基于集成式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的扁平箱梁顫振導數(shù)預測

梅瀚雨 ，王 騎 ,2，廖海黎 ,2，張 巖

（1.西南交通大學土木工程學院，四川 成都 610031；2.西南交通大學風工程四川省重點實驗室，四川 成都610031）

隨著橋梁跨徑的不斷增加，纜索承重橋梁呈現(xiàn)阻尼低、剛度小等特點，這也使得橋梁對風的敏感性逐漸增加，其在強風作用下發(fā)生顫振失穩(wěn)的風險增加.盡管風洞試驗技術(shù)已比較成熟，但仍存在試驗周期長、試驗成本高等問題，不便于在初步設(shè)計階段開展，增加了方案比選工作的難度.此時，若能借助比較準確的顫振導數(shù)，則可以采用顫振理論計算獲得對應(yīng)的顫振風速，快速完成不同方案氣動穩(wěn)定性的比選工作.

顫振導數(shù)表征橋梁斷面的氣動自激力特性，也是顫振分析理論最重要的氣動參數(shù)，由Scanlan等[1]首次提出，并被廣泛應(yīng)用.除薄平板的顫振導數(shù)存在理論解析解，橋梁斷面的顫振導數(shù)一般通過強迫振動風洞試驗[2-4]或自由振動風洞試驗[5-7]獲得，前者精度雖高但需專用設(shè)備，后者簡便易行但精度較低.也可基于計算流體動力學（CFD）數(shù)值模擬的強迫振動測試技術(shù)[8-10]進行顫振導數(shù)的識別工作.無論哪種風洞試驗識別方法，都存在花費較高、周期較長的問題，CFD數(shù)值模擬技術(shù)仍存在識別精度偏低、計算周期長等問題.鑒于目前已積累了較多的扁平箱梁氣動參數(shù)數(shù)據(jù)，若能提出一種高效準確的方法，能夠?qū)崿F(xiàn)利用已有橋梁斷面的顫振導數(shù)而預測出新設(shè)計橋梁斷面的顫振導數(shù)，不但有效利用了歷史數(shù)據(jù)，還能夠顯著推進新建橋梁的方案選型工作.

近年來，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的機器學習方法在橋梁風工程領(lǐng)域展現(xiàn)了其強大的參數(shù)識別和預測能力，諸多學者利用機器學習方法開展了顫振導數(shù)識別研究：Jung等[11-12]基于 Matsumoto等[13]識別的矩形斷面顫振導數(shù)數(shù)據(jù)庫，分別利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機算法建立了顫振導數(shù)預測模型； Wu等[14]利用基于元胞機優(yōu)化的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測了橋梁斷面非線性氣動響應(yīng)；李喬等[15]等用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)識別了橋梁斷面的靜力三分力系數(shù)； Li等[16]基于某大跨度懸索橋現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)，利用決策樹模型和支持向量機回歸模型對渦激共振事件分別進行了模態(tài)分類的模型構(gòu)建和渦振響應(yīng)回歸模型的構(gòu)建；陳訥郁等[17]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識別了典型橋梁斷面的氣動參數(shù)，其中，靜力三分力系數(shù)識別結(jié)果較好，但顫振導數(shù)的預測結(jié)果較差；Rizzo等[18]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測了閉口箱梁懸索橋的顫振臨界風速，但實現(xiàn)方法較為繁瑣，難以展現(xiàn)其工程應(yīng)用價值.

以上結(jié)果表明，機器學習方法可以有效地應(yīng)用到橋梁風工程領(lǐng)域，且研究成果對于工程設(shè)計有較高的參考價值.針對橋梁斷面顫振導數(shù)預測的問題而言，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法憑借其強大的多目標預測能力已展現(xiàn)出較大的優(yōu)勢.然而，前述研究成果對于算法的實現(xiàn)和數(shù)據(jù)集的處理缺乏系統(tǒng)性地描述，具體算法各不相同，識別精度也參差不齊，使得該方法難以真正推廣到工程設(shè)計領(lǐng)域.

為了利用機器學習強大的推演能力，同時避免不同算法的不足，本文提出了利用集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來預測橋梁斷面顫振導數(shù)的方法.基于集成學習，構(gòu)建包含30種不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并利用15種典型扁平箱梁的顫振導數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學習樣本，最后對子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預測結(jié)果進行組合和評判，可得到任意扁平箱梁顫振導數(shù)的預測值.測試結(jié)果表明：本文提出的模型可以深度挖掘扁平箱梁氣動外形與顫振導數(shù)的潛在關(guān)系，僅利用60%的數(shù)據(jù)集進行模型訓練即可根據(jù)斷面形狀高精度預測8個顫振導數(shù)，其結(jié)果優(yōu)于多項式回歸模型和單一人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.本文所提的扁平箱梁顫振導數(shù)的預測方法方便實現(xiàn)，可以應(yīng)用到橋梁初步設(shè)計階段不同方案的顫振計算中.

1 數(shù)據(jù)準備

作為典型的監(jiān)督學習問題，建立必要的數(shù)據(jù)集是建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測模式的基礎(chǔ).數(shù)據(jù)集是由輸入特征x（自變量）和對應(yīng)的預期輸出R（因變量）所組成，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的作用在于建立隱式的映射關(guān)系R=f（x;δ），其中： δ 為待訓練參數(shù)；f為映射關(guān)系.根據(jù)這一原理，并結(jié)合扁平箱梁的外形特征，在本研究中，輸入特征x確定為箱梁的外形尺寸特征和折算風速，預期輸出R為該折算風速下的8個顫振導數(shù)值.數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)分布應(yīng)盡可能覆蓋本研究所涉及的應(yīng)用領(lǐng)域，以方便設(shè)計人員的使用.一般地，模型訓練所必需的數(shù)據(jù)集可通過收集文獻資料獲取.然而，考慮到數(shù)據(jù)來源和數(shù)據(jù)精度，本次研究所采用的數(shù)據(jù)集全部來源于風洞試驗所獲取的典型扁平箱梁斷面顫振導數(shù).

1.1 顫振導數(shù)數(shù)據(jù)集獲取

本次試驗對象為15種不同氣動外形的扁平箱梁斷面，如圖1和圖2所示，包含有3種不同的梁高H（36、44 m m 和 57 m m ）和 5 種不同的斜腹板傾角θ（24°、21°、18°、15°和 12°）.為方便模型的裝配，制作的模型寬度B= 400 m m ，高度有所變化，模型寬高比分別為11、9和7.顫振導數(shù)涵蓋的折算風速V范圍為 4～18，風攻角 α =0°，+3° 和 +5°.為了對扁平箱梁斷面的氣動外形特征進行更為簡單且方便的描述，本次試驗?zāi)Ｐ筒簧婕案綄俳Y(jié)構(gòu)設(shè)施，例如橋面欄桿、中央穩(wěn)定板等.為減小模型自身慣性力且保證模型剛度，試驗?zāi)Ｐ途捎锰祭w骨架聯(lián)合PVC蒙皮制作，質(zhì)量為2.0～2.4 kg.

圖1 典型斷面示意Fig.1 Typical section schematic

圖2 扁平箱梁模型斷面Fig.2 Sectional models of flat box girders

本次強迫振動風洞試驗在西南交通大學XNJD-1風洞中進行，如圖3所示.顫振導數(shù)的設(shè)備及識別方法可參考文獻[19-20]，結(jié)合所提取的自激力，可以識別不同折算風速下的8個顫振導數(shù)和.

圖3 安裝在風洞中的強迫振動裝置及模型Fig.3 Sectional model assembled on forced vibration device in wind tunnel

通過設(shè)計的自由振動顫振試驗，獲得不同模型在不同風攻角下（0°、+3°、+5°）的顫振臨界風速，并和由顫振導數(shù)計算的顫振臨界風速進行對比，由此驗證顫振導數(shù)的準確性.顫振計算分析方法采用Chen等[21]提出的彎扭耦合顫振閉合解法，自由振動風洞試驗采用傳統(tǒng)的彈簧懸掛節(jié)段模型實現(xiàn)（圖4），兩者選用的質(zhì)量和動力參數(shù)一致.以B=400mm，H=44mm，θ=21° 斷面為例，表1中所示其顫振臨界風速計算值和試驗值的一致性表明了顫振導數(shù)測試的準確性.

圖4 彈簧懸掛自由振動風洞試驗Fig.4 Free vibration wind tunnel tests

表1 顫振臨界風速結(jié)果對比Tab.1 Comparison of critical flutter wind speeds

1.2 數(shù)據(jù)預處理

為保證數(shù)據(jù)集的完整性、唯一性、準確性，需對利用強迫振動風洞試驗所獲得的實驗數(shù)據(jù)進行一定的數(shù)據(jù)清洗[22].結(jié)合1.1節(jié)自由振動風洞試驗的結(jié)果，剔除無效的、精度不足的數(shù)據(jù)樣本，最終獲得樣本大小為525的數(shù)據(jù)集.每條數(shù)據(jù)樣本包含某一扁平箱梁斷面在豎向或扭轉(zhuǎn)運動狀態(tài)某一折算風速下的8個顫振導數(shù).為表征扁平箱梁氣動外形特征，文獻[17]利用寬高比、橫向坡度、底板寬度比等無量綱參數(shù)進行描述.本次研究采用最為直接的方式進行特征描述，即：利用扁平箱梁斷面7個頂點（A～G）相對于斷面形心的二維坐標進行描述（如圖5所示），圖中：U為來流風速.這種描述方式較為簡單且易于推廣，可以更好地量化來流風攻角的影響.

圖5 帶風攻角的斷面頂點坐標示意Fig.5 Coordinate of flat box girder with angle of attack

假設(shè)扁平箱梁斷面某一頂點坐標為（a,b），風攻角為 α ，將每個頂點坐標進行旋轉(zhuǎn)操作并進行無量綱化則可得到轉(zhuǎn)換后的頂點坐標為（x,y）, 如式（1）.

由于不同特征和目標的來源、量級以及量綱是不同的，造成特征值分布范圍過大，從而降低神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)梯度下降過程的效率，收斂緩慢.因此，在模型訓練之前，需要對數(shù)據(jù)樣本進行特征值縮放，即特征歸一化.本次研究采用標準歸一化方式（z-score method），使得每一維度的特征都符合標準正態(tài)分布.對于每一個維度特征sk（包含預測目標），標準歸一化后的特征可表示為

式中： μ (sk) 和 σ (sk) 分別為第k個特征sk的均值 和標準差.

實際橋梁斷面一般為對稱結(jié)構(gòu)，若使用7個頂點坐標，則包含了過多冗余信息，如點B與點G對稱.因此，為了精簡模型特征參數(shù)、加快收斂速度、提高模型的泛化能力，只保留A、B、C和D4個頂點的坐標作為輸入特征.

綜上，本次訓練的模型包含有9個輸入特征，其中 8個為 4個頂點坐標 (xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD) ，1個為折算風速V；包含有8個輸出目標值，即8個顫振導數(shù).

2 集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

2.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面的研究始于1943年Mcculloch和Pitts[23]提出的M-P模型.該模型包含有一個神經(jīng)元，可以接收來自上一層其他n個神經(jīng)元傳遞的輸入信號并伴隨有不同的權(quán)重.神經(jīng)元收到的輸入信號將與該神經(jīng)元的閾值進行比較并通過激活函數(shù)進行非線性變換，從而產(chǎn)生該神經(jīng)元的輸出信號.深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是M-P模型的拓展，可簡單理解為包含有多個隱藏層和多個神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)深度的增加，權(quán)重和閾值的數(shù)量逐漸增加，如何進行參數(shù)尋優(yōu)便依賴于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前向傳播和反向傳播算法，可參考文獻[24].

2.2 集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)主要取決于輸入層維度、隱藏層數(shù)、隱藏神經(jīng)元個數(shù)以及輸出目標維度.隱藏層數(shù)和神經(jīng)元個數(shù)增多，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對特征信息的提取能力會增強，但同時也會產(chǎn)生計算資源消耗以及過擬合現(xiàn)象.若隱藏層數(shù)和神經(jīng)元個數(shù)不足，則可能出現(xiàn)欠擬合現(xiàn)象，即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無法挖掘有效信息.這使得目前對于隱藏層數(shù)和隱藏神經(jīng)元個數(shù)的取值仍在一定程度上依賴于設(shè)計經(jīng)驗.

為了避免單個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在算法上的不足，Dasarathy等[25]在1979年提出集成學習（ensemble learning, EL）思想：一種通過構(gòu)建并結(jié)合多個學習器（決策樹，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等）來完成學習任務(wù)的機器學習策略.集成學習的基本思路為：構(gòu)建多個不同結(jié)構(gòu)的“個體學習器”，利用獨立采樣的數(shù)據(jù)進行并行或串行模型訓練，最后利用某種策略（加權(quán)平均）對不同“個體學習器”的結(jié)果進行結(jié)合.相較于單一學習器（圖6），集成學習模型降低了超參數(shù)調(diào)整的困難，且通常可獲得優(yōu)越的泛化性能.

圖6 子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測顫振導數(shù)Fig.6 Sub-network for flutter derivative prediction

經(jīng)反復測試和驗證，本研究確定采用含有30個不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的個體神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（簡稱“子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”）的并行集成模型：既能取得較好的預測效果，又能兼顧較高的計算效率.其中，模型包含的每個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式均與圖6所示的子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類似.各子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含有不同的隱藏層層數(shù)、隱藏神經(jīng)元個數(shù)和非線性激活函數(shù)，相關(guān)信息如表2所示.

表2 不同子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)Tab.2 Design parameters of different sub-neural networks

為了訓練和評估本文提出的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，首先將本文的數(shù)據(jù)集（525組）劃分為訓練集（510組）和測試集（15組），其中：每一組測試集為隨機選取的某一斷面在某一攻角下的8個顫振導數(shù)，折算風速范圍為4～18，間隔為1；訓練集為余下的510組數(shù)據(jù)樣本.將訓練集再次劃分為30個子訓練集，每個子訓練集包含有17組數(shù)據(jù)樣本.為保證每個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練數(shù)據(jù)的差異性和多樣性，從而獲得更高的泛化能力，每輪選取29個子訓練集（即493個數(shù)據(jù)樣本）作為一個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練數(shù)據(jù)，總共30輪，對應(yīng)30個不同的并行子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).具體的算法流程如圖7所示，圖中： βj為加權(quán)系數(shù).

圖7 集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)流程Fig.7 Flow chart of building the integrated deep neural network

由圖7可以看出，每個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所輸出的8個顫振導數(shù)由R進行組合輸出，其中：R包含了8 個顫振導數(shù)和.研究表明[26]：相較于加權(quán)平均（ βj不同）而言，簡單平均方法（ βj相同）可以獲得更為穩(wěn)定的模型且不容易出現(xiàn)過擬合問題，從而使得集成模型的泛化能力提高.因此，本文采用簡單平均方法，取 βj= 1 /30 ，分別將30個不同子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的8個顫振導數(shù)進行組合，得到最終的8個顫振導數(shù)預測值.

相比于普通的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型而言，集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含有如下兩個優(yōu)點：1） 每組數(shù)據(jù)樣本分別經(jīng)過了29個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的并行訓練，使得數(shù)據(jù)集的利用率提高；2） 具有不同結(jié)構(gòu)的子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)雖然性能各異，但集成后模型的輸出結(jié)果更為穩(wěn)定，并從一定程度上避免了復雜繁瑣的超參數(shù)調(diào)整過程，降低了欠擬合和過擬合的風險.

3 顫振導數(shù)預測及評價

3.1 評價指標

除上文所述的子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中隱藏層層數(shù)、隱藏神經(jīng)元個數(shù)和非線性激活函數(shù)等與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相關(guān)的超參數(shù)，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差反向傳播過程中還包含有其他需要預先確定的超參數(shù)，例如：學習率（即權(quán)重和偏置梯度更新的下降速率）、優(yōu)化器類型等.本次研究設(shè)置30個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學習率為0.001，權(quán)重優(yōu)化器采用Adam[27]，通過梯度下降法最小化每個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù).損失函數(shù)Loss均采用如式（3）所示的均方誤差函數(shù).

為了合理地評價本文提出的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預測性能，采用平均絕對誤差MAE、均方根誤差RMSE和決定系數(shù)R23種不同的評價指標，如式（4）.需要說明的是：模型評價應(yīng)基于未參與模型訓練的測試集（如圖7所示），即：包含了15組數(shù)據(jù)（15個折算風速）的某一隨機選取的斷面在某一風攻角下的8個顫振導數(shù).

式中：Rm為某一顫振導數(shù)真實值；為其對應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測值；M=15 為測試集大小；為15組顫振導數(shù)均值.

顯然，MAE和RMSE越低，R2越接近于 1，表示模型的預測性能越好.

3.2 預測結(jié)果

基于Pytorch深度學習框架，實現(xiàn)了如圖7所示的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并利用風洞試驗所獲取的扁平箱梁顫振導數(shù)數(shù)據(jù)集對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行訓練.經(jīng)測試，本文所提出的預測模型訓練效率較高，利用配置普通的電腦（CPU：i7-7700HQ）即可在3 min內(nèi)完成模型訓練（僅調(diào)用CPU），其原因在于本模型無需進行繁瑣的超參數(shù)尋優(yōu)過程.隨機選取了如圖8所示的0° 攻角下扁平箱梁斷面作為預測對象，預測內(nèi)容包含折算風速4～18下的8個顫振導數(shù).

圖8 測試斷面詳圖Fig.8 Detailed geometry of testing section

圖9為測試斷面8個顫振導數(shù)預測結(jié)果對比，由圖可以看出：在折算風速4～18范圍內(nèi)8個顫振導數(shù)預測值與試驗值吻合較好.盡管兩者在數(shù)值上有略微的差異，但整體趨勢保持一致，且預測值較為平滑.

圖9 測試斷面顫振導數(shù)預測結(jié)果對比Fig.9 Comparison between predicted and tested flutter derivatives of testing section

圖10 為測試斷面顫振導數(shù)誤差，由圖發(fā)現(xiàn)：各顫振導數(shù)預測誤差MAE和RMSE較小，R2均在0.950以上，最高可以達到0.998；與自激力矩相關(guān)的 4 個顫振 導 數(shù)的MAE和RMSE低于與自激升力相關(guān)的預測結(jié)果，但決定系數(shù)R2結(jié)果較為接近；彎扭耦合顫振4個關(guān)鍵顫振導數(shù)[28]、、和的預測值決定系數(shù)均在0.980以上，MAE和RMSE值較低，尤其是與扭轉(zhuǎn)分支耦合氣動阻尼和非耦合氣動阻尼相關(guān)的顫振導數(shù)和，其MAE和RMSE均低于0.05，且決定系數(shù)均在0.990左右，表明該模型所預測的顫振導數(shù)能直接應(yīng)用到顫振計算當中.

圖10 測試斷面顫振導數(shù)誤差Fig.10 Error results of flutter derivatives of testing section

綜合3種誤差結(jié)果可以說明：本文所構(gòu)建的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很好地學習到了斷面形狀特征與顫振導數(shù)的潛在關(guān)系，能夠根據(jù)斷面形狀特性直接輸出較高精度的8個顫振導數(shù).

3.3 數(shù)據(jù)集大小的影響

事實上，眾多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)研究證實了數(shù)據(jù)集的大小對于模型的預測性能有較大的影響[24].一般來說，需要足夠充足的訓練樣本才能顯著改善模型的預測精度.為了研究本文所提出的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理數(shù)據(jù)量問題上的優(yōu)勢，分別按20%、40%、60%和80%的比例隨機選取數(shù)據(jù)集（總數(shù)據(jù)量為510）作為模型的訓練集，并利用訓練完成的模型分別預測扁平箱梁的顫振導數(shù).為綜合評價不同模型的預測效果、便于展示，對8個顫振導數(shù)預測誤差的3種評價結(jié)果求平均，如圖11所示.

由圖11可以看出：當訓練集比例在60%時，預測結(jié)果精度已經(jīng)較為理想；當訓練集比例增加到80%時，其預測效果幾乎接近于100%比例訓練集；這一規(guī)律在3種評價指標上均有體現(xiàn).

圖11 訓練集大小對誤差結(jié)果的影響Fig.11 Effects of training set size on error results

本文提出的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預測效果較好，利用較少的訓練集即可達到較高的預測水平，這也說明了本方法對于數(shù)據(jù)的利用效率較高，且預測結(jié)果較為穩(wěn)定，不存在欠擬合和過擬合問題.

3.4 不同模型預測的結(jié)果對比

本次研究的主要目標在于建立某種映射關(guān)系（或函數(shù)）R=f（x;δ） ，該映射關(guān)系的自變量x為扁平箱梁斷面4個頂點坐標和1個折算風速，即，因變量R為 8 個顫振導數(shù)，即.通常，這種映射關(guān)系可利用顯式的n次多項式回歸模型進行實現(xiàn)，即利用上述數(shù)據(jù)集進行多項式系數(shù)擬合，構(gòu)建非線性回歸模型，如式（5）.

式中：xn為n次多項式展開的自變量，例如、yD、V2等，當n=2 時，xn包含 54 項，當n=3 時，xn包含219項； η 為回歸系數(shù)矩陣； φ 為截距.

經(jīng)測試：當n＞1 時，模型會陷入嚴重的過擬合狀態(tài)，即訓練集上的擬合性能較好，而在測試集上預測結(jié)果誤差非常大；n=1時 ，即線性回歸模型.利用最小二乘法和以上數(shù)據(jù)樣本進行多項式回歸模型擬合，得到的系數(shù)矩陣為

相較于本文提出的集成式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，單個人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型同樣可以實現(xiàn)顫振導數(shù)的預測.構(gòu)建與文獻[11]相同的單一人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，該模型包含2層隱藏層，每個隱藏層包含20個隱藏神經(jīng)元，激活函數(shù)選用 s igmoid.為對兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行區(qū)別，此處的單一人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型簡稱為“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型”.利用多項式回歸模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對相同的測試斷面進行顫振導數(shù)預測并進行誤差評估，其結(jié)果與集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預測結(jié)果之間的對比如表3所示（均值化）.

表3 誤差結(jié)果對比Tab.3 Comparison of different errors

從表3中可以看出：1） 多項式回歸模型獲得預測結(jié)果的誤差較大，對應(yīng)的決定系數(shù)僅為0.781，不足以說明該模型的有效性.究其原因在于，在數(shù)據(jù)量較大的情況下，多項式回歸模型易陷入嚴重的欠擬合狀態(tài)，無法有效建立箱梁斷面氣動外形與顫振導數(shù)的關(guān)系.2） 對于單個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測模型，其預測性能優(yōu)于多項式回歸模型，但其MAE和RMSE誤差高于本文提出的集成模型，且決定系數(shù)（R2=0.807 ）僅是略高于多項式回歸模型，其有效性不足，無法應(yīng)用到具體的顫振計算中.因此，本文提出的模型可以很好預測扁平箱梁的顫振導數(shù).

4 結(jié) 論

本文的主要結(jié)論如下：

1） 提出了一種基于集成學習策略的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.該模型能有效挖掘扁平箱梁形狀特性，實現(xiàn)8個顫振導數(shù)的高精度預測.

2） 預測結(jié)果表明，僅利用60%的訓練樣本即可達到滿意的預測精度，訓練樣本利用率較高.

3） 相較于傳統(tǒng)的多項式回歸模型和單個人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，本文提出的集成式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預測精度更高，可以應(yīng)用到實際工程的顫振計算中.