信息定價與交易：維度模型的應用*

李心宓，吳 謠，高 峰

(1.清華大學 物理系，北京 100084；2.清華大學 經濟管理學院，北京 100084)

0 引言

理論和實踐都表明信息擁有價值。信息量更大的信息結構具有更高的經濟價值[1]。在一個達到均衡和有效率的經濟體中，社會福利隨著私人和公共信息的增加而增加[2]，精確度較低的信息會降低信息所有者的收入[3]。

信息對企業決策十分重要。信息缺乏容易導致決策的準確性較差[4]。當數據和信息能促進商業公司的競爭時，隨著更多數據和信息的出現，企業也可能從中獲益[5]。這些信息包括但不限于選擇性銷售[6]、最佳影響力策略[7]和個性化定價[8]等。

發揮數據和信息的作用，離不開信息的合理定價。但信息的定價取決于許多因素。比如：(1)投資者的風險偏好。在風險中性的情況下，信息的價值只是每個交易者的事前預期利潤，而在風險平均的情況下，信息的最佳分配取決于風險規避系數[3]。(2)項目借款人的異質性和潛在進入者的競爭。在貸方-借方模型中，借方的特征可能會影響貸方對信息共享的動力[9]。(3)信息銷售者的數量。隨著對稱、獨立和排他性信息賣者人數的增加，信息的價格將上升[4]。

數據定價文獻通常只考慮具有一維信息結構的模型。在這些模型中，信息被視為一個可量化的、可加的基數變量，因此可以被視作商品進行交易。與之不同，本文提出了一個具有多維信息的模型來研究信息定價。選擇維度作為信息結構的原因如下：(1)有了足夠維度或因素的數據，數據分析人員更容易從統計角度發現這些因素之間的相關性。(2)更大的數據集并不等價于更大的信息空間。(3)在高維空間中，更可能滿足許多統計定理的完備性條件。綜上所述，有必要設計一個框架，保證維度形式的信息可以在數據定價中發揮重要作用。

結果表明，如果某個投資者掌握了其他投資者無法觀察到的信息，則該投資者可以賺取更高的利潤，這與文獻[10]的結果一致。結果還證明了信息的公開可以改善社會福利。

本文首先給出模型的基本設定，并給出一個直觀的示例來說明模型的分配方式；然后對信息在不同情況下的價值進行討論，包括完全信息、非對稱信息和獨家信息的情形，并根據這些結果給出一種信息定價和交易模型。

1 模型

1.1 投資者集合M和信息賣方G

本文用M={i，j}表示投資者集合，假設信息賣方G擁有一些雙方都不知道的新信息，且信息交易是被允許的，并假設信息賣方G以零成本獲得這一信息。

1.2 信息空間

定義1所有的信息是一個集族I，X為全信息空間，是集族I中所有集合Xk的笛卡爾積。

對于集族I中的任意一個集合Xk，每個投資者有兩種狀態：知道或不知道。如果觀察到Xk，并對其進行量化，則投資者“知道”Xk，該投資者可以區分出Xk中的不同元素。反之，為“不知道”Xk。對于投資者而言，無法獲得某些維度的信息意味著缺少這些維度的信息。

定義2投資者θ可獲得的信息集是集族I中的一個子集族：

其中θ=i，j。Iθ代表投資者θ已知的信息，Iθ?I。

定義3投資者θ已知的信息空間為：

其中×Xk∈Iθ表示對所有Xk∈Iθ的笛卡爾積。

根據每個投資者對信息知曉與否的具體情況，可以將維度X1，X2，…，XD分為以下4種類型：

(1)XC：雙方投資者都知道；

(2)Xi：投資者i已知但投資者j未知；

(3)Xj：投資者i未知但投資者j已知；

(4)XU：雙方投資者都未知。

整理可得：

定義4可知信息空間XA代表至少一個投資者已知的維度：

1.3 收益函數

x類型企業的利潤表示為外生收益函數v(x)，進行如下假設：

假設1投資者θ觀察到的收益函數vθ：

其中θ=i，j，-θ代表除了θ的所有投資者。積分意味著投資者θ只能在自己的信息空間中觀察到總的收益。

由于X=XA×XU，XU代表所有投資者都不知道的信息，因此可以在不同的空間中定義收益函數。

定義5可知信息空間XA中的收益函數：

1.4 決策

兩個投資者同時采取行動，以決定對不同企業x的投資額度，目標是最大化自己的投資收益。

定義7投資者θ(θ=i，j)的投資決策函數是：

且滿足以下歸一化條件(不失一般性，本文把投資者i的總資本歸一化為1)：

其中C表示投資者j的總資本，C＞0。

假設2如果投資者θ不知道信息維度Xk，那么其投資決策函數qθ滿足：

其中投資者θ不知道信息維度Xk，因此無法區分那些在Xk維度上有差別而在其他維度上沒有差別的企業。

1.5 投資總利潤和社會福利

假設企業x的收益將根據投資者的投資量按比例地分配給投資者。

定義8投資者θ的總投資收益為：

社會福利不涉及信息賣方G的收入，用例1來展示模型的一個離散形式的示例：

例1假設X1={i1，i2}，X2={j1，j2}。 投資者i和j均知道X1和X2信息維度。 支付函數vA(xC，xi，xj)是一個外生給定的矩陣，如表1所示。

表1 支付函數矩陣

假設投資者的投資決策函數如表2矩陣所示。分別計算投資者(以i為例)在各類企業中的收益如下：投資者i的總投資收益Wi是上述4種類型的企業投資收益的總和。

表2 投資決策矩陣

假設其他條件相同，但投資者i知道X1和X2維度，而投資者j只知道X2，那么投資者j對那些擁有不同x2但x1相同的企業投資應該是相同的，見表3。

表3 不對稱信息下的決策矩陣

由于投資者j沒有關于X1維度的信息，只能在該維度上均勻地分配其投資。換言之，在較高維度的空間中，投資者j的投資決策函數qj不顯含X1維度的變量。

1.6 盈利集Ω和收益率R(x)

定義10盈利集為：只有當投資者觀察到維度時，該投資者才能在相應的信息空間中區分出盈利的企業和非盈利的企業。基于可知信息空間的盈利集ΩA，可以在XA空間中定義收益率為：

綜上所述，本文把整個模型簡單描述為在可知信息空間XA中給定外生的收益函數vA。投資者集合M(假設只有2人)中的每個投資者θ都有自己的信息Iθ和由此產生的信息空間Xinfo，θ。 他們根據自己的信息空間，同時做出投資決策qθ。投資者的目標是解決帶資本約束的博弈問題，如下所示：

其中，資本約束為：

2 均衡分析

2.1 完全信息下的純策略納什均衡

當XC=XA而Xi=Xi=?時，即沒有投資者擁有獨家的信息維度。這時兩個投資者都觀察到相同的信息空間和相同的利潤函數。完全信息下：

命題1在信息完全且對稱的條件下，投資博弈存在唯一的純策略納什均衡

這意味著兩個投資者都將避免投資于無利可圖的企業。文獻表明，此競賽博弈中存在純策略納什均衡[13]。

命題1的詳細證明過程如下：

已知，投資者θ的決策問題為：

即，理性的投資者只會在盈利的企業上投入資源。

在盈利集ΩA上，可以應用Euler-Lagrange方程求解泛函問題：

推論1對于兩個以上投資者的市場，命題1和命題2仍然成立。

2.2 不完全信息

在這一部分中，本文討論不完全信息對個人和社會的投資利潤產生的影響。

2.2.1 對稱披露新信息

假設信息的新維度表示為XN。在公開XN之前，假設在信息完全且對稱的條件下所有投資者都知道并且只知道XC，沒有任何獨家的信息。對稱地披露XN后，即所有投資者同時知道XN。此時，可知信息空間為：

引理1在一個信息完全且對稱披露的市場中，新信息的對稱披露不會減少社會福利。

首先引入如下記號以表示盈利集之間的交集和并集關系：

這表明，減少在I1類型企業上的投資，增加在I2類型企業上的投資，將提高社會總福利水平。引理1的證明過程如下：

投資者θ在新信息XN對稱公開的前后的投資決策函數分別為qθ和Qθ。

據式(42)～式(44)，可得：的積分值大于等于W的積分值。得證。

2.2.2 不對稱披露新信息

在公開XN之前，假設所有投資者都知道并且只知道XC，沒有任何獨家的信息維度。在不對稱地披露XN后，投資者i知道XN，而投資者j不知道XN，且這個事實被投資者i所知。仍然令可知信息空間為：XA=XC×XN。

引理2在一個信息完全且對稱披露的市場中，新信息的不對稱披露仍然可以提高社會福利(至少不會減少)。

引理2的證明過程如下：

令投資者i在新信息XN對稱公開的前后，投資決策函數分別為qi和Qi。令投資者i在新信息XN不對稱公開的前后，被投資的企業分別為即：

因為投資者j沒有更新其信念，其投資決策也沒有改變，因此：

新信息XN未公開時，i和j選擇了相同的、在XC空間中盈利的企業進行投資。單獨獲取新信息XN后，由于j沒有改變自己的投資決策，因此上述XC空間中的盈利企業類型仍然被投資。因此：

通過引理1、2可得出如下的結論：

命題3新信息的披露可以提高社會總福利(至少不會減少)。

命題3表明，給社會帶來的新的信息不會使情況變得更糟，更多的信息將增加社會經濟價值[1]。

命題4在新信息不對稱披露的情況下，觀察新信息的個人的利潤將增加(至少不會減少)。

假設i是在新信息不對稱披露的情況下觀察新信息的個人，投資者i可以在XA新信息空間中采取一個最優策略獲得更高的利潤。

2.2.3 獨家信息

假設Xi和Xj都不是空集，即Xi是僅被投資者i所知而不被投資者j所知的信息，反之Xj是僅被投資者j所知而不被投資者i所知的信息。在這種情況下，本文稱Xi和Xj分別是i和j的獨家信息。此時，可知信息空間為XA=XC×Xi×Xj。與引理1和引理2相類似，可得到：

命題5在兩個投資者都有獨家信息的情況下，如果他們兩個都披露自己的獨家信息，則社會福利將會增加（至少不會減少）。

命題5表明信息的合并和共享可以增加信息主體的總福利(至少不會減少)。因此，可以在擁有不同信息的主體之間設計利潤分配合同，從而通過信息共享實現帕累托改進。

基于上述假設，本文使用矩陣來構建離散形式的示例，其中包含獨家信息。如果雙方都不公開自己的獨家信息，那么他們的利潤都會遭受損失。而在信息完全公開的情況下，投資者會獲得正利潤。

例2仍假設X1={i1，i2}，X2={j1，j2}。 投資者i知道X1而不知道X2信息維度。投資者j知道X2，但不知道X1信息維度。vA(xC，xi，xj)由表4的矩陣給出。

表4 支付函數矩陣

(1)如果他們不共享自己的獨家信息，那么投資者i會把所有資源投入i2類型的企業，而投資者j會把所有資源投入j2類型的企業。決策矩陣如表5所示。

表5 投資決策矩陣

投資者的效用是：

(2)如果他們共享自己的獨家信息，那么按照上面的博弈規則，決策矩陣如表6所示。

表6 共享決策矩陣

投資者的效用是：

滿足Wi，Wj＞0。

2.3 信息定價

在信息XN被售賣之前，假設所有投資者都知道并且只知道XC，沒有任何獨家信息維度，且信息可以被交易。信息賣方G是新信息維度XN的外部提供者。此時，可知信息空間XA=XC×XN，博弈模型變成投資者是否先選擇進行信息交易，再進行投資的同時決策，以探究不同的交易模式下的信息價格。

2.3.1秘密交易

在信息賣方G和投資者i雙方進行秘密交易之后，投資者i獲得了XN，但投資者j仍然不知道XN。由于交易是秘密的，投資者j并不知道投資者i和信息賣方G進行秘密交易的事實。

在信息交易前，投資者i的效用為：

在信息交易后，投資者i利用新信息更新自己的策略，而投資者j的策略不變。把投資者i更新自己策略后的效用記作，把因為信息交易帶來的超額效用部分記作Δi=-Wi。顯然，新信息XN的售價將不會高于Δi，否則投資者將不會購買。

引理3在新信息的秘密交易中，假設信息賣方G與投資者i交易新信息XN。不失一般性，假設i是資本為1的投資者，而j是資本為C的投資者，那么新信息XN價格的上限為：

其中：

引理3的證明如下：

令投資者θ在新信息XN對稱公開前后的投資決策函數分別為qθ和Qθ。

在這一模型設定下，j仍然沿用舊的投資策略：

引理3的結果說明，Δi由以下兩部分組成：

(1)新信息XA使投資者i可以在更高維度的空間分辨盈利與非盈利企業，從而獲得效用增量部分。此項對應著：

值得注意的是，vA(I1)＜0而vA(I2)≥0，因此此項總是非負的。

(2)當投資者j仍然沿用了沒有新信息時的舊策略時，投資者i比j擁有更多的信息，這一信息優勢使i獲得更大的效用。此項對應著：

由于投資者j沒有足夠多的信息維度，因此在XA空間(比投資者j能看到的XC更高維度的空間），投資者i可以采取針對j的最優策略獲取更多效用。

這個結果可表述為以下引理：

引理4在新信息的秘密交易中，擁有新信息XN而導致信息不對稱、由此產生的額外效用是非負的，即：

第一項為在新信息完全公開下的純納什均衡策略下的投資收益。由于這是一個零和博弈，在新的信息空間中，投資者j沒有采取納什均衡下的策略(因為信息不足)，從而投資者i可以憑借自己的信息優勢在新信息空間中采取最優反應，因此，投資者i的投資收益將不會低于在納什均衡策略下的收益。這意味著，第二項必然非負數。即：

因此分子也是非負的，即：

得證。

當ΩA=ΩC×XA=I3時，收益函數在這些集合中為非負數，此時可以直接應用Cauchy-Schwartz不等式證明左邊總是非負數，即：

由Cauchy-Schwartz不等式，上式等于0當且僅當vA(xA)∝vC(xC)。 注意到xA=(xC，xN)，而vC(xC)并不顯含xN，因此等號成立時，vA(xA)也不顯含xN，即：

這意味著新信息沒有為區分不同類型的企業帶來任何價值。

2.3.2 公開交易

公開交易是指任何投資者都知道信息交易的存在，并且任何投資者都有信息交易權。因此，投資者可以首先組成聯盟，通過聯盟與信息賣方G討價還價，再在聯盟內部進行信息的共享與成本的分配。此時，新信息XN的最大售價不可能超過它可以帶來的社會福利的增長。

引理5在新信息的公開交易中，新信息XA的價格的上限為：

在有限公開交易的場景，信息賣方G僅將信息出售給一個投資者(假設是投資者i)，另一個未能從賣方購買信息的投資者j也知道該交易。在這種情況下如果禁止聯盟，投資者i無法通過與投資者j組成聯盟來提高其效用。

2.3.3 秘密交易與公開交易的對比

命題6與進行公開的信息交易相比，信息賣方在分別與兩個投資者進行的秘密的信息交易中會獲得更高的(至少不會更低的)總收入。信息交易的博弈中，買賣雙方關于交易本身就存在信息不對稱——關于競爭對手是否已經與信息賣方進行交易的信息。這個交易信息不對稱造成了信息賣方可以獲取超額收入。

證明：如果信息賣方G分別與投資者i和j秘密交易，則與公開交易相比，兩種交易模式的為信息賣方的收入帶來的最大的差距為：

由引理4可知，該表達式總是非負的。

實際上，這種超額收入就是秘密交易或商業秘密信息的價值。因此，可能存在一個不道德的信息銷售商，其目的是從信息交易中尋求更高的收入，因而會隱藏與客戶相關的交易信息。在這種情況下，由于信息購買者和信息出售者之間的信息不對稱，社會福利會受到損害。

此外，也存在Δi＞Δ的情況，即信息賣方G通過秘密交易獲得的收入，大于社會福利的增加。

命題7在某些情況下，信息賣方G在將信息出售給一個參與者時比兩個參與者都獲得更高的收入。此時，信息交易的收入可能會高于社會福利的增加。

證明：見例2的離散形式的例子。

例3假設XA={xN1，xN2，xN3}。vA(xC，xN)由表7所示的矩陣給出。

表7 v A(x C，·)收 益 矩 陣

因此，新信息的引入為社會帶來的總福利的增量應該是Δ=1。

(2)當投資者i通過信息交易獲取新信息XC×XN而投資者j沒有購買新信息時，雙方的投資決策如表8所示。

表8 投資決策矩陣

投資者i獲得的效用是：

顯然，Δi＞Δ。這意味著，信息賣方可以以一個高于社會福利增量的價格為新信息定價。

3 結論

本文提出了一種新的信息結構建模方法。證明了新信息的公開將增加信息獲得者的投資利潤，也提高了社會總福利。占有獨家信息無法推導出穩定的純策略均衡解，并且在貝葉斯納什均衡意義下可能降低投資利潤和社會福利。實現最大化的社會福利，需要披露所有已知信息。隨著更多信息維度的披露，社會福利將至少不會下降，這表明，促進信息共享是很有必要的。

在此基礎上，本文進一步討論了信息的定價策略和信息交易。分析表明信息賣方和買方之間的信息不對稱將導致信息溢價。通過充分披露信息和適當設計公開透明的交易機制，社會福利將得到改善。一方面，模型分析表明，信息的秘密交易為不道德的信息賣方帶來了更高的非法收入。因此，加大對非法信息秘密交易的懲罰力度，有助于抑制信息黑市中的犯罪行為。另一方面，分析表明，在某些情況下，相比將信息公開出售給所有人，信息賣方僅將信息出售給一位投資者時，獲得的收入會更高，從而導致社會福利的損失。因此，在特定情形下有必要強制要求信息公開，以防止市場機制在信息定價和交易領域中失靈。