基于Stewart平臺的空間撓性體振動復合控制

喇啟云，周徐斌，呂 旺，周春華

（1.上海衛星工程研究所，上海201109； 2.上海航天技術研究院，上海 201109）

日趨增加的航天任務難度伴隨著航天器及其附件朝著大型化、低剛度、弱阻尼和模態密集的方向發展。航天器在工作過程中，大型空間撓性體會受到工作環境（熱輻射、空間碎片、溫度沖擊、太陽風等）和內部擾動作用（姿態調整、軌道變化、載荷活動等）的影響[1－2]。這些因素對空間撓性體帶來的影響無法避免，非常容易激起撓性體的振動。撓性振動具有時間長、頻率低、幅度大等特性，它消耗航天器能量，并對航天器的安全帶來巨大隱患。當航天器主體運動與撓性振動耦合時，會對航天器的指向精度和姿態穩定產生極大的影響。因此抑制空間大撓性體的振動尤為重要。

針對航天器撓性體的振動抑制問題，主要有兩種振動控制方法：被動振動控制和主動振動控制。被動振動控制主要是利用阻尼材料或者在撓性體上安裝阻尼器[3]來改變系統特性，其對于高頻振動抑制效果較好，但應對環境變化的能力差。近年來，以分力合成、輸入成型和智能材料振動控制為代表的主動振動控制方法的研究取得了重要進展。陜晉軍等[4]將分力合成方法與閉環控制相結合，應用氣浮模擬器，基于三自由度撓性系統進行實驗，驗證了該方法的可行性，證明其能夠提高航天器的姿態控制精度。以壓電元件為主的智能材料振動控制方法是將控制作用直接施加于撓性體進行振動控制。陳春強等[5]將懸臂板設計成電流變夾層結構，利用變剛度控制降低懸臂板的振動水平。孫杰等[6]將壓電纖維復合材料分布式布置在撓性體表面，采用線性二次型最優控制算法進行主動控制，可以實現對航天器撓性振動的快速抑制。

但是，以壓電元件為主的智能材料控制撓性振動的方法對于振幅大、基頻小的撓性振動存在驅動力不足的問題。此外，在空間大型撓性體上布置壓電驅動器會影響撓性體的收攏和展開過程，增加系統的附加質量，降低系統的可靠性。由于六自由度Stewart 平臺具有剛度質量比大，承載能力高、穩定性好、抗干擾能力強等特性[7]，并且可以直接通過串聯安裝在航天器本體和撓性體之間，避免對撓性體的展開和收攏產生影響。因此本文采用在大型撓性體根部安裝Stewart平臺的方法控制撓性振動。

Wang 等[8]將積分力傳感器與基于FxLMS 的自適應反饋結合，用于壓電型Stewart 平臺的振動抑制。Ko 等[9]提出了基于迭代學習控制的Stewart 平臺振動控制方法。Beijen等[10]僅考慮了Stewart平臺自身建模參數的不確定性，忽略載荷撓性模態，設計前饋控制器，降低了建模不確定性對振動控制性能的影響。上述研究未充分考慮建模不確定性對振動控制性能的影響，本文考慮了撓性體動力學模型和Stewart 平臺動力學模型的不確定性，建立了以Stewart 平臺跟蹤誤差和撓性體模態位移為狀態量的復合動力學模型，并結合LQR設計了復合振動控制器，實現對撓性體的振動控制。

1 動力學建模

1.1 Stewart運動平臺

Stewart 平臺是一種精度高、剛度大的六自由度并聯機構，主要由負載平臺、集成作動器的支腿和基平臺通過約束副連接組成。Stewart 平臺的構型較多，其中具有標準立方體構型的6 支撐桿平臺以其獨特的動力學特性而更廣受關注。立方體構型的Stewart平臺具有各方向剛度和控制能力一致、機械構造簡單、運動學和動力學原理簡單、執行機構控制系統的設計方便等優點。本文選用立方體UPS（一端球鉸、一端萬向鉸）構型的Stewart 平臺進行撓性振動控制設計。

撓性振動控制平臺的坐標系如圖1所示。負載平臺固聯坐標系fp(opxpypzp)和基平臺固聯坐標系fb(obxbybzb)分別固聯在負載平臺和基平臺的質心，fe(oexeyeze)為慣性坐標系。定義負載平臺質心的位姿 向 量 為X=[x,y,z,φ,θ,φ]T，其中[x,y,z]T和[φ,θ,φ]T分別是負載平臺質心的位置坐標和采用卡爾丹角表示的姿態角。

圖1 坐標系統圖

支腿向量的表達式：

式中：li為第i根支腿的位置向量，pi和bi分別是慣性坐標系中第i根支腿與負載平臺和基平臺鉸接點的位置向量。t為負載平臺質心在慣性坐標系中的位置向量。

支腿的長度為：

支腿的方向向量為：

支腿與上平臺的關系為：

式中：J為雅可比矩陣，它將上平臺和支腿聯系在一起。雅可比矩陣J的詳細定義為：

式中：p×i(i=1,2,3,4,5,6)為向量的pi的叉乘矩陣。

由牛頓歐拉法得到Stewart平臺的動力學模型：

式中：M為慣性矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Δ為負載平臺動力學模型的不確定性；τ為支腿的廣義驅動力向量；Br為Stewart負載平臺與撓性體的轉動耦合系數；Bt為Stewart負載平臺與撓性體的平動耦合系數。

1.2 空間撓性體

通過有限元法求得撓性體上第k個節點的振型為：

式中：k=1,2,…,n，n為采用有限元法獲得的節點總數，N為振型截斷數。

若模態坐標向量η表示為：

則第k個節點線位移hk表示為：

使用第二類拉格朗日方程推導撓性體的運動方程。撓性體的動能為：

式中：rk=χ+ρk+hk，ρk為撓性體第k個節點在P系中的位置矢量。ωb和vb分別是相對慣性系的角速度和線速度。

撓性體的應變勢能為：

式中：Kk表示第k個節點的剛度矩陣，根據振型Φk的正交性質，有diag(ω21ω22…ω2N)表示用有限元法求得的撓性體的各階模態頻率。

撓性體的拉格朗日函數為：

撓性體的拉格朗日動力學方程為：

將式（10）和式（11）代入式（13）得撓性體的動力學方程：

式中：ξ=diag(ξ1,ξ2,…,ξN)為撓性體阻尼矩陣。

2 考慮建模不確定性的復合振動控制器設計

由式（14）可知，Stewart 負載平臺的加速度可為撓性體提供控制作用，分開設計振動控制器和Stewart 平臺運動控制器。LQR 控制方法僅適用于撓性體動力學表達式（14）的控制律，得到期望的Stewart平臺位姿Xdc后設計Stewart 平臺運動控制器，以跟蹤期望位姿Xdc。

撓性體第k個節點在fe(oexeyeze)系中的位置矢量為：

當Stewart 負載平臺的跟蹤誤差exd=Xd-X和撓性體的振動為0 時，撓性體和Stewart 負載平臺的運動等效為剛體運動，其中Xd為負載平臺的位姿指令。為了抑制撓性體的振動，得到期望的負載平臺位姿Xdc，相應的跟蹤誤差為ex=Xdc-X。當ex和exd為0 時，由兩個跟蹤誤差相減可得exm=exd-ex=Xd-Xdc為0，因此可以Xdc跟蹤Xd。誤差exm的相應動力學方程可以寫為：

式中：a1和a2是常系數矩陣，F是虛擬控制力，可控制exm趨于0。

誤差ex的動力學方程可寫為：

式中：b1和b2是常系數矩陣，由Stewart 平臺的控制律確定，δ為Stewart 平臺動力學模型的不確定性和撓性體動力學模型的不確定性之和。

將式（17）代入式（16），可得誤差exd的動力學方程：

再將式（18）代入式（14），得復合動力學方程為：

式中：B=[BTt BTr]

將式（19）進一步寫為：

式中：ξh和Λh分別為阻尼矩陣和剛度矩陣，Bh為控制增益矩陣。

由式（20）得狀態空間方程：

式中：

利用LQR 控制方法設計振動控制器得到虛擬控制力F。定義系統的二次型性能泛函為：

式中：Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。為了確保Z取到極小值，需要在從t0開始到無限時刻結束的區間內，尋找并計算得到最優控制量F，系統從初始狀態X0向穩態方向發展。

系統Riccati方程為：

最優控制量：

式中：P由系統Riccati方程求得，F可由U獲得。

3 撓性太陽陣振動控制仿真分析

用于撓性體振動控制的閉環系統原理框圖見圖2。由狀態空間方程式（21）以及LQR控制方法得到虛擬控制力F，將F代入誤差exm的動力學方程（16）中得到期望的負載平臺位姿Xdc，由于滑模控制方法抗干擾魯棒性好，適應于變體控制系統，因此本文選用滑模控制設計Stewart平臺的控制器，跟蹤負載平臺期望位姿Xdc。

圖2 閉環控制系統圖

選擇大型撓性太陽陣作為仿真對象，太陽陣的質量特性參數和撓性參數以及立方體UPS 構型的Stewart平臺的基本參數如表1所示。

表1 太陽陣和Stewart平臺的基本參數

太陽陣尺寸/m太陽陣質心（fp坐標系）/m太陽陣轉動慣量/（kg·m2）太陽陣前3階頻率/Hz太陽陣前3階阻尼比ξ平動耦合系數Bt 3×1.5×0.015[0.007 0 1.9]T diag[69.23,2.69,68.61]0.705,1.293,1.783 0.01,0.01,0.01■ ■■■2.80 0 0 0 0 0 0 2.83 0■ ■■■轉動耦合系數Br負載平臺半徑/m基礎平臺半徑/m平臺高度/m負載平臺轉動慣量/（kg·m2）作動器阻尼矩陣/N·s·m-1作動器剛度矩陣/N·m-1 0 7.64 0 0 0 -1.44-7.61 0 0 0.256 0.256 0.1732 diag[0.154,0.308,0.154]diag[20,20,20,20,20,20]diag[1,1,1,1,1,1]×105■ ■■■■ ■■■

復合動力學方程中常系數矩陣a1、a2、b1、b2取值分別為：

a1=diag(20…20)18×18

a2=diag(30…30)18×18

b1=b2=diag(10…10)18×18

最優控制器的控制參數Q和R分別為：

Q=diag(500…500)18×18

R=diag(0.5…0.5)18×18

選取慣性坐標系fe與初始負載平臺固連坐標系fp重合，Stewart 負載平臺的初始位姿X0=[0,0,0,0,0,1]T。前10 s 關閉Stewart 平臺控制器，Stewart負載平臺開始以平衡位姿[0,0,0,0,0,0]T為中心進行回復運動，周期為1.42 s，在Stewart負載平臺回復運動的激勵下，太陽陣產生衰減振動，兩種運動相互耦合。第10 s開啟Stewart平臺的控制器，抑制太陽陣的振動。太陽陣的模態響應曲線如圖3所示。激勵主要引起太陽陣1 階彎曲振動，第10 s后1階振動得到迅速抑制。

圖3 太陽陣模態響應曲線

圖4是Stewart平臺6條支腿作動器的廣義驅動力曲線，支腿作動器1、2和6主要為抑制太陽陣1階彎曲振動提供驅動力。圖5是由復合控制器獲得的Stewart 平臺的期望位姿Xdc和實際位姿X，從第10 s開始，實際位姿X跟隨期望位姿Xdc變化使太陽陣的撓性振動迅速衰減，且Stewart 平臺的位姿趨于穩定。

圖4 6條支腿廣義驅動力曲線

圖5 Stewart平臺位姿曲線

4 結語

本文針對空間大型撓性體的振動控制問題，采用在撓性體根部安裝Stewart 平臺的方法來控制撓性振動，并提出一種復合振動控制器的設計方法。主要結論如下：

（1）為了便于執行機構控制系統的設計，更加快速準確跟蹤控制指令，選用立方體UPS 構型的Stewart平臺，采用牛頓歐拉法建立Stewart平臺動力學模型。撓采用有限元法結合拉格朗日函數建立空間撓性體的振動方程。

（2）針對Stewart平臺動力學和空間撓性體動力學建模不確定性，設計了復合振動控制器，利用LQR控制方法設計跟蹤誤差和模態位移的復合動力學的控制律，得到Stewart 上平臺的期望位姿χdc，然后設計Stewart 平臺運動滑模控制器，以跟蹤期望位姿χdc，實現對撓性體的振動抑制。

（3）仿真結果表明，所采用的基于Stewart 平臺的空間撓性體振動復合控制方法能夠有效抑制撓性振動，同時該方法可應用于空間大型撓性體的精確定位和振動抑制。但本文尚未考慮低頻模態密集情況下的控制問題，尚未進行姿態機動過程中撓性體振動控制效果的研究，這些需在后續研究中進一步考慮。