差分擾動的堆優化算法

張新明，溫少晨，劉尚旺，2

（1.河南師范大學計算機與信息工程學院，河南新鄉 453007；2.智慧商務與物聯網技術河南省工程實驗室（河南師范大學），河南新鄉 453007）

0 引言

隨著社會的快速發展，現實生活中亟待解決的優化問題越來越多，也越來越多樣化和復雜化。傳統的優化方法如牛頓法和梯度法并不能有效地解決這些問題［1］。受自然現象和生物進化行為等的啟發，許多學者開發出多種元啟發式算法（Meta-heuristic Algorithm，MA）。這些MA 包括差分進化（Differential Evolution，DE）［2］、粒子群優化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［3］、生物地理學優化（Biogeography-Based Optimization，BBO）算法［4］和灰狼優化（Grey Wolf Optimizer，GWO）［5］算法等。因簡單易實現等優勢，已經在現實生活中得到了非常廣泛的應用。然而，根據無免費午餐理論［6］，沒有一種MA 能夠解決所有的優化問題。另外，為了處理不同的和更復雜的優化問題，不斷有新的或改進的MA被提出。

堆優化（Heap-Based Optimizer，HBO）算法是Askari 等［7］在2020 年提出的一種新的MA。它利用堆結構模擬了公司的層級結構，采用了堆的概念形成個體之間的交互，并且構建了三種構造新解的數學模型。HBO 有獨特的搜索機制，且解決經典優化問題的性能優于一些經典的MA，如PSO 等。但HBO 也存在一些不足，例如高層個體和低層個體之間的信息交流不足，沒有對最優個體的位置進行更新，導致其在解決復雜優化問題時存在搜索能力不足、效率低下等問題。另外HBO 提出的時間較短，有許多工作要做，如理論研究、改進研究和應用研究等。因此對HBO 的研究非常必要。

差分擾動策略利用兩個或多個個體之間的加權差來擾動當前個體，有效增強種群的多樣性，提高種群中的各種信息的使用程度。許多學者對差分擾動策略進行了大量的研究，主要可以分為以下幾個方面：1）兩個隨機個體差分擾動，主要用來增強個體之間的信息共享能力［8］；2）最優個體與最差個體差分擾動，通過最優個體的引導，可以增強信息引導能力［6］；3）最優個體、當前個體和兩個隨機個體兩組差分擾動。通過兩組不同類型的差分，兼顧信息共享與信息引導［4］。

因此，為了解決HBO 存在的一些問題，本文采用了不同的差分擾動策略以改進HBO，提出了一種差分擾動的HBO（Differential disturbed HBO，DDHBO）算法。本文的主要工作如下：1）由于HBO 獨特的搜索機制，無法更新最優個體的位置和前期易產生無效解，本文對最優個體采用一種隨機差分擾動策略，在前期采用基于維的差分擾動策略，從而提高搜索效率；2）對于最差個體，采用一種最優最差差分擾動策略更新其位置，強化其搜索能力；3）對于一般個體，采用一種多層差分擾動策略，以強化高層與低層之間的信息交流，提高搜索能力。由于HBO 原始算法的優化性能僅僅在經典函數上進行了驗證，本文將HBO 及其改進算法運用到復雜函數集CEC2017［9］上進行驗證。

1 堆優化算法

HBO 模擬公司層次結構建立樹狀結構，它選擇的是三元堆或者說是一個三叉樹，具體見圖1。公司等級制度的最終目標是以最好的方式完成與業務相關的任務，主要包括三個數學模型：下屬與直接領導的交互、與同事的交互和個體的自我貢獻。

圖1 中X1所在的層次為最高層第一層，僅有一個個體；X2～X4所在的層次為第二層，3 個個體；X5～X13所在的層次為第三層，9 個個體；如此，第四層應該有27 個體；所有這些個體組成一個群體，其種群大小為40。從X2開始所有的個體都是通過直接領導和同事的引導進行更新。以X8為例，由于堆獨特的結構，與X8在同一層次的個體均為其同事，為X5～X13，且只有一個直接領導X3。然而對于最高領導X1，它所在的層是最高層，沒有直接領導，并且該層只有X1一個個體，也不存在同事。

與直接領導交互的數學模型可以描述為：

其中：t是當前迭代次數；T是最大迭代次數；j是一個解向量的第j個分量；B是當前個體的直接領導；r是均勻分布在［0，1］中的隨機數；在迭代過程中，γ是一個三角波，它的值在1的左右波動，從2 到0，或從0 到2。

在堆中，位于同一層的個體都是其同事，每個個體Xi根據隨機選擇的同事Sr更新位置，數學模型見式（4）：

其中：f是個體的目標函數。對于最小極值問題，若f（Sr）＜f（Xi），個體可以探索Sr周圍的區域；若f（Sr）≥f（Xi），個體可以探索Xi周圍的區域，以保證搜索向好的方向發展。

在個體的自我貢獻的模型中，個體在前一次迭代中的一些位置信息會一直保留到下一次迭代。即個體Xi在下一次迭代中不會改變其第j個分量的值。

在HBO 中，p1、p2和p3決定了個體將會在這三個數學模型中選擇哪個模型進行更新。選擇概率的計算方法如下：

HBO 通過p1選擇自我貢獻模型更新個體，通過p2選擇與直接領導交互的數學模型更新個體，通過p3選擇與同事交互的數學模型更新個體，其中p3=1。HBO 的偽代碼見算法1。

算法1 堆優化算法。

其中邊界控制是：當Xj小于Lj（下界），則Xj=Lj；當Xj大于Uj（上界），則Xj=Uj。

從以上描述來看，HBO 具有以下特點：1）具有獨特的結構和搜索機制。HBO 采用三元堆結構，不同層次由于受到不同的直接領導的引導和隨機選擇同事更新個體的方式，因此產生的解會不同，如此會獲得一定的多樣性。2）HBO 每產生一個新解，就計算其適應度值，并采用貪心選擇方法更新對應的個體，更新后的好個體又對后續新解的產生發揮作用，如此的選擇稱為動態貪心選擇，它形成一種正反饋，使算法獲得更強的局部搜索能力，加快收斂［1］。3）式（4）的更新方式可以保證個體向更好的方向演化，從而獲得好的收斂性能。4）堆中的個體通過直接領導和同事的引導進行局部搜索，但每一次局部搜索都會影響堆的構建，因此更新堆可以在一定程度上實現個體間的信息交流。

2 差分擾動的堆優化算法

2.1 HBO存在的問題及改進的動機

雖然HBO 具有較多的優勢，但仍存在一些不足：1）HBO獨特的堆搜索結構決定了HBO 的最高領導不會參與搜索過程。2）雖然在不同的層次中會產生不同的解，從而增強種群的多樣性，但個體僅受到直接領導和同事的影響，尤其最差個體采用這種搜索模型導致搜索能力受限。3）第l層個體的更新只依賴于第l層和第l-1 層個體，與其他層（間接層）的個體之間沒有聯系，僅通過動態更新堆實現信息共享，信息利用的程度較低，缺少間接層之間的信息交互，從而導致在解決復雜優化問題時搜索能力不足［1］。4）在迭代前期，p1的值很大，接近1，此時通過式（5）產生的新解可能與原解相同，此新解是無效的，算法在迭代前期的搜索能力較差。另外，在搜索后期，若t＞T/2，則p1的值小于0.5，p2的取值范圍為［0.5，0.75］，個體所在的層次越低，產生新解的多樣性越強，雖然有利于防止算法陷于局部最優，但會影響收斂速度。因此，本文提出了DDHBO，在保持HBO 最大優勢的同時，克服了HBO 的一些缺陷。

2.2 最優個體：隨機差分擾動策略

正如上文所述，在HBO 中，由于堆的獨特結構，根節點（最優個體）在堆中沒有直接領導和同事，因此在HBO 中并未參與搜索，導致了算法搜索效率低的問題。因此，本文對最優個體采用了隨機差分擾動策略，突破結構限制。通過對種群中隨機選擇的兩個個體之間的正弦加權差進行擾動，提高搜索效率，強化最優個體，具體如式（8）所示：

其中：Xa和Xb是從種群中隨機選擇的兩個個體的位置；fr是縮放因子，采用正弦模型［10］。

由式（9）可得，fr的值在0.5 左右波動，當fr＞0.5 時，可以增大當前個體的搜索范圍；當fr≤0.5 時，個體可以進行更精細的搜索，有助于提高局部搜索能力。由式（8）可得，最優個體的位置更新受到了兩個隨機個體Xa和Xb的影響，因此，隨機差分擾動策略可以通過種群中的兩個隨機個體的擾動，增強不同層次（含間接層）之間的信息共享，從而提高搜索能力。

總之，對于最優個體采用隨機差分擾動策略對其位置進行更新，不僅提高搜索效率，而且也提高了算法的搜索能力。

2.3 最差個體：最優最差差分擾動策略

由木桶效應可知，一個由多個木板組成的水桶可以裝載的水容量，取決于其中最短的一塊木板。在MA 中，也是同樣，種群中最差個體的質量可能影響整個種群的搜索能力。因此，為了提高最差個體的質量，采用了一種最優最差差分擾動策略，其中具有兩種不同的更新方式，根據迭代次數的不同在兩種更新方式中進行選擇。兩種更新公式都是通過最優個體的引導，提升最差個體的質量，從而強化最差個體的搜索能力，具體如式（10）～（12）所示：

其中：Xw為當前種群中的最差個體位置；Xg為當前種群中的最優個體位置；ceil是一個向上取整函數；?表示兩向量間各個對應的分量相乘；rt是一個隨迭代次數隨機變化的量。

最優最差差分擾動策略根據rt的不同在兩種更新方式中進行選擇，若當前迭代次數t＜rt，則執行式（11）；若t≥rt，則執行式（12），以此實現在兩種更新方式中的動態和隨機選擇。由式（11）可知，縮放因子為2(rand-0.5)，rand是一個隨機向量，其中每一個分量在［0，1］中均勻分布，則該縮放因子中每一個分量均勻分布在［-1，1］，Xg與Xw差分結果的每一個分量都通過不同的隨機數進行加權，可以更好地提升解的多樣性。由于在每次迭代過程中，rt的值在不斷變化，因此，式（11）和式（12）在整個迭代過程中執行的次數不一定相同，并且，在迭代前期執行式（11），最優個體Xg與最差個體Xw之間的差異較大，可以使個體在更大的范圍內進行搜索，強化了探索能力；在迭代后期執行式（12），隨著種群的進化，最優個體Xg與最差個體Xw之間的差異逐漸縮小，有利于個體更精細的搜索，增強開采能力。

2.4 一般個體：多層差分擾動策略

在HBO 中當前個體僅與直接領導和同事有信息交換，與其他層次的個體之間沒有信息共享導致搜索能力不足。因此，對一般個體采用了多層差分擾動策略，最優個體與當前個體差分，高層隨機選擇個體與低層隨機選擇個體進行差分的方法對一般個體的位置進行更新，以強化多層之間的信息交流，提高搜索能力，具體如式（13）所示：

其中：Xc是從高層個體中隨機選擇個體的位置；Xd是低層個體中隨機選擇個體的位置。這里的一般個體是指從除最優個體和最差個體外余下個體中隨機選擇的一個個體。

由式（13）可知，當前個體的位置更新受到了4 個不同個體的影響：最優個體、當前個體本身、隨機選擇的高層個體和隨機選擇的低層個體。這4 個個體幾乎分別來自不同的層次，最優個體位于堆的最高層，當前個體與最優個體一定處于不同層次上，故兩組差分擾動形成多層差分擾動。另外，個體在進化的過程中不僅受到了最優個體的引導，還受到高層個體的引導，可以向著更好的方向進化，加快收斂速度；同時，也受到了不同層次中個體的相互影響，從而增強種群的多樣性，實現不同層次之間信息共享，提升搜索能力。

2.5 搜索前期：基于維的差分擾動策略

正如前文所述，HBO 通過隨機數p在個體的自我貢獻模型，與直接領導的交互、與同事的交互三種不同的更新方式中進行選擇，根據式（6），在搜索前期p1的值很大，接近1。依據式（5），每次迭代，在個體的自我貢獻模型中，將前一次迭代得到的解直接賦值給當前的新解，有可能產生的新解與原解相同，如此的新解是無效解，故前期全局搜索能力不足。因此，本文采用了基于維的差分擾動策略，在搜索前期增強全局搜索能力，改進后的更新公式如下所示：

其中：Xm和Xn是從當前種群中隨機選擇的兩個個體。

由式（14）可知，為了增強全局搜索能力，對HBO 的自我貢獻模型進行改變，當t＜0.05T時，采用了對兩個隨機個體位置進行正弦差分的方式，替代HBO 中的直接賦值。兩個隨機個體在迭代前期的差異較大，并且與最優個體的隨機差分擾動不同，每一維都隨機選擇兩個不同的個體，即，在迭代前期，個體有很大的概率會采用前期基于維的差分擾動策略更新，從而在迭代前期避免產生無效解，增強全局搜索能力。

2.6 本文算法的總流程

雖然HBO 采用動態貪心選擇能夠加快收斂速度，但存在一些不足，如易陷于局部最優，導致算法不穩定和目標函數難以進行并行計算等。為了克服這些不足，本文采用了靜態貪心選擇，即每次迭代，在所有的個體產生新解之后，并行處理每個新解的邊界，并行計算所有個體的適應度值，然后采用貪心選擇更新種群，如此貪心選擇被稱為靜態貪心選擇。更新種群后再對堆進行更新。因此靜態貪心選擇雖然降低了收斂性能，但提高了穩定性，并且靜態貪心選擇使并行計算可行，可以有效地減少算法的運行時間。

將各種差分擾動策略嵌入到HBO 中，并采用靜態貪心算法，構建DDHBO。流程如圖2 所示。其中隨機差分擾動、最優最差差分擾動和多層差分擾動是三種基于個體的更新策略。

圖2 DDHBO流程Fig.2 Flowchart of DDHBO

與HBO 相比，DDHBO 具有如下的不同之處：1）HBO 中最優個體并未參與搜索過程，沒能發揮最優個體的作用；而DDHBO 中最優個體采用隨機差分擾動策略，突破了HBO 更新模型的限制，提高搜索效率和搜索能力。2）在DDHBO 中，最差個體放棄原更新方式，采用了兩種不同的方式進行位置更新，不僅增強了算法的全局搜索能力，也在一定程度上增強了算法的局部搜索能力。3）HBO 個體都是通過與直接領導和同事交互進行更新，而DDHBO 對一般個體采用了多層差分擾動策略，突破了僅與直接層個體有信息交流的限制，提升了不同層次間個體的交流。4）HBO 采用式（1）～（5）對個體進行位置更新，在搜索前期易產生無效解；而DDHBO 在搜索前期采用了基于維的差分擾動策略，從而避免產生無效解，增強搜索能力，即對于其他個體采用改進后的式（14）進行位置更新。5）HBO 采用動態貪心選擇可加快收斂速度，但穩定性不強；DDHBO 采用了靜態貪心選擇，可采用并行計算，這種計算方式有效地減少了算法的運行時間，增強了穩定性。

3 實驗與結果分析

3.1 實驗環境配置及參數設置

為了驗證DDHBO 的優化性能，選擇公開的復雜優化問題benchmark：CEC2017 測試集［9］進行大量實驗。CEC2017 包括30 個不同類型的復雜基準函數。其中，F1～F3為單峰函數、F4～F10為多峰函數、F11～F20為混合函數，F21～F30為復合函數。所有實驗都是在Windows 7 操作系統下，CPU 為3.1 GHz，內存為4 GB 的PC 上實現的。編程語言采用Matlab2014a。為了公平比較，所有算法的公共參數設置相同，即維度D為30，依據文獻［9］的最佳推薦設置，最大目標函數評價次數為D×10 000，獨立運行次數為51。為了更好地驗證DDHBO 的優化性能，本文選擇了8 個具有代表性的優秀算法進行對比實驗。這些算法既有最經典MA 的代表如DE 和PSO 的改進算法，也有最近提出的MA 的代表如BBO和GWO 的改進算法。分別是HBO、SaDE（DE with Strategy adaptation）［11］、SE04（Spherical Evolution）［12］、WRBBO（Worst opposition learning and Random-scaled differential mutation BBO）［13］、DEBBO（Differential Evolution and BBO）［2］、HGWOP（Hybrid PSO and GWO）［3］、MEGWO（Multi-strategy Ensemble GWO）［14］和MPSO（Motion-encoded PSO）［15］，其中DEBBO 和SaDE均為DE 的變體，HGWOP 和MPSO均為PSO 的變體，WRBBO 和MEGWO 分別為BBO 和GWO 的改進算法，HGWOP、MPSO 和SE04 是最新提出的算法，因此，本文中所選擇的對比算法有較強的代表性和可比性。每個對比算法的參數設置均為對應文獻中的最佳推薦，具體如表1 所示，其中SaDE 和SE04 的具體的參數設置見文獻［12］。本文采用均值（Mean）、標準差（Std）和排名（Rank）［3］評價算法的性能好壞。對于最小值問題，均值越小性能越好，方差越小，算法的穩定性越強。

表1 不同算法的參數設置Tab.1 Parameter setting of different algorithms

3.2 與不完全算法的對比分析

為了驗證本文所提出的每種差分擾動策略的有效性，將DDHBO 與它的3 個不完全算法（ESHBO、EBHBO 和WEHBO）和HBO 進行對比實驗。其中，ESHBO 為在HBO 的基礎上采用了靜態貪心和基于維的差分擾動策略（HBO with static greedy and dimension-based differential disturbance strategy），EBHBO 為在ESHBO 的基礎上添加了對最優個體的隨機差分擾動策略（ESHBO with the random difference disturbance strategy for the best individual），WEHBO為在EBHBO 的基礎上添加了對最差個體的最優最差差分擾動策略（EBHBO with the best worst differential disturbance strategy for the worst individual），DDHBO 為在WEHBO 的基礎上添加了對一般個體執行的多層差分擾動策略。3 個不完全算法與DDHBO 的參數設置相同。DDHBO 與其3 個不完全算法及HBO 在30 維CEC2017 復雜函數上進行實驗，對比算法的平均排名如表2 所示。將結果進行Wilcoxon 符號秩檢驗［3］，顯著性水平為0.05，其檢驗結果見表3。表3 中：“n”表示30個CEC2017 的復雜函數；“+”表示優于對比算法；“≈”表示兩種算法獲得近似的優化結果；“-”表示劣于對比算法；最后一行為“n/+/≈/-”的統計結果。

表2 不完全算法平均排名結果Tab.2 Average ranking results of incomplete algorithms

表3 不完全算法的Wilcoxon符號秩檢驗結果Tab.3 Wilcoxon signed rank test results of incomplete algorithms

由表3 可得，ESHBO 優于HBO 的函數個數是25，僅在5個函數上的優化結果上劣于HBO，由此可得，本文所采用的基于維的差分擾動策略和靜態貪心選擇可以有效地提高HBO 的優化性能。EBHBO 優于ESHBO 的函數個數是27，并且結合表2 可得，EBHBO 的平均排名為2.93，優于ESHBO 的排名3.87，表明對最優個體的隨機差分擾動策略有效地提高了ESHBO 的優化性能。WEHBO 優于EBHBO 的函數個數是27，在3 個函數上的優化結果劣于EBHBO，WEHBO 的平均排名結果為2.13，相較于EBHBO 的平均排名又有了一定程度的提升，表明本文對最差個體的最優最差差分擾動策略對算法性能的提高是有幫助的。DDHBO 在27 個函數上的優化結果優于WEHBO，并且DDHBO 在平均排名上優于WEHBO，由此可見對一般個體執行的多層差分擾動策略在一定程度上提升了算法的優化性能。結合表2 可知，在5 個算法中，HBO 的平均排名為4.70，排名第5，優化性能最差。DDHBO 的平均排名為1.37，在30 個復雜函數上的總排名為第1，說明DDHBO 具有最好的優化性能，并且在大多數函數上均提供了最優結果。綜上，本文所提出的每種改進策略都不同程度地對DDHBO 整體性能有貢獻，每一個改進策略都是不可或缺的。

3.3 與最先進算法進行比較

為了更好地驗證DDHBO 的優化性能，本節將其與8 個具有代表性的優秀算法進行對比實驗。8 個算法見3.1 節所述。在30 維CEC2017 的復雜函數上的實驗結果如表4 所示，其中SaDE 和SE04 的實驗數據直接來自文獻［12］。

由表4 可知，在3 個單峰函數上，DDHBO 的排名均為第1，獲得了最好的結果，大幅度優于其8 個對比算法，由此可得，在9 個算法中，DDHBO 具有最強的局部搜索能力和最好的優化精度。盡管在7 個多峰函數的均值上DDHBO 略遜于不同的對比算法，但在6 個多峰函數的均值上都優于HBO的均值，表明本文所提出的策略可以有效提高HBO 的全局搜索能力。在20 個復雜函數上（10 個混合函數和10 個復合函數），DDHBO 獲得排名第1 的次數為8，而其他8 個算法HBO、WRBBO、DEBBO、SaDE、SE04、HGWOP、MEGWO 和MPSO 獲得排名第1 的次數分別為0、1、4、0、0、4、3 和0，由此可得，與其他8 個對比算法相比，DDHBO 具有更強的解決復雜優化問題的能力。總體而言，DDHBO 在29 個函數（96.67%）上具有比HBO 更好的優化性能。所有算法的排名順序為DDHBO、MEGWO、HGWOP、DEBBO、SE04、SaDE、WRBBO、MPSO、HBO。DDHBO 排名第1 的次數為11，總排名為第1，表明DDHBO 具有最好的優化性能，本文所提出的改進策略有效提高了HBO 的性能。

續表

3.4 收斂性分析

為了驗證DDHBO 的收斂性能，本節進行收斂性實驗和分析。為了更簡潔描述和更能說明問題，從CEC2017 測試集的4 類函數中選擇了4 個具有代表性的函數來分析討論DDHBO 與其他3 個不完全算法、HBO，以及MEGWO 和HGWOP（在表4 中排名第2、第3）的收斂性能。這4 個函數F3、F7、F14和F30分別為單峰函數、多峰函數、混合函數和復合函數。7 種算法在30 維的收斂曲線如圖3 所示，其中縱軸表示算法獲得的實際最優值與函數的理論最優值之間誤差的平均值。

圖3 DDHBO及其對比算法的收斂圖Fig.3 Convergence curves of DDHBO and its comparison algorithms

由圖3 可知，DDHBO 在4 個不同函數上的收斂速度均優于其3 個不完全算法和HBO，隨著目標函數評價次數的增加，DDHBO 的收斂速度最快。由3.2 節可知，從ESHBO、EBHBO、WEHBO 到DDHBO，分別在HBO 中依次疊加了靜態貪心選擇和基于維的差分擾動策略，對最優個體的隨機差分擾動策略，對最差個體的最優最差差分擾動策略，對一般個體執行的多層差分擾動策略。盡管DDHBO 在F7上的收斂性能略遜于HGWOP，但優于其他5 個對比算法；并且在其他3 個函數上的收斂性能始終優于6 個對比算法的收斂性能。以圖3（c）為例，可以看到隨著改進策略的增加，算法的收斂性能也得到了不同程度的提升，7 個算法在函數F14的收斂性能順序為DDHBO、MEGWO、WEHBO、EBHBO、HGWOP、ESHBO 和HBO。因此，與HBO 相比，DDHBO 不管是在單峰函數、多峰函數、混合函數還是復合函數上都具有更好的收斂性能，表明本文所提出的改進策略不僅增強了探索能力和開采能力，更好地實現了探索與開采之間的平衡；再次驗證了本文所提出的改進策略在HBO 上的有效性，可以有效加快HBO 的收斂速度。

3.5 時間對比

為了測試DDHBO 的運行速度，進行運行時間對比實驗。由于DDHBO 是HBO 的改進算法，因此，為了簡潔和更能說明問題，對比算法僅選擇了4 個算法，即DDHBO、HBO，以及MEGWO 和HGWOP（表4 中排名第2和第3），在30 維CEC2017 復雜函數上的平均運行時間如表5 所示。

從表5 可以看出，DDHBO 的平均運行時間（3.445 0 s）為HBO 平均運行時間（9.500 6 s）的36.26%，DDHBO 的平均運行時間為MEGWO（3.801 6 s）的90.62%。與HGWOP 的平均運行時間（3.287 3 s）相比，DDHBO 的平均運行時間稍多，這是由于HGWOP 采用了更簡潔的更新方程，而DDHBO 每次迭代需要更新堆。與HBO 相比，DDHBO 的運行時間更少的主要原因如下：HBO 中使用了動態貪心選擇以更新種群中個體的適應度值。動態貪心選擇是一種串行計算方法，在每次迭代中，每次更新個體，計算適應度值一次，耗費的時間更多。DDHBO 采用靜態貪心選擇，在每次迭代中，更新種群中所有個體后，并行處理邊界和計算所有個體的適應度值，減少了運行時間。另外，雖然在HBO 添加了4 種差分擾動策略，但除了隨機差分擾動策略外，其他3 種策略都是替換操作不增加額外的計算復雜度。

3.6 顯著性分析

Wilcoxon 符號秩檢驗是非參數統計檢驗［3］，用于檢測兩種算法之間差異的顯著性。其中R+為正秩總和，R-為負秩總和。一般顯著性水平設為0.05。如果p-value＜0.05，則兩個算法之間存在顯著性差異；如果p-value≥0.05，則在優化性能上，DDHBO 劣于對比算法或二者幾乎相同。n/w/t/l表示在n個函數上，DDHBO 在w個函數上優于對比算法，在t個函數上獲得了與對比算法相同的結果，在l個函數上劣于對比算法。DDHBO 與其他8 個對比算法在CEC2017 復雜函數上的Wilcoxon 符號秩檢驗結果見表6。

表6 Wilcoxon符號秩檢驗結果Tab.6 Wilcoxon sign rank test results

由表6可知，DDHBO 與HBO 相比的p-value為0.000 002，遠遠小于0.05，表明DDHBO 顯著優于HBO，再一次說明本文中所采用的改進策略是有效的。與WRBBO、DEBBO、SaDE、SE04、HGWOP、MEGWO 和MPSO相比，pvalue全部小于0.05，并且DDHBO優于HBO、WRBBO、DEBBO、SaDE、SE04、HGWOP、MEGWO 和MPSO 的函數數量分別為29、26、22、26、25、19、22、30，由此可以進一步驗證，本文提出的DDHBO 顯著優于對比算法。

4 結語

針對HBO 在解決復雜優化問題時存在的搜索能力不足和效率低的問題，本文提出了一種差分擾動的HBO（DDHBO）。首先，為了提高HBO 的搜索效率，對于在HBO中并未更新的最優個體位置，提出了一種隨機差分擾動策略；其次，為了增強算法的搜索能力，強化最差個體從而提升整個種群質量，提出了一種最優最差差分擾動策略；然后，提出了一種多層差分擾動策略強化一般個體，增強不同層次之間個體的信息共享，提升搜索能力；最后，提出了一種基于維的差分擾動策略，從而解決HBO 在搜索初期獲得有效解的概率低的問題。采用了靜態貪心選擇替代HBO 中動態貪心選擇，并行計算方式減少了算法的運行時間，提高了算法的運行速度和穩定性。在30 維CEC2017 復雜函數上的實驗結果表明，與HBO 和其他最先進的優化算法相比，DDHBO 具有更好的優化性能；并且，DDHBO 具有比HBO 更少的平均運行時間。綜上可得，相較于對比算法，DDHBO 具有更強的競爭性和解決復雜優化問題的能力。但由于HBO 是最新提出的算法，還有許多的地方需要進一步完善，如算法理論研究、改進研究和應用研究以彌補其不足，本文僅僅是一種改進研究嘗試。在未來的研究中，將對HBO 上述三方面做深入的研究，并將DDHBO 應用于解決不同類型的工程優化問題。