軸承動載荷識別方法改進及試驗驗證

劉志強,陳亞明,沈德明,楊建剛,譚 平

（1.東南大學 火電機組振動國家工程研究中心，南京 210096；2.光大環境科技（中國）有限公司，南京 211106；3.南京科遠智慧科技集團股份有限公司，南京 211102；4.江蘇省熱工過程智能控制重點實驗室，南京 211102）

動載荷是影響旋轉機械軸承性能的重要因素，準確識別軸承動載荷對于保證旋轉機械的安全穩定運行至關重要。軸承動載荷很難直接測量獲取，根據實測振動等數據識別軸承動載荷是研究熱點。

動載荷識別方法主要有頻域法和時域法[1]。時域法利用結構模態參數建立逆向時域模型，根據已知的動響應重構動載荷。時域法對初值非常敏感，誤差累積難以避免且計算效率低[2]。頻域法是在頻域內構建系統逆向頻響函數模型，再通過系統輸出識別輸入。頻域識別方法包括：頻響函數直接求逆法和模態坐標變換法。模態坐標變換法需要已知結構模態參數，在模態空間識別載荷的分布特性后，轉換到物理空間[3]。該方法對模態參數識別的準確度要求較高，存在因模態截斷所帶來的誤差。頻響函數直接求逆法[4]簡便，得到廣泛應用。但是該方法存在測點和試驗工況合理選取、矩陣病態等問題，導致解的不適定性。為了解決頻響函數矩陣病態問題，人們開展了很多研究。Hansen[5]提出TSVD 法將較小的奇異值過濾，避免實測響應誤差被過度放大。陳震等[6]在TSVD的基礎上，提出基于分段多項式截斷奇異值分解（Piecewise Polynomial Truncated Singular Value Decomposition，PPTSVD）識別橋梁移動載荷，算例表明該方法識別移動載荷精度高。夏超男、葉新茂[7－8]分別采用L 曲線法、廣義交叉驗證(GCV)法和通用交叉驗證(OCV)法選取TSVD 模型中最優正則化參數。部分學者根據結構動力響應測試思路解決矩陣病態問題，姜金輝等、周林等[9－10]提出基于復合條件數權重法的測點優選模型，一定程度上可以減輕頻響函數矩陣病態程度。楊帆等[11]基于模態函數分布創立了響應點篩選理論，適用于不同的載荷類型和邊界條件。Gupta 等[12]利用D-最優設計結合有限元分析，確定最佳測點位置以提高載荷識別精度。

本文以發動機多支點軸承動載荷識別問題為對象，在基于條件數的響應點優化選擇基礎上，采用TSVD正則化方法消除矩陣病態性。在雙轉子試驗平臺上進行載荷識別試驗，驗證了該方法的有效性。

1 軸承動載荷辨識模型

對于實測的線性結構確定性響應，設實測響應點個數為m，待識別的載荷個數為n。動載荷列陣F(ω)與響應列陣U(ω)之間在頻域上線性關系如式(1)所示：

式中：H∈Cm×n，m≥n，H為系統的頻響函數矩陣。動載荷可以表示為：

式中：上標“H”表示矩陣復共軛轉置。

1.1 基于條件數的測點優化

不同響應點測點組合對應的頻響函數矩陣不同，響應測點最優組合在于找到病態程度最低的頻響函數矩陣。響應點個數對應頻響函數的行數，載荷激勵個數對應其列數，為保證解唯一，響應點個數不少于載荷激勵個數[13]。

選取響應測點個數為mr(n≤mr≤m)，則測點選取共有種組合，對于第i種組合，對應的頻響函數矩陣表示為Hi(mr×n)，其條件數可以表示如下：

遍歷所有測點個數下測點組合頻響函數矩陣的條件數，找到條件數最小的矩陣，對應的響應測點組合即為最優方案。

1.2 截斷奇異值分解技術（TSVD）

對頻響函數矩陣H進行奇異值分解：

式中：Umn={u1,u2,…,un}和Vnn={v1,v2,…,vn}為列向量正交陣，是系統頻響函數矩陣H分解出的兩個酉矩陣，分別包括H矩陣奇異值左、右奇異向量；對角陣Σnn的對角元素{ }σi，i=1,2,…,n，σi≥0 是矩陣H的所有奇異值且按由大到小的順序排列。將式(4)代入式(2)中，則得到F為：

式中：上標“+”表示矩陣H的摩爾-彭諾斯廣義偽逆，H+的表達式為：

從式(5)可以看出，較小的奇異值會顯著放大響應誤差對參數估值的影響，使最小二乘解非常不穩定。截斷奇異值分解(TSVD)法采用一個低秩矩陣Hk逼近原矩陣H，其中k＜n，目的是消除過小的奇異值及對應的特征向量對正則解帶來的影響，由此削弱方程的病態特性，則式(1)的TSVD正則化解表示為：

式中：

式中：Σk是將對角陣Σ中n-k個最小的奇異值過濾后得到的，當k取值合理時，矩陣Hk的條件數適中，使得TSVD 正則解更穩定，k稱為截斷數，使病態矩陣H轉化為良態矩陣Hk。引入濾波因子：

將式(8)代入式(7)中，正則化解表達為：

TSVD法的關鍵在于截斷數k的選取，即確定合適的奇異閾值σk。在本文試驗條件下，待識別載荷個數為3 個，分解后的奇異值矩陣中，只有3 個奇異值，大部分測點組合下最小奇異值占比不到10%，故取奇異值累積占比為90%，舍棄小奇異值，排除實際測試中響應誤差的干擾。

2 軸承動載荷識別試驗

2.1 試驗臺

在具有內外雙機匣的雙轉子試驗臺上進行軸承支點動載荷辨識試驗。試驗臺為帶有高、低壓轉子的雙轉子結構，各支承通過錐殼和輻板連接到機匣上耦合在一起，機匣包括：進氣機匣、風扇機匣、中介機匣、核心機匣和渦輪后機匣，機匣通過兩個安裝節安裝在基座上。本文主要通過機匣水平方向振動，識別低壓轉子軸承水平方向動載荷。低壓轉子由#1、#2、#3共3個滾動軸承支承，其上帶有2個輪盤，軸承支點動載荷主要由輪盤不平衡力引起，可利用輪盤進行動平衡實驗。低壓轉子支撐模型和試驗臺實物圖如圖1所示。

圖1 軸承支點動載荷識別試驗裝置

頻響函數測試系統主要由加速度傳感器、電荷放大器、力錘和信號分析儀組成。在頻響函數測試試驗時，激勵由壓電式力傳感器產生，靈敏度為4.11 pC/N，力信號通過電荷放大器放大后傳輸到652u IOtech 動態信號分析儀中，電荷放大器的放大系數為1 mV/N；通過振動加速度傳感器測量系統加速度響應，傳感器靈敏度為100 mV/g，力信號和加速度振動信號由信號分析儀采集后被輸入計算機，經計算得到位移頻響函數。試驗臺運行時，使用振動數據采集儀獲取機匣表面振動位移信號，采樣樣本長度設置為1 024，同步采樣周期數為8。

2.2 實驗方案設計

在低壓壓氣機和渦輪輪盤上設置不平衡量，模擬不同動載荷工況，表1給出了7種試驗工況。在保證試驗安全下，使各工況之間機匣表面振動變化盡可能大。

表1 雙轉子試驗臺運行工況

在機匣表面布置10 個測點測量機匣響應作為系統響應，將低壓轉子所受不平衡力等效為3 個軸承所受激勵并作為系統激勵，低壓轉子測點布置如圖2所示。拆除轉子，分別敲擊機匣表面的10 個測點，得到3個軸承支點的響應，再利用頻響函數互易性，獲得軸承支點到機匣表面10×3維加速度頻響函數矩陣，相干系數大于0.7，認為頻響函數可靠。

圖2 試驗臺結構及測點布置

利用實測機匣響應和頻響函數，識別出兩種工況下3 個軸承支點動載荷矢量差，根據力和力矩平衡，計算出兩個輪盤上不平衡力，將計算出的輪盤不平衡力矢量差與實際不平衡力矢量差對比，得到不平衡力的幅值和相位誤差，平均幅值相對誤差在15%左右，同時平均相位誤差不超過20°，認為動載荷識別結果可靠[14]。

低壓轉子受力分析模型如圖3所示，輪盤不平衡力求解方程見式(11)。

圖3 低壓轉子受力分析模型

式中：U1和U2分別為低壓壓氣機風扇輪盤和低壓渦輪盤所受不平衡力；F1、F2和F3分別為#1、#2 和#3 軸承所受動載荷。

2.3 試驗結果分析

以測點3為例，圖4給出了轉速為1 170 r/min和1 294 r/min時機匣表面該測點的振動原始波形和頻譜圖。試驗轉速1 170 r/min 接近臨界轉速1 200 r/min，與不平衡力同頻的工頻振動被大幅度激發出來，幅值較大，占據主導成分，導致振動波型比較規則。遠離該轉速區間，轉速在1 294 r/min時，各種頻率成分都存在，信號比較不規則，故選擇轉速1 170 r/min時進行分析。圖5為通過錘擊試驗獲得的各機匣與軸承支點的頻響函數和相干系數，在10 Hz～30 Hz研究范圍內相干系數大于0.85。

圖4 機匣測點3原始波形和頻譜圖

圖5 機匣-軸承頻響函數曲線

為了驗證最優響應測點選取方案識別載荷的準確性，試驗中總共選取響應測點3個～10個，載荷識別個數為3，共有=968種可能的組合，并對每種組合情況計算其對應的頻響函數條件數。圖6給出了所有測點組合的條件數，表2為部分較小和較大條件數時的測點組合。

圖6 不同測點組合對應的條件數

從表2可以看出：測點組合為2、6、8時最小條件數為6.4；測點組合為1、2、10時最大條件數為181.9。對比表中左右兩列測點組合，當加入測點5、10 時，條件數較大，導致矩陣病態程度變大。選擇響應點測點時應遵循以下原則：①避開機匣邊緣處；②測點之間不能相距太近。選擇低壓壓氣機風扇機匣和核心機匣中部時，頻響函數條件數更低，矩陣病態程度得到改善。

表2 部分測點組合條件數

對比不同載荷識別方法，選擇6組對比工況，響應點分別選取機匣表面全部測點、對比測點組合2、5、6、8和優化測點組合2、6、8時，得到3個軸承支點動載荷識別結果，根據式（11）計算出加重輪盤不平衡力識別值，對比實際不平衡力和識別值獲得載荷識別幅值和相位誤差。

表3給出了選取機匣表面全部測點時，采用頻響函數直接求逆法識別軸承動載荷結果；表4給出了選取機匣表面全部測點時，采用TSVD 正則化法識別軸承動載荷結果；表5給出了選取對比測點組合時，采用TSVD正則化法識別軸承動載荷結果；表6給出了選取優化響應點測點組合時，采用TSVD正則化法識別軸承動載荷結果。

表3 全部測點-直接求逆

表4 全部測點-TSVD法

表5 對比測點-TSVD法

表6 優化測點-TSVD法

從表3可以發現，對比組合加入機匣邊緣測點5時，由于與測點6距離較近，響應之間線性相關性變大，導致載荷識別誤差比優化測點組合大，故只需選取其中一個測點即可，這進一步說明測點選取的合理性。綜合采用基于條件數的響應點優化方法和TSVD 法能夠改善頻響函數矩陣的病態程度，提高軸承動載荷的識別精度。

3 結語

針對帶機匣的多支承旋轉機械軸承動載荷識別問題，采用頻響函數直接求逆法識別載荷，建立TSVD 正則化和基于條件數的響應點測點優化相結合的方法，抑制該逆問題中矩陣的病態性。在雙轉子試驗臺上進行載荷識別試驗，通過在輪盤上模擬不同不平衡工況，將低壓轉子所受不平衡力等效為軸承支點所受動載荷，驗證載荷識別的準確性。結果表明：機匣響應點測點選取應避開結構邊緣，采用測點組合優化后的TSVD方法可以有效減弱頻響函數矩陣的病態性，使軸承動載荷識別結果更準確。