn)為一個(gè)廣義特征值問題:

Ax=λBx，x∈Cn

(7)

其中，A、B是具有復(fù)元素的復(fù)矩陣；n為節(jié)點(diǎn)數(shù)；x為特征向量，包含所取節(jié)點(diǎn)上的未知速度、溫度和壓力值的特征向量。方程(7)的特征值用IRAM(隱式重啟動(dòng)Arnoldi迭代法)求解。當(dāng)特征值l為零時(shí)，可得到臨界Marangoni數(shù)Mac。

3 結(jié)果與分析

重力條件下，B2O3/藍(lán)寶石熔體的流動(dòng)穩(wěn)定性與微重力條件下發(fā)生了較大的變化，在半徑比為G=0.2、徑深比為η=0.1、下液層厚度與總液層厚度比ε=0.5的幾何條件下，流動(dòng)失穩(wěn)發(fā)生了不同的分岔現(xiàn)象。為了詳細(xì)探討失穩(wěn)特性及失穩(wěn)機(jī)理，首先采用線性穩(wěn)定性分析獲得了邊際穩(wěn)定性曲線，如圖2所示。通過邊際穩(wěn)定性曲線可以看出，在Ma-m平面上有兩條邊際穩(wěn)定性曲線，對(duì)應(yīng)有兩條邊際穩(wěn)定性曲線的極小值，這說明在這樣的幾何條件下，雙液層系統(tǒng)出現(xiàn)了流動(dòng)分岔現(xiàn)象，第一個(gè)較小的臨界Marangoni數(shù)Mac1=2.35×106，臨界波數(shù)mc1=20，第二個(gè)較大的臨界Marangoni數(shù)Mac2=9.84×106，臨界波數(shù)mc2=23。代入臨界Marangoni數(shù)與臨界波數(shù)，求解目標(biāo)特征根，可以獲得流動(dòng)形態(tài)特征，當(dāng)2.35×1069.84×106時(shí)，流動(dòng)失穩(wěn)流型為熱流體波，但此種熱流體波與微重力情況下的從冷壁處擴(kuò)展的熱流體波不同，是從熱壁出發(fā)并向冷壁處擴(kuò)展的。采用線性穩(wěn)定性分析獲得的液-液界面溫度波動(dòng)如圖4所示。它們是一組波數(shù)為23的熱流體波，同微重力情況第二失穩(wěn)情況一樣，流胞從熱壁處發(fā)出以徑向夾角φ=31.52°向冷壁處擴(kuò)展，大約擴(kuò)展到徑向距離的1/6處。

圖2 上部為固壁時(shí)微重力條件下的B2O3/藍(lán)寶石熔體邊際穩(wěn)定性曲線G=0.2，ε=0.5，η=0.1

圖3 常重力條件下三維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)液-液界面溫度波動(dòng)圖η=1.0，ε=0.5

圖4 上部為固壁時(shí)微重力條件下B2O3/藍(lán)寶石熔體的液-液界面溫度波動(dòng)G=0.2，ε=0.5，η=0.1，Ma=9.84×106，φ=31.52°，w=1.198

為了進(jìn)一步揭示此種失穩(wěn)機(jī)制的產(chǎn)生機(jī)理，通過二維數(shù)值模擬得到了Marangoni數(shù)為1.6×107時(shí)的液-液界面徑向速度與溫度分布，如圖5(a-b)，以及監(jiān)測(cè)點(diǎn)R=0.5處的經(jīng)向速度與溫度分布，見圖5(c-d)。當(dāng)Ma=1.6×107時(shí)，此時(shí)Marangoni數(shù)大于臨界Marangoni數(shù)Mac2=9.84×106，流動(dòng)為靠熱壁處的熱流體波。從圖5(a)液-液界面的徑向速度看，靠近冷壁處，先是出現(xiàn)了一次速度的急速下降，然后再回升后繼續(xù)再下降，此種特性在第一次失穩(wěn)現(xiàn)象中未曾發(fā)現(xiàn)，只在二次失穩(wěn)后出現(xiàn)。并且，速度再次升高后，并不是快速地升高到近于0的小值，而是保持了較高的速度逐漸減小。可見，正是徑向的溫度梯度促使熱毛細(xì)力的產(chǎn)生，并且在近冷壁處的溫度梯度越大，流動(dòng)速度的變化也越大，系統(tǒng)的不穩(wěn)定性在這個(gè)區(qū)域也越強(qiáng)。隨著Marangoni數(shù)增大到Ma=8.0×106，超過臨界值Mac2=4.528×106，此時(shí)產(chǎn)生了輪輻狀的熱流體波。并且，值得注意的是，在B2O3/藍(lán)寶石熔體系統(tǒng)的下液層，溫度分布呈線性分布，且靠近液-液界面比靠近底壁的溫度要高。從監(jiān)測(cè)點(diǎn)的垂向速度與溫度分布來看，其分布特征與微重力條件下的該監(jiān)測(cè)點(diǎn)的情況相似。故此，在微重力情況與常重力情況下，都出現(xiàn)了熱壁邊緣處的熱流體波。

圖5 G=0.2，ε=0.5和η=0.1時(shí)(a-b)液-液界面徑向速度與溫度(c-d)R=0.5的徑向速度與溫度

B2O3/藍(lán)寶石熔體系統(tǒng)中，常重力下出現(xiàn)流動(dòng)分岔現(xiàn)象，界面溫度波動(dòng)型態(tài)有兩種：第一種是三維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)；第二種是熱流體波。與5cSt硅油/HT-70系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，在相同幾何條件下，出現(xiàn)了流動(dòng)分岔現(xiàn)象，但從流動(dòng)失穩(wěn)臨界值的對(duì)比來看，5cSt硅油/HT-70系統(tǒng)的臨界失穩(wěn)Marangoni數(shù)為1.408×106，B2O3/藍(lán)寶石熔體系統(tǒng)的失穩(wěn)臨界值為Ma=2.35×106，與微重力情況不同，B2O3/藍(lán)寶石熔體系統(tǒng)反而比5cSt硅油/HT-70系統(tǒng)更不容易失穩(wěn)了，這說明在B2O3/藍(lán)寶石熔體系統(tǒng)中，液-液界面處的熱毛細(xì)對(duì)流，比浮力對(duì)流的作用更重要。

4 結(jié)束語

本文對(duì)常重力條件，水平溫度梯度作用下，G=0.2，ε=0.5，η=0.1時(shí)，上部為上固壁的環(huán)形液池中B2O3/藍(lán)寶石熔體的熱毛細(xì)對(duì)流流動(dòng)穩(wěn)定性展開了線性穩(wěn)定性分析，獲得了以下結(jié)論。

(1)B2O3/藍(lán)寶石熔體工質(zhì)對(duì)存在兩條邊際穩(wěn)定性曲線，第一種流動(dòng)失穩(wěn)是徑向的三維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，第二種流動(dòng)失穩(wěn)是靠近熱壁處的熱流體波；

(2)B2O3/藍(lán)寶石熔體工質(zhì)對(duì)、5cSt硅油/HT-70系統(tǒng)都是在常重力條件下比在微重力條件下更易失穩(wěn)，說明浮力破壞了上固壁的雙液層系統(tǒng)的流動(dòng)穩(wěn)定性，使流動(dòng)變得更不穩(wěn)定了。

(3)從流動(dòng)失穩(wěn)臨界值的對(duì)比來看，5cSt硅油/HT-70系統(tǒng)的臨界失穩(wěn)Marangoni數(shù)為1.408×106，B2O3/藍(lán)寶石熔體系統(tǒng)的失穩(wěn)臨界值為Ma=2.35×106，與微重力情況不同，B2O3/藍(lán)寶石熔體系統(tǒng)反而比5cSt硅油/HT-70系統(tǒng)更不容易失穩(wěn)了，這說明在B2O3/藍(lán)寶石熔體系統(tǒng)中，液-液界面處的熱毛細(xì)對(duì)流，比浮力對(duì)流的作用更重要。