基于負電阻電磁分流阻尼的結構振動控制

李 戈，毛崎波，王 永

（1.南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌 330063；2.國網上海市電力公司 特高壓換流站分公司，上海 201413）

將電磁分流阻尼(electromagnetic shunt damper，EMSD)用于結構振動控制是一種新發展起來的被動控制方法，具有控制力和阻尼力較大、信號響應為寬頻、傳遞力具有非接觸性等優點。EMSD 的原理是利用線圈與永磁體的相對運動所產生的電磁阻尼力[1]阻礙系統的振動，并通過外接的分流電路消耗或者收集由系統的機械能轉化而來的電能。

根據機電類比，當把LRC 2 階串并聯電路作為EMSD 的分流電路時，可以將EMSD 視作一個參數可以方便調節的調諧質量阻尼器[2]。而對于參數可調的EMSD 來說，重要的是得到分流電路的最優設計值，其次是使得分流電路參數達到或者接近對應的最優值。但是對于一個附加EMSD的單自由度系統而言，線圈的直流電阻往往要大于分流電路最優電阻值，因此可以在分流電路中接入負電阻模擬電路中和線圈直流電阻，從而使得分流電路等效電阻接近于最優電阻，進而提高振動控制效果。Yan等[3]提出在一種電磁調諧質量阻尼器的分流電路中接入負電感負電阻電路，并將其用于懸臂梁的多模態控制；Zhang等[4]在EMSD 的L-R型分流電路中接入負電阻電路，并將其用于懸臂板的多模態振動控制(結構的固有頻率較低，在100 Hz以內)；鄭文廣等[5]提出在分流電路接入負電阻來調節接入EMSD后的結構固有頻率，并取得了極好的控制效果。以上幾位學者的研究均表明將負電阻電路用于結構振動控制有著非常好的效果，但其均應用L-R 型分流電路，L-R型分流電路具有感抗會隨頻率增加的缺點，而不能用于控制高頻振動，而且，即便能用于控制結構的多模態振動，也只是在結構固有頻率較小的情況下。但是考慮到在LRC串聯的2階振蕩電路中感抗與容抗相位相差180°的特點，將L-R 電路改為LRC 電路可以消除分流電路中的高頻感抗，進而能更有效地控制結構振動。同樣，采用LRC分流的EMSD的參數優化也是至關重要的。Zhou等[7]先后使用了定點理論、H2優化、最大衰減系數優化(極點配置法)等3種方法，得到了附加EMSD 的單自由度系統在做簡諧、隨機、瞬態等3 種振動時，接入負電阻后的LRC串聯分流電路的最優參數解析解。Inoue等[8]在假設線圈電感值為給定值條件下，利用定點理論推導出將分流電路為LRC 串聯電路的EMSD 用于無阻尼單自由度系統的振動控制時，分流電路的最優設計參數。然而對于定點理論來說，若主系統存在阻尼系數時，不同阻尼比所對應的頻響函數曲線并不會交于兩個定點，此時定點理論會面臨失效[9]。且文獻[7]中機電耦合系數被限制為2 以內，根據定點理論所推導出的結論才能成立，這是其不足之處。對于與文獻[8]同樣的模型，Tang等[10]利用H2優化推導出了最優調諧比、阻尼比的解析表達式，從其結論來看,主系統無阻尼時，采用LRC串聯分流的EMSD的機電耦合系數被限制為2 以內，更進一步地，Ikegame等[2]利用H2優化理論得到了有阻尼時主系統最優調諧比、阻尼比的解析表達式，但是通過計算其結論可知：主系統有阻尼時，采用LRC 串聯分流的EMSD 的機電耦合系數將會小于0～2 中的某個數，比如當主系統的阻尼比為0.05 時，機電耦合系數被限制為1.709 9 之內，而且當主系統阻尼比越大，機電耦合系數被限制得更加嚴重。而且，如果實際的機電耦合系數接近于這些上限值，會使得調諧比趨近于0，從而導致最優電容變得非常大，因此采用H2優化和定點理論的方案可行性不足。從這些優化EMSD 分流電路的參數的文獻來看，使得衰減系數最大化的極點配置法的結論，對機電耦合系數的大小沒有任何限制，且其計算過程也相對簡單，因此其適用性是最好的。

因此本文選擇文獻[2]中推導出的極點配置法的結論確定EMSD 的LRC 分流電路的最優設計參數，并接入負電阻電路，用于對懸臂梁進行結構振動控制，然后通過計算頻響函數，判斷接入負電阻后的控制效果是否能得到提升。

需要注意的是，因為實驗難度較大，且目前并沒有國內外學者針對采用負電阻LRC 分流的EMSD進行過實驗，因此本文僅涉及理論模型和數值計算。

1 LRC 串聯分流的電磁分流阻尼用于懸臂梁的振動控制

圖1所示即為EMSD控制懸臂梁結構振動的示意圖，其中坐標系原點在固定端處，傳感器的測量點和激振器的激勵點位于同一位置，即xs=x0，設電磁線圈的放置點為xi，則電磁線圈對懸臂梁施加的作用力可以等效為線圈的中心點位置xi處的集中力；其中Rsh為分流電路電阻，Rsh可以為負電阻即Rsh=Rn。

圖1 LRC串聯的電磁分流阻尼用于懸臂梁振動控制的示意圖

圖2所示為加入負電阻后分流電路的等效電路圖，其中eM=為感應電動勢，電阻R0為線圈直流電阻，Rsh為分流電路外接等效電阻Rsh=R1-RSRb/Ra，若Rsh為負電阻，可以令Rsh=Rn,Rn為負電阻。

圖2 由電磁線圈、電容和負電阻分流器組成的電路示意圖

假設懸臂梁的彎曲振動的模態函數為ψi(x)(數學表達式見參考文獻[11])，則懸臂梁的第i階模態質量和模態阻尼、模態剛度矩陣如式(1)、式(2)、式(3)所示[11]：

假設電流為i(t)，激振力的大小為f(t)，則第i階的模態力為如式(11)所示[11]：

設懸臂梁的第i階模態坐標為Wi，則點x處的位移為式(5)為將EMSD 用于懸臂梁振動控制時的機電耦合方程，其中R為等效電阻：

根據模態疊加法，可以將上述方程改寫如式(6)所示：

假設以激振力f(t)為輸入量，測量點速度Vx0為輸出量，則狀態空間模型如式(7)、式(8)所示：

2 數值計算

將采用LRC 分流的EMSD 用于控制懸臂梁的振動，所涉及到的懸臂梁的參數以及電磁線圈參數如表1所示。

表1 懸臂梁以及線圈參數

懸臂梁的多個固有頻率ωn1至ωnN對應的分流電路最優電容為CS1至CnN。根據文獻[2]，選用極點配置優化法時，對于控制懸臂梁的第i階模態振動，分流電路的最優調諧比為由此得到控制懸臂梁第i階模態振動的分流電路最優電容為最優電阻阻值為Ropti=結構的前4階的固有頻率以及最優電容的數值如表2所示。

結合第1節所推導出的狀態空間模型和表1、表2的數據，算得在不同負電阻下采用LRC串聯的電磁分流阻尼控制的懸臂梁第1階模態振動速度頻響函數如圖3所示。

表2 結構固有頻率以及最優電容的數值

圖3 將采用LRC串聯的電磁分流阻尼用于懸臂梁的振動控制(控制第1階模態振動)

由圖3可知，逐步增加負電阻后，控制效果也隨之逐步提升，但需要注意的是，并不是負電阻越大，控制效果越好，這是因為將EMSD用于結構振動控制時，其相當于一個虛擬的調諧質量阻尼器，當負電阻增大并使得等效電阻接近于0時分流電路阻尼比會趨于0，從而控制效果也會下降；控制第1 階模態振動所對應的分流電路參數也會對第2階模態振動有影響，因此電磁分流阻尼具有多模態控制效果。

但這種控制效果在結構固有頻率較高時會消失，比如對懸臂梁第3 階模態振動幾乎沒有控制效果，產生這種現象的原因是：對于控制懸臂梁第1階模態振動的分流電路的電路原件，若不改變其數值大小，直接將其用于控制第2階模態振動，此時分流電路的振蕩頻率為結構的第2 階固有頻率，此時線圈上的感抗遠大于電容上的容抗，分流電路產生失諧，導致電流急劇降低及線圈發出的控制力大大降低。這也第2 階模態的控制效果沒有第1 階模態好的原因。由于第3階及更高階模態的固有頻率遠大于第1 階模態的固有頻率，若結構以這種高階模態的固有頻率振動，則線圈的感抗愈加增大，容抗愈加趨近于零，從而產生了更加嚴重的失諧，這也是其對第3階及更高階的模態幾乎沒有控制效果的原因。

需要注意的是，圖3中的第2階模態振動的頻響函數在負電阻取-9.5 Ω 至0時的幅值要小于不加入負電阻時的幅值，這說明了負電阻能在一定程度上提升EMSD的多模態控制效果。

圖4所示為控制第1 階模態振動時的相頻響應曲線。

圖4 相頻響應曲線(控制懸臂梁第1階模態)

由圖4可知，相頻響應曲線在每個固有頻率處均出現一個180°的相位滯后，而且在每個虛的零點通過一個180°的相位超前得到補償。相位總是在90°至-90°之間振蕩，這是由于傳遞函數的零點和極點相間排列所導致的。

分別將分流電路電容取CS2、CS3、CS4，并將它們代入式(7)、式(8)，計算出在分流電路接入不同負電阻條件下采用極點配置法優化懸臂梁第2 階、第3階、第4階模態振動時的頻響函數，如圖5所示。

由圖5可知，在分流電路中接入負電阻能很好地提高電磁分流阻尼的控制效果；且只需要更改電容數值，LRC 串聯分流電路就能控制結構的任一模態振動，也包括固有頻率較高的模態。這是L-R 型負電阻分流電路所不及的。

根據文獻[2]，在圖5的(a)至(c)圖中，最優電阻阻值逐次增大，因此最優負電阻的阻值大小隨著模態階數遞增而減小。圖5(a)至圖5(c)中，對于各階模態的調控對鄰階模態沒有產生控制效果，這是因為單獨控制第2階至4階模態中的任一階振動，意味著分流電路的參數與被控制的那一階模態對應，且分流電路處于諧振狀態，若結構以相鄰模態的固有頻率振動，由于相鄰模態固有頻率的數值相差足夠大（見表2），分流電路會產生嚴重的失諧，導致等效阻抗急劇增大，使得電流和控制力都會急劇降低。這是相鄰模態所受到的影響很小的原因，同時也是結構固有頻率較高時EMSD 不再具有多模態控制效果的原因。

圖5 采用LRC串聯分流的電磁分流阻尼分別控制懸臂梁的第2階至第4階模態振動

3 結語

本文建立了將采用LRC 串連分流的電磁分流阻尼用于懸臂梁結構振動控制的狀態空間模型，數值計算結果表明了以下結論：

(1)負電阻通過降低分流電路電阻，增大電流和控制力，能有效地控制結構振動。

(2)當結構固有頻率較低時，電磁分流阻尼具有多模態控制效果，且負電阻能在一定程度上提升這種多模態控制效果。

(3)LRC分流電路相比于L-R分流電路，只需要更改分流電路參數就能控制結構的其他模態振動，這是其優勢所在。