減振鏜桿系統非線性動態特性與吸振能量研究

楊 杏，韓 威，石建飛

（1.陜西鐵路工程職業技術學院 鐵道裝備制造學院，陜西 渭南 714000；2.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050）

減振鏜桿被廣泛應用于深孔加工中，在機械制造工藝中占有重要地位。減振鏜桿工作時振動產生的能量主要通過其內部質量塊的往復振動吸收，從而達到減振的目的[1－2]。鏜桿與工件接觸產生的顫振嚴重影響產品加工質量[3]，高精密智能制造的發展對減振鏜桿系統的精度、平穩性和可靠性提出了更高的要求。因此，研究減振鏜桿系統振動問題，對其結構優化設計與加工質量提高極為重要。

國內外對減振鏜桿系統減振性能進行了大量的研究，Lee等[4]利用復合材料設計了具有較強抗顫振性能的阻尼鏜刀桿，分析了其動態特性；秦柏等[5]建立了減振鏜桿系統的多柔體動力學模型，分析了彈簧剛度和黏性阻尼對鏜桿振動幅值的影響；何全文等[6]建立鏜桿系統有限元模型，分析了鏜桿諧響應特性和幅頻特性；向文英[7]借助有限元法研究了減振鏜桿系統的動力學特性，并對影響系統振動的相關參數進行優化，得到減振效果較優的力學參數；羅紅波等[8]建立3自由度減振鏜桿系統力學模型，研究了外界激勵頻率對鏜桿振幅的影響，但忽略橡膠圈和阻尼液等非線性因素的影響。在非線性動力學方面，閆俊霞等[9]對摩擦耗能鏜桿的原理進行了分析，建立了包含非線性庫侖干摩擦的數學模型，并以摩擦參數為變量，通過數值仿真方法研究了模型的吸振性能。楊月婷[10]提出了半主動動力吸振鏜桿系統，將磁流變液應用于鏜桿的減振裝置，著重分析其非線性因素對減振鏜刀桿振動特性的影響。石建飛等[11－12]考慮橡膠圈和阻尼液非線性因素的影響，研究了減振鏜桿系統的安全盆分岔與侵蝕機理，分析了兩自由度和三自由度減振鏜桿系統的分岔與混沌特性。很多學者對減振鏜桿系統的動態性能和非線性動力學進行了大量研究，并取得了很多有價值的研究成果，但忽略了在鏜桿內部橡膠圈和阻尼液等耦合作用下振動剛度的時變特性，對內部質量塊吸振能量的變化規律鮮有研究，雙參數關聯下鏜桿系統非線性動態特性和吸振能量分布特性也未見報道。

本文考慮鏜桿內部橡膠圈和阻尼液的非線性因素及其在耦合作用下的時變剛度特性，建立兩自由度減振鏜桿系統非線性動力學模型，研究減振塊質量和外激勵頻率對系統非線性動力學特性的影響以及減振塊吸振能量的變化規律，并基于雙參數分析法[13]，研究減振塊質量和外激勵頻率的關聯作用對鏜桿系統非線性動力學特性和吸振能量的影響。

1 兩自由度減振鏜桿系統動力學建模

減振鏜桿系統的結構示意圖如圖1所示[12]，其主要由鏜桿桿體1、墊片2、橡膠圈3、阻尼液4、減振質量塊5、堵塊6、刀頭7和緊固螺釘8組成。鏜桿振動產生的能量主要被內部質量塊5 吸收，從而可減小鏜桿振動。為方便動力學建模與分析，將鏜桿桿體1、墊片2、堵塊6、刀頭7 和緊固螺釘8 作為主系統，其質量為M1，令K1和C1為主系統的剛度和阻尼；以橡膠圈3、阻尼液4、減振質量塊5 為減振單元，令M2、K2和C2分別為其質量、剛度和阻尼。圖2為減振鏜桿系統簡化物理模型，其中Fcos(Ωτ+Ψ)為系統外激力。

圖1 減振鏜桿系統結構示意圖

圖2 減振鏜桿系統簡化物理模型

由于阻尼液和橡膠圈的耦合作用，減振塊振動剛度和阻尼呈時變性和非線性[14－15]。為便于計算和分析，減振塊時變剛度可被表征為1 階諧波函數的形式，K2(τ)=Km+Knsin(Ωτ+Ψ)，式中Km和Kn分別為平均剛度和時變剛度波動系數。減振塊非線性時變彈簧力Fe可表示為：

其中：E為小參數。減振塊非線性阻尼力Fd可由式(2)計算得到。

式中：Λ為非對稱系數，表征減振器復原行程與壓縮行程阻尼力的不相等度，sign(·)為符號函數，可由式(3)表示。

根據集中質量法，減振鏜桿系統的非線性動力學模型如下：將式(1)和式(2)代入式(4)，并令初始位移D=X1(0)為長度尺度，T1=為時間尺度，定義以下無量綱量：

則，方程式(4)的無量綱形式為：

2 參數影響下減振鏜桿系統非線性動態特性分析

減振塊質量和外激勵頻率對鏜桿系統的減振性能有重要的影響。本文基于變步長4階Runge-Kutta法研究減振塊質量比m=M2/M1和外激勵頻率ω及其相互關聯性對鏜桿系統非線性動態特性的影響。

2.1 單參數變化的影響

（1）減振塊質量比m的影響

令外激勵初始相位角Ψ=0.0，取系統無量綱參數k1=0.2、k2=0.1、ζ1=0.01、ζ2=0.09、ε=0.1、ω=0.75、η=0.428 6、f=1.5，令減振塊質量比m為控制參數，圖3為鏜桿桿體振動位移x1隨質量比m增大的分岔圖與對應最大Lyapunov指數譜圖（TLE）。穩定周期運動的TLE 值小于0，混沌運動的TLE 值大于0，準周期運動的TLE值在0附近上下波動。

圖3 隨m增大的分岔圖與相應TLE譜

當m較小時（A點左邊），系統雖表現為穩定的周期1運動p1，但其振動幅值相對較大，如圖4（a）所示，其中曲線表示相軌跡，品紅色圓點表示Poincaré映射點（下同）。隨著m增大，p1在A點倍化為周期2運動p2，隨后p2在B點經過一次周期跳躍轉遷為另一種周期2 運動q2，p2 與q2 的相軌跡拓撲結構不同，且q2的軌跡相對擴大，見圖4（b）和圖4（c）。

圖4 系統相圖和Poincaré映射圖

q2 在C點進入準周期運動qp1，qp1 在較小的m范圍內存在，在D點退化為周期2運動r2，qp1與r2的相軌跡和Poincaré 映射圖見圖4（d）和圖4（e）。隨后，r2在E點再次轉遷為準周期運動qp2，且隨m的增大qp2 運動振動幅值不斷減小，見圖4（f）和圖4（g）。qp2 在F點退化為穩定的周期1 運動，且振動幅值減小，見圖4（h）。

可見，減振塊質量比m對系統的振動有重要的影響，當m較大（F點右邊）或較小時（A點左邊），系統表現為穩定周期1 行為，但m較小時系統振動幅值較大，制約產品加工精度；m在0.3～0.7附近時，系統出現分岔和準周期行為，鏜桿振動相對復雜。故在減振鏜桿系統設計中，在滿足尺寸參數條件下應盡可能采用大質量的減振塊，以減小鏜桿振動。

（2）外激勵頻率ω的影響

令外激勵頻率ω為參數變量，取m=0.55，剩余參數與圖3中保持一致，圖5為鏜桿系統振動位移x1隨ω增大的分岔圖及相應的TLE 譜圖。圖6為與圖5相對應的相圖和Poincaré映射圖。

圖5中，當ω較小時系統表現為準周期運動qp1，其Poincaré 映射圖為極限環，見圖6（a），隨后qp1 退化為周期3 運動，見圖6（b），該周期3 在ω極小范圍內存在，隨后該周期3 運動轉遷為準周期運動qp2，其Poincaré映射圖為3個極限環，見圖6（c）。隨著ω的增大，qp2 退化為周期1 運動p1，p1 在A點發生周期跳躍，并轉遷為不同的周期1運動q1，且振動幅值減小，見圖6（d）和圖6（e）。

圖5 隨ω增大的分岔圖與相應TLE譜

q1 在B點倍化為周期2 運動q2，隨后q2 在C點倍化為周期4 運動q4，q4 在D點進入混沌（Chaos），相軌跡和Poincaré映射如圖6（f）至圖6（h）。混沌運動在E點退化為穩定的周期2 運動p2，見圖6（i）。隨后，p2 在F點進入準周期運動qp3，且隨著ω的增大，qp3的相軌跡不斷縮小，系統振動幅值減小，見圖6（j）至圖6（l）。qp3在G點退化為穩定的周期1運動r1，在G和H點之間系統出現準周期運動窗口qp4和qp5，在H和I點之間出現準周期運動qp6，其Poincaré映射圖表現為扭曲的閉合曲線，見圖6（m）。圖6（n）為r1的相軌跡和Poincaré 映射圖，其振動幅值相對較小。

圖6 系統相圖和Poincaré映射圖

圖6 系統相圖和Poincaré映射圖

可見，在不同外激勵頻率ω范圍內，系統動力學行為不同，ω在0.5、0.7 和0.9 附近時，其動力學行為相對復雜，出現分岔和準周期行為，對應TLE值出現了大于0 和等于0 的情況。ω對系統振動的影響是間斷性的，因此在實際應用中應選擇合理的ω值，以避免不穩定和振動幅值較大的運動。

2.2 參數平面上系統非線性動態特性

圖7指示外激勵頻率ω與減振塊質量比m的關聯作用對減振鏜桿系統非線性動態特性的影響規律，圖中每一個點（ω,m）的計算結果作為下一個點的初始值。圖中不同顏色表示不同運動類型的存在區域，如周期1 運動p1（紅色）、周期2 運動p2（黃色）、周期3運動p3（紫色）、周期4運動p4（品紅色）、周期7運動p7（藍色）以及非周期運動qp（天藍色，可能是混沌運動或準周期運動）。

圖7 ω-m平面上減振鏜桿系統動力學行為分布特性

在參數平面ω-m上，系統在大部分區域內表現為穩定周期1運動p1，在較小區域內出現周期2運動p2 和周期4 運動p4，而在極小區域內出現周期3 運動p3和周期7運動p7。ω和m的組合關系對系統動力學行為的復雜性產生嚴重影響。如在ω=0.5 附近，m在0.2到0.7之間變化時，系統動力學行為相對較復雜，出現分岔、周期2、周期3、周期7 和非周期行為。

圖3和圖5分別為圖7中ω=0.75和m=0.55時的兩種特例。圖3和圖5與圖7的一致性相對較好，圖7能更全面地顯示系統動力學特性與參數m和ω之間的關聯關系和匹配規律，揭示參數關聯下系統更多的動力學信息。

可見，ω與m的不同組合或匹配關系對系統非線性動態特性有重要的影響，在ω與m組合的大部分區域內系統運動較穩定，而在較小區域內系統運動較復雜，出現分岔和準周期行為，該區域內ω與m組合情況在工程應用中應盡可能避免。另外，參數相同時初值對系統動力學行為有重要影響，可能出現多穩態，這為后期進一步研究雙參數與多初值關聯下系統非線性動態特性提供方向。

2.3 系統非光滑特性

由于非線性阻尼力表達式（2）中符號函數(見式(3))的存在，隨著減振塊M2與桿體M1相對速度（-）的變化，系統可能發生切換現象，表現為非光滑行為。

便于分析和討論，令m為參數變量，剩余參數與圖3中一致，取狀態邊界條件（切換條件）為Poincaré映射截面，繪制鏜桿桿體振動位移x1隨m增大的分岔圖如圖8（a）所示，圖8（b）為對應時間周期映射截面上減振塊與桿體相對速度隨m增大的變化規律。

對比圖8（a）和圖3，發現兩圖中除了P點到R點、S點到T點之間的區域，在m的其他范圍內，系統動力學行為的分岔和演化過程基本一致。造成這一差異的原因是擦邊分岔。圖8（a）中在P點附近系統發生擦邊分岔，對應相軌跡見圖9（a），圖中Z點附近系統軌跡與虛線相切，表示在Z點附近系統沒有發生切換行為，紅色符號“×”表示系統軌跡與切換面的交點，意味著切換現象發生。圖中有2 個“×”，表示系統在切換面上表現為周期2行為。隨m增大，在Z附近系統軌跡穿越切換面（或虛線=0），見圖9（b），系統在切換截面上表現為周期3 行為，即有3 個“×”。表明隨著m增大，在P點系統經擦邊分岔由周期2行為轉遷為周期3行為。

圖8 m對系統非光滑特性的影響

隨著m繼續增大，在S點附近系統由混沌退化為周期3行為，對應相圖見圖9（c），相軌跡與切換面有3個交點（3個“×”）。在T點附近系統發生擦邊分岔，由周期3 行為轉遷為周期2 行為，相軌跡如圖9（d）所示，其在M點附近與切換面（虛線）相切，且有2個“×”。

可見，擦邊分岔會改變系統在切換映射截面上的動力學行為的類型，增加或減小系統運動軌跡與切換面的交點數量。由圖9（b）可知，＜0均出現，表明系統切換現象確實發生。

圖9 擦邊行為：（-, x2-x1）平面上系統相軌跡

3 減振質量塊吸振能量特性分析

3.1 吸振能量模型

減振鏜桿系統主要靠其內部質量塊的振動吸收能量，從而減小鏜桿振動。減振塊振動能量Et主要包括動能Ek和由橡膠圈、阻尼液引起的勢能Ep，可用式（6）計算得到。

式中，無量綱動能Ek和勢能Ep可分別由式（7）和式（8）計算得到。

令Etmax、Ekmax和Epmax分別為時域內減振塊吸收最大能量、最大動能和最大勢能。

可見，減振塊吸振能量不僅與其相對位移和速度有關，還與其質量、剛度、外激勵頻率密切相關。

3.2 吸振能量變化特性

為了與3.1 節對照分析，令鏜桿質量為1，圖10揭示減振塊質量m對其無量綱最大吸振能量的影響。圖中，減振塊動能對其吸振能量貢獻較大，而勢能的貢獻相對較小。在A點之前或F點之后吸振能量隨m的增大呈增大趨勢，且變化相對穩定，主要因為在此區域系統表現為穩定的周期1行為，m的大小對吸振能量的影響較大。在A和F點之間，吸振能量變化較大，其隨m增大呈先增大后下降的趨勢，主要原因是在A和F點之間系統出現分岔和準周期運動，系統動力學行為較復雜，見圖3。可見，當系統運動較穩定時，吸振能量隨m增大而增大；當系統運動相對復雜時，其吸振能量不僅與m有關，還與系統動力學行為密切相關。

圖10 減振塊吸振能量隨m的變化特性

圖11描述外激勵頻率ω對減振塊無量綱最大吸振能量的影響規律。減振塊吸振能量主要由其動能Ekmax引起，在A和B點之間或G點之后，吸振能量變化相對穩定，且隨ω的增大在G點之后呈增大趨勢，在A和B之間呈減小趨勢。在A點之前或B和G點之間，吸振能量變化相對復雜，主要原因是在該區域系統非線性動力學行為相對復雜，出現了分岔、混沌和準周期等，見圖5。可見，當系統動力學行為相對穩定時，ω對減振塊吸振能量的影響相對穩定，當系統動力學行為較復雜時，吸振能量與外激勵頻率ω和動力學行為均密切相關。

為分析減振塊質量m和外激勵頻率ω關聯作用對減振塊無量綱最大吸振能量的影響規律，圖12給出了兩參數平面ω-m上減振塊最大吸振量Etmax的分布特性。圖10和圖11為圖12中當ω=0.75 和m=0.55時的兩種特殊情況。在不同的ω和m關聯或匹配下，減振塊最大吸振能量相差較大，在Z1和Z2區域吸振能量較大，Z1區域最大吸振能量最高達到32，Z2區域最大吸振能量最高達23，其余區域最大吸振能量較小。

圖11 減振塊吸振能量隨ω的變化特性

圖12 ω-m參數平面上減振塊無量綱最大吸振能量Etmax的分布特性

當減振塊質量m較小時，減振塊吸振能量較小，減振效果較差，且受外激勵頻率ω的影響很小。隨著m的增大，吸振能量不斷增大，且受ω的影響較大，如Z1和Z2區域。在Z1區域，在m和ω的關聯下，系統出現分岔、混沌和準周期等非線性動力學行為，增加減振塊吸振能量，但同時也加劇系統振動；在Z2區域，吸振能量同時隨m和ω的增大而增大，系統吸振能量較大且表現為穩定的周期1 行為，減振效果最好。

可見，減振塊質量m和外激勵頻率ω的關聯協同作用對減振塊吸振能量有重要的影響，在ω一定范圍內，增大m有利于提升系統減振效果。

4 結語

本文考慮橡膠圈和阻尼液耦合作用下的非線性阻尼力和非線性彈性力，建立了兩自由度減振鏜桿系統非線性動力學模型，并通過減振塊與鏜桿桿體之間的相對運動分析，構建減振塊吸振能量模型；基于建立的模型，研究了減振塊質量和外激勵頻率及其關聯協同作用對系統非線性動態特性和最大吸振能量變化特性的影響。具體結論如下：

（1）減振塊質量比m和外激力頻率ω對系統非線性振動影響較大。m在0.3 到0.7 之間取值，或ω在0.5、0.7 和0.9 附近取值時，系統動力學行為相對復雜，出現了分岔和混沌。一定參數條件下適當增加減振塊質量或選擇合理的外激勵頻率可以提升系統減振性能。根據ω-m平面上動力學行為的分布，可合理匹配減振塊質量比和外激勵頻率以避免系統復雜或不穩定運動，提高系統穩定性。

（2）系統吸振能量主要由減振塊動能構成，其勢能的貢獻較小。系統運動較穩定時，吸振能量隨減振塊質量比m增大而增大；出現分岔或混沌時，盡管吸振能量較大，但其動力學行為較復雜且不穩定。而外激力頻率ω對減振塊吸振能量的影響相對穩定；系統運動相對復雜時（如ω在0.5和0.7附近時），吸振能量不僅與減振塊質量比m或外激力頻率ω有關，還與系統動力學行為密切相關。通過合理匹配減振塊質量和外激力頻率的值，可以有效避免復雜運動，提高吸振能量，改善系統減振性能。本文的研究對減振鏜桿系統參數優化設計、動態性能的改善具有一定參考價值。