有源磁控憶阻超混沌電路實現及圖像加密*

張 潔,徐龍昊,尹寶全

(1.西北師范大學物理與電子工程學院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅省智能信息技術與應用工程研究中心，甘肅 蘭州 730070)

1 引言

1971年，Chua教授[1]提出了憶阻器理論。近年來，基于憶阻器的混沌系統設計已經成為憶阻器研究的熱點之一[2 - 5]。Chen等[6]利用一種新型的余弦憶阻器構造了一個四維憶阻系統。孫亮等[7]將局部有源憶阻器用于模擬生物突觸，構建了一個局部有源憶阻突觸耦合HR(Hindmarsh Rose)神經元網絡。王勻等[8]利用憶阻器結合分數階理論和時滯系統理論，提出了一種基于分數階時滯的非線性混沌電路。Li等[9]在三維系統中引入憶阻器，得到了一個四維超混沌系統，其具有無限個穩定和不穩定的平衡點。雖然對憶阻器的研究開展得較多，但基于憶阻器的超混沌系統的研究卻相對較少。

此外，混沌系統由于其隨機性，被廣泛應用于圖像加密中。Liu等[10]提出了基于分段線性混沌系統加密的圖像加密算法。高成明等[11]提出了一種基于混沌的置亂-擴散圖像加密算法。方鵬飛等[12]提出了一種基于改進的二維Logistic混沌映射與DNA序列運算相結合的分組圖像加密算法。上述研究雖然都很好地完成了圖像加密，但都是單次加密。在圖像加密的過程中多次加密往往比單次加密的效果要好。

本文首先在Rucklidge[13]提出的三維系統的基礎上，加入二次非線性有源磁控憶阻器，構造了一個四階超混沌系統；然后通過相圖、Lyapunov指數譜、分岔圖和平衡點等指標，對該系統的動力學行為進行分析，并基于Multisim電路仿真軟件和現場可編程門陣列FPGA(Field Programmable Gate Array)數字硬件電路設計實現了電路；最后結合DNA加密設計了一種新的圖像加密算法，同時對加密后的圖像進行分析。結果表明，本文提出的混沌系統應用于圖像加密具有較高的安全性能。

2 新四階超混沌系統

Rucklidge[13]提出的三維系統的方程如式(1)所示：

(1)

其中，α、β和p均為常數，α=2,β=6,p=-1;x、y和z均為狀態變量，并且系統有3個平衡點。現考慮引入一個憶阻器到這個三維系統。這里選用二次非線性磁控憶阻器,憶阻器的函數表達式如式(2)所示：

W(φ)=-m+n|φ|

(2)

其中,m=1,n=4。將流經憶阻器的磁通表示為第4個狀態變量，狀態變量y為憶阻器兩端的電壓，憶阻強度用g(g>0)表示，引入后的系統方程如式(3)所示：

(3)

其中,α=2,β=6,g=0.1,p=-1;x、y、z和u均為狀態變量。當系統的初始值為(0.1,0.1,0，0)時，式(3)存在復雜的超混沌現象。利用四階龍格庫塔算法求解式(3)，步長設置為0.1，結果如圖1所示。圖1展示了式(3)混沌吸引子在(x,y),(y,z)，(x,z)和(y,u)4個平面的二維映射圖。觀察圖1可以發現，相圖有2個渦卷和復雜的拉伸結構，并且圖1b和圖1c是左右對稱的圖形。

Figure 1 Phase diagram of hyperchaotic system圖1 超混沌系統的相圖

3 超混沌系統的動力學分析

3.1 系統平衡點

為求系統平衡點，令超混沌系統方程式(3)的右邊等于零，得到式(4):

(4)

當系統方程的參數為α=2,β=6,g=0.1,p=-1時，系統的平衡點為(0,0,0,ε),ε為任意數，并且可以得到式(4)的Jacobi矩陣如式(5)所示：

(5)

式(5)的特征方程如式(6)所示：

F(λ)=λ(λ-p){(α+λ)[gW(ε)+λ]-β}=0

(6)

3.2 系統的對稱性和耗散性

系統對坐標變換 (x，y，z，u)→(-x，-y，z，-u)具有不變性，所以系統關于z軸對稱。通過式(3)得到系統的散度如式(7)所示：

(7)

即▽V=-3.1-0.4|φ|，其中|φ|≥0。所以散度小于0，系統具有耗散性，且系統以指數形式dV/dt=e(-3.1-0.4|φ|)t收斂,其中V表示存儲在系統中的能量，t表示時間，此式表明系統的能量在不斷地減少。當t→∞時所有的系統軌跡最終都將會被限制在一個體積為0的極限點集上，而且它的動力學行為將會被固定在一個吸引子上，這充分證明了吸引子的存在。

3.3 系統的Lyapunov指數分析

Lyapunov數值描述了相空間相鄰軌道平均指數散度的數值特征，又稱Lyapunov指數，是一種用來識別混沌運動的數字特征。當系統參數設定為α=2,β=6,g=0.1,p=-1時，計算系統的Lyapunov指數，即LE1=0.3896,LE2=0.02659,LE3=-0.4065,LE4=-4.012。系統的Lyapunov指數之和是負數，且有2個Lyapunov指數大于0。計算系統的LE維數DL如式(8)所示：

(8)

可以得到系統的LE維數為分數維且大于3，故系統是超混沌系統。

3.4 系統的Poincare截面圖和功率譜圖

Poincare截面也是系統動力學行為特征的一個重要判據。當Poincare截面上只有1個不動點或少數離散點時，運動是周期的；當Poincare截面上是1條封閉的連續曲線時，運動是擬周期的；當Poincare截面上是一段連續曲線或是一些成片的密集點時，運動是混沌的。從圖2可以明顯看出，Poincare截面上的點呈現為連續曲線或片狀的密集點，所以該系統是混沌的。

Figure 2 Cross section and power spectrum of Poincare 圖2 Poincare截面圖和功率譜

對于混沌系統來講，若產生的混沌信號是非周期信號，則其系統的功率譜也是非周期的連續譜。圖2d是本文系統的功率譜，該功率譜連續表明系統處于非周期狀態，峰值的出現代表系統中有分岔現象發生。

3.5 系統的分岔圖及參數分析

分岔是指系統的動力學運動狀態隨著系統參數或者狀態變量初始值的改變而發生變化的一種現象。系統的運動狀態可以由一種穩定狀態變為另一種穩定狀態，準周期狀態到混沌狀態，一種混沌到另一種混沌等。隨著系統參數取值的改變，系統的Lyapunov指數譜和分岔圖也發生改變。

當α=2,β=6,g=0.1時，使參數p在(-2,0)內變化，如圖3所示。從圖3中可以看出，Lyapunov指數譜和分岔圖具有很好的一致性。當p∈[-1.9,-1.83],[-1.71,-1.61]或[-0.19,0]時，系統處于周期狀態，如圖4a所示；當p∈[-1.61,-1.5],[-1.43,-0.95],[-0.66,-0.48]或[-0.34,-0.19]時，系統處于混沌振蕩狀態，如圖4b所示；當p∈[-1.5,-1.43],[-0.95,-0.66]或[-0.48,-0.34]時，系統處于超混沌狀態,如圖4c和圖4d所示。

Figure 3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponential spectrum varying with parameter p圖3 隨參數p變化的分岔圖和Lyapunov指數譜

Figure 4 Phase diagrams varying with parameter p圖4 隨參數p變化的相圖

當α=2,β=6,p=-1時，使參數g在(-1,1)內變化。圖5是隨g變化的Lyapunov指數譜和分岔圖。當g∈[0.61,0.63]時，系統處于擬周期軌道狀態，如圖6a所示；當g∈[0.63,1]時，系統處于周期軌道狀態,如圖6b所示；當g∈[-1,-0.69],[-0.53,-0.49]或[0.54,0.61]時，系統處于混沌軌道狀態,如圖6c所示；當g∈[-0.69,-0.53]或[-0.49,0.54]時，系統處于超混沌軌道狀態，如圖6d所示。

Figure 5 Bifurcation diagram and Lyapunov exponential spectrum varying with parameter g圖5 隨參數 g變化的分岔圖和Lyapunov指數譜

Figure 6 Phase diagrams varying with parameter g圖6 隨參數g變化的相圖

3.6 系統的共存吸引子分析

為了更好地對新超混沌系統的狀態進行研究和分析，本文通過改變系統的參數，發現系統存在不同種類的吸引子，圖7是參數g變化時比較典型的3個系統吸引子相圖,圖7a為周期吸引子共存，圖7b為混沌吸引子共存，圖7c為超混沌吸引子共存。其中，在u=0的上半部分實線初始值為(-0.1,-0.1,0,0)，下半部分虛線的初始值為(0.1,0.1,0,0),觀察上圖可以看出本文系統在不同初始值下存在對稱的吸引子。

Figure 7 Attractor coexistence diagrams of the system圖7 系統的吸引子共存相圖

4 電路設計仿真及FPGA實現

4.1 系統的電路設計

圖8b是非線性有源磁控憶阻等效實現電路的原理圖，圖中的虛線部分為絕對值函數電路(即圖8a中的H(·))。通過計算得到的憶阻器等效電路表達式如式(9)所示：

W(φ)=-m+n|φ|=

(9)

其中，Rh和Rsat為憶阻器電路的電阻，方便在仿真軟件中和系統整體電路的電阻進行區分。

整體電路設計時，首先對系統方程式(3)作比例壓縮變換，設RX→X,RY→Y,RZ→Z,Ru→U,其中R為變量比例壓縮因子。設R=0.5，變換后的方程如式(10)所示：

Figure 8 System circuit diagram 圖8 系統電路圖

(10)

(11)

系統電路原理圖如圖8所示。

對比式(10)和式(11)，得到R0=R01=R02=R03=50 kΩ,C0=C1=C2=C3=33 nF,R5=R6=R7=R10=R11=R12=R16=R17=10 kΩ,R1=50 kΩ,R2=R13=5 kΩ,R3=16.7 kΩ,R9=83.3 kΩ,R4=R8=R14=R15=100 kΩ,Rsat=13.5 kΩ,Rh=6.05 kΩ。

通過在Multisim電路仿真軟件上進行驗證，實際相位圖如圖9所示，與上述的理論相位圖一致。因此驗證了該超混沌系統存在吸引子。

Figure 9 Diagram of circuit simulation 圖9 電路仿真圖

4.2 FPGA數字硬件電路實現

模擬器件容易受到許多環境因素的影響，從而造成混沌系統不穩定。因此，基于現場可編程門陣列(FPGA)的數字電路因具有較高的并行計算能力和能被應用于生物醫學工程領域而受到人們的青睞。

本文通過采用Euler 算法對系統方程進行離散化處理，離散后的方程如式(12)所示,通過XILINX的 FPGA開發軟件Vivado 進行設計,系統方程中的實數處理采用定點小數與截位計算相結合的方式。采樣的時間步長ΔT設定為0.001,圖10為示波器上得到的波形，觀察發現與Multisim和Matlab軟件的仿真結果一致。

(12)

Figure 10 FPGA-based object map圖10 基于FPGA的實物圖

5 圖像加密

5.1 加密算法

混沌系統由于其不確定性和初始條件的高敏感性，被廣泛應用到圖像加密中。傳統的加密通常是一次加密，這種加密往往容易遭受攻擊導致信息泄露，因此需要新的混沌系統配合新的加密算法來完成加密。本文采用置亂-擴散與DNA加密相結合的雙重加密算法，達到了更好的加密效果。具體加密流程如圖11所示，解密過程為加密過程的逆運算。

Figure 11 Flow chart of encryption 圖11 加密流程圖

5.1.1 混沌序列

利用ode45算法計算混沌系統的初始值得到4個混沌序列，記為xi、yi、zi和ui，i=1,2,…,M×N。為了抵御明文攻擊，提高對明文的敏感性，對混沌序列進行如式(13)所示的處理:

(13)

其中,xi、yi、zi和ui(i=1,2,…,M×N)為明文參與前的初始序列；x′i、y′i、z′i和u′i(i=1,2,…,M×N)為明文參與后的混沌序列；Pi(i=1,2,…,M×N)為明文圖像的像素值。

然后迭代混沌系統，本文為了獲得更好的隨機性，舍棄了前面的2 000項。

5.1.2 Arnold置亂

Arnold置亂變換是由Arnold提出的一種置亂方法，其實質是新舊位置的一一映射，具體變換公式如式(14)所示：

X=(x+by) modN

Y=[bx+(ab+1)y] modN

(14)

其中，a、b是Arnold置亂的2個參數，a=x′i，b=y′i(i=1,2,…,M×N);(X，Y)為坐標 (x，y)處的像素被置亂后的位置，通過Arnold置亂得到置亂矩陣A。

5.1.3 DNA動態編碼

眾所周知，一個DNA序列包含腺嘌呤(A)、胞嘧啶(C)、鳥嘌呤(G)和胸腺嘧啶(T)4種核酸堿基。其中，A和T互補，C和G互補。計算機系統中的信息用二進制數字0和1表示。因為二進制中的0和1是互補的，所以00和11、01和10也分別是互補的。因此，本文利用DNA序列中的A、C、G和T分別替換二進制序列中的00、01、10和11。本文中的DNA加密算法通過混沌系統產生的z′i(i=1,2,…,M×N)混沌序列轉化為0～255之間的整數，再轉換為矩陣，記為矩陣B;然后將矩陣B和Arnold置亂得到的矩陣A轉化為二進制矩陣，再根據相應的DNA編碼規則，把二進制矩陣中的每兩個二進制數字轉換為一個DNA堿基，從而得到對應的DNA序列矩陣，把最后經過DNA計算的矩陣記為C。解碼是編碼的逆過程。完整的DNA編碼規則如表1～表4所示。

Table 1 Coding and decoding rules of DNA表1 DNA編碼和解碼規則

5.1.4 像素級擴散

首先根據DNA解碼規則，對矩陣C進行動態解碼，得到二進制矩陣，并將其轉化為十進制矩陣，記為Fi，偽隨機序列u′i即為Di,Li為擴散后的序列。然后開始進行擴散，擴散采用異或運算的雙向擴散處理，即正向擴散和逆向擴散各一次。正向(按i從1到M×N)的算法與其逆運算如式(15)所示：

Table 2 XOR operation rules of DNA sequence表2 DNA序列的異或運算規則

Table 3 Addition operation rules of DNA sequence 表3 DNA序列的加法運算規則

Table 4 Subtraction operation rules of DNA sequence 表4 DNA序列的減法運算規則

(15)

逆向(按i從1到M×N)的算法與其逆運算如式 (16)所示：

(16)

本文在圖像加密的實驗中選用了標準的256×256的Lena圖像，加密后的結果如圖12所示，觀察發現密文圖像已沒有任何原圖的圖像特征。

Figure 12 Encryption effect of image圖12 圖像加密效果

5.2 圖像的安全性能分析

5.2.1 密鑰空間及敏感性分析

密鑰空間是指所有合法密鑰構成的集合，當密鑰空間足夠大時，窮舉攻擊可以被有效地對抗。一般規定當密鑰空間大于2100時，加密系統的安全可靠性就會得到保障[14]。本文密鑰參數為(X0,Y0,Z0,U0)，計算得到的密鑰空間大小為2×1060,遠遠大于上述要求。

在保持其中3個不變的前提下，Y0變為Y0+10-16時，對其進行解密，可以解密出原始圖像；但是當Y0變為Y0+10-15，記為Y′0時，對其進行解密，無法解密出原始圖像。同理,當U0變為U0+10-15，記為U′0時，對其進行解密，也無法解密出原始圖像。結果如圖13所示，對其余密鑰參數測試時，也會出現類似的結果。這說明本文圖像加密算法具有良好的密鑰敏感性。

Figure 13 Images decrypted with the wrong key and the right key respectively圖13 分別使用錯誤密鑰和正確密鑰解密的圖像

Figure 14 Correlation coefficient of image圖14 圖像的相關系數

5.2.2 相關系數計算及分析

圖像之間的相關特性也是衡量圖像加密效果的一個重要因素。一般地，明文圖像在水平、垂直和對角方向上的相鄰像素點間均具有較強的相關性，而密文圖像中的相鄰像素點間應沒有相關性。相關性計算如式(17)所示：

(17)

其中，u,v表示任意相鄰的2個像素點值，E(u)和D(u)分別表示期望和方差。本文選取上面加密前后的Lena圖像用于計算相關系數，得到加密前后圖像的相關系數圖，如圖14所示。計算加密前后圖像在水平、垂直和正對角3個方向上的相關系數，結果如表5所示。

Table 5 Comparison of correlation coefficients表5 相關系數對比

由表5可知，明文圖像在3個方向上的相關性很強，接近于1，而對應密文圖像的像素則均勻分布，其相關系數接近于0。利用原始Rucklidge[13]的三維系統產生3個混沌序列,分別為xi、yi和zp，其中前2個序列的長度為i=1,2,…,M×N，序列zp的長度加倍，即p=1,2,…,2×M×N。然后將序列zp分為2個小序列ri和ti，長度分別為i=1,2,…,M×N。將4個序列分別應用于本文的圖像加密算法。將本文新系統的加密圖像和其它文獻加密圖像進行對比，發現本文系統加密圖像各個方向的相關系數都要強于它們。因此，新系統算法的加密效果非常明顯。

5.2.3 魯棒性分析

衡量一個加密算法抗干擾能力最重要的標準是魯棒性。本文選擇Lena圖像進行實驗分析，利用噪聲攻擊和剪切攻擊來測試本文算法的魯棒性。對加密圖像施加0.05倍的椒鹽噪聲，解密圖像如圖15b所示。剪切1/4的加密圖像的解密結果如圖15d所示。對比實驗結果發現，利用本文加密算法仍能恢復出大部分原始圖像的信息。這表明本文算法可以在一定程度上抵抗噪聲攻擊和剪切攻擊，具有較好的魯棒性。

Figure 15 Robustness analysis of image圖15 圖像的魯棒性分析

5.2.4 信息熵

信息熵能夠反映圖像的不確定性，一般認為，熵越大則信息量越大，可視信息反而越少。信息熵的計算如式(18)所示[14]：

(18)

其中，2n表示圖像中像素值的所有狀態數，p(si)表示該像素值在整幅圖像中所占的概率。可以得到具有2n個狀態的信息，信息熵就是n。因此一幅標準的具有 256 個狀態的圖像，理想的信息熵應該是 8。本文系統加密后的圖像信息熵為7.998 9,與理論值8非常接近。表6給出了其它系統加密圖像的信息熵，與本文的信息熵對比后，發現本文新系統的加密效果良好。

Table 6 Comparison of information entropy 表6 信息熵對比

6 結束語

本文設計了一個四階超混沌電路系統，并分析了系統的相圖、Lyapunov指數譜、Poincare截面圖和分岔圖以及系統的穩定性和耗散性，證明了系統的混沌特性，還設計出了系統的電路，并在Multisim電路仿真軟件和FPGA數字硬件電路實現中得到了驗證；最后將新混沌系統與DNA加密算法相結合，設計出了新的圖像加密算法，并分析了加密圖像的安全性能，發現其具有良好的加密效果，可以被廣泛應用到圖像加密領域。