微型鉆頭螺旋槽磨削機床精度標定方法的研究*

胡永祥，徐魏斌，付連宇，楊曉鈞※

（1.哈爾濱工業大學（深圳）機電工程與自動化學院，廣東深圳 518000；2.深圳市金洲精工科技股份有限公司，廣東深圳 518116）

0 引言

隨著我國電子工業的飛速發展，作為元器件載體的PCB板的市場規模持續擴大。PCB板微孔加工通常采用機械鉆孔的方式。為了提高剛度，微型鉆頭的螺旋槽常設計為變螺旋角形狀。微型鉆頭加工最重要的工序為磨尖磨槽。機床的空間誤差是影響微型鉆頭加工精度的重要因素，精度標定是解決這一問題的有效辦法。精度標定主要包括機床空間誤差建模、誤差測量與辨識以及誤差補償3個部分。

對于機床誤差建模，主要包括單項幾何誤差元素建模和機床空間幾何誤差建模。其中單項幾何元素建模方法有切比雪夫多項式[1]、最小二乘法[2]等等，然而這些方法受制于多項式次數的選擇，精度不夠。為了提高擬合精度和速度，出現了基于神經網絡[3]、人工魚群算法[4]等新型建模方法。對于機床空間誤差幾何建模，傳統建模方法建立多個坐標系，建模過程繁瑣，基于旋量理論[5]和坐標系微分運動關系[6]等等的新型建模方法被大量研究應用。對于誤差測量與辨識，根據測量方法有直接測量和間接測量。直接測量通常用激光干涉儀，但測量時間長，效率低。間接測量方法目前被廣泛研究，主要有六圈法[6]、九線法[7]、體對角線分布測量法[8-9]等。對于機床誤差補償，傳統補償方法將空間誤差模型的位置偏差量取反，但會產生較大的補償殘差，影響工件加工質量。重建工件CAD模型[10]的補償方法于在線測量誤差補償中已普遍使用。基于迭代和遞歸[11]、粒子群[6]或者和遺傳算法[12]等智能算法優化加工代碼的方法，建模簡單，補償效果好。

本文首先設計了一款磨削加工微型鉆頭螺旋槽的專用機床，基于多體系統運動學和齊次坐標變換理論建立了磨削機床的空間誤差模型。其次使用激光跟蹤測量辨識出了機床的23項幾何誤差，得到了運動空間特征點的空間誤差，之后基于BP神經網絡訓練擬合了這些誤差數據，同時可以精確預測非特征點的空間誤差。最后針對傳統誤差補償方法的缺陷，提出了一種基于遺傳算法優化加工代碼的方法，降低了補償后的殘差，驗證了算法的可行性。

1 微型鉆頭磨削機床的空間誤差模型

圖1所示為微型鉆頭磨削機床三維結構模型示意圖，磨削機床結構主要由刀具鏈和工件鏈構成，其中刀具鏈由平動軸和手動轉動軸組成，設定手動旋轉軸將只影響砂輪的偏置角度，對砂輪刀具刀位點位置不造成影響，工件鏈由平動軸以及轉動軸組成，在兩條運動鏈路運動的組合下可實現微型鉆頭螺旋槽的磨削加工。

圖1 微型鉆頭磨削機床三維結構模型示意圖

圖2所示為磨削機床機構示意圖，其中構件0為機床床身，構件1為繞Z軸手動旋轉軸，構件2包括了移動軸Z、砂輪主軸以及砂輪，構件3為移動軸X，構件4為旋轉軸A以及相關構件。

圖2 微型鉆頭磨削機床機構示意圖

在磨削機床上建立各坐標系如圖3所示。將刀具鏈定義為第一運動鏈。在構件1手動旋轉副軸線與機床床身交點處建立機床坐標系M CS/{1-1}。在移動軸Z的絲杠副運動中心軸線與手動旋轉副平面的交點上建立運動坐標系{1-2}。在砂輪刀位點處建立刀具坐標系T C S/{1-3}。將工件鏈定義為第二運動鏈。在移動軸X的絲杠副運動中心軸線與機床床身交點處建立工件鏈初始坐標系{2-1}。在夾持微鉆毛坯的旋轉軸A中心軸線末端處建立運動坐標系{2-2}。在坐標系{2-2}處建立隨旋轉軸A旋轉的工件坐標系WC S/{2-3}。

圖3 機床坐標系建立

其中常量l1、l2分別為MC S與運動坐標系{1-2}的Z、X向偏距。常量l3、l4分別為運動坐標系{1-2}與TC S的X、Z向偏距。常量l5、l6分別為坐標系{2-1}與M C S的X、Z向偏距。常量l7、l8分別為運動坐標系{2-2}與坐標系{2-1}的X、Z向偏距。常量R為砂輪的半徑。變量x、z分別為移動軸X、Z在參考坐標系下的運動量。變量θ1為砂輪偏置角度，微鉆加工時為固定值。變量θ2為旋轉軸A在參考坐標系下的運動量。

TC S相對于W C S的理想齊次變換矩陣為：

考慮磨削機床結構，會有23項幾何誤差對運動定位精度有影響，各軸幾何誤差如表1所示。

表1 機床幾何誤差元素表

表中δx(x)、δz(z)、εx(A)分別為X、Z、A軸的定位誤差，δi(x)|i=y、z、δi(z)|i=x、y、δi(A)|i=x、y、z分別為X、Z、A軸 的 直 線 度 誤 差 ，εi(x)|i=x、y、z、εi(z)|i=x、y、z、εi(A)|i=y、z分別為X、Z、A軸的角度誤差，δyO A、δzO A、εyOA、εzOA為旋轉軸A軸線的兩項線性誤差和角度誤差。

結合機床的23項誤差元素，此時磨削機床各運動軸之間的實際齊次坐標變換為：

T CS相對于W CS的實際齊次變換矩陣為：

磨削機床的綜合空間誤差模型則為：

2 磨削機床誤差測量與辨識

2.1 磨削機床平動軸與旋轉軸的幾何誤差測量

本節利用激光跟蹤儀測量辨識各軸的幾何誤差。激光跟蹤儀是一種基于球坐標的測量儀器，其可以用來繪制自由曲面、跟蹤物體的軌跡、測量零件的形位公差等等，因其測量結果精度高、測量范圍大、操作簡單的特點，廣泛用于工業檢測領域。

平動軸辨識基本原理為測量參考坐標系下參考點理論值與實際值之間的差值，差值又可以用機床各軸基本幾何誤差線性表示，從而能夠解耦辨識出機床的各軸幾何誤差元素。如圖4所示，在X軸參考坐標系O-xyz下，運動坐標系O x-x x y y z z初始坐標為(x0,y0,z0)，A1為激光跟蹤儀靶球安放的位置，初始坐標為(x1,y1,z1)。

圖4 平動軸幾何誤差辨識

理想情況下不考慮任何誤差，移動平臺運動量為x時，A1在參考坐標系下的坐標(x A1,y A1,z A1)為：

考慮機床6項基本幾何誤差，A1在參考坐標系下的坐標(x′A1,y′A1,z′A1)為：因此在X軸運動量為x時，A1的空間誤差為：

激光跟蹤儀可以測量靶球A1點在參考坐標系下的實際坐標(x′A1,y′A1,z′A1)，為已知值。對于靶球A2、A3也類似，參考坐標系下A2、A3初始坐標分別為(x2,y2,z2)、(x3,y3,z3)，激光跟蹤儀測得在參考坐標系下的實際坐標分別為(x′A2,y′A2,z′A2)、(x′A3,y′A3,z′A3)，聯立A1、A2、A3的誤差方程，將它們用矩陣形式進行表示如下：

因為A1、A2、A3并不在同一條直線上，所以系數矩陣的秩為6，此時的方程具有唯一解。因此已知A1、A2、A3初始坐標，機床運動量為x，可以辨識當前機床移動軸X的6項基本幾何誤差。移動軸Z的辨識方法與X軸一致，不再贅述。

對于旋轉軸A辨識方法也類似，如圖5所示，在參考坐標系下，運動坐標系O A-x A y A z A初始坐標為(x′0,y′0,z′0)，激 光 跟 蹤 儀 靶 球B1、B2、B3初 始 坐 標 為(x′1,y′1,z′1)、(x′2,y′2,z′2)、(x′3,y′3,z′3)，軸A運 動量 為θ，激 光跟蹤儀測得靶球B1、B2、B3實際隨運動量θ變換的坐標為(x′B1,y′B1,z′B1)、(x′B2,y′B2,z′B2)、(x′B3,y′B3,z′B3)。其幾何誤差辨識矩陣方程為：

圖5 旋轉軸A幾何誤差辨識

同理B1、B2、B3并不在同一條直線上，所以系數矩陣的秩為6，此時方程組也一定具有唯一解。因此已知B1、B2、B3初始坐標，當運動量為θ時，可以辨識此運動量下旋轉軸A的6項幾何誤差。

對于垂直度誤差測量，如圖6所示。將激光跟蹤儀靶鏡分別安裝在X軸以及Z軸上，測量出一系列的點C1、C2、C3…Cn以及點D1、D2、D3…Dn，通過最小二乘法擬合直線，得到兩條直線的方向向量，再通過數學運算計算兩直線的角度大小，從而可以得到兩平動軸垂直度S x z的大小。

圖6 垂直度誤差測量

對于旋轉軸A本身軸線的兩項線性誤差和角度誤差測量的方法，理論上旋轉軸A初始狀態時6項基本幾何誤差全部都為零，由于軸線存在4項幾何誤差，故實際辨識出來不為零的4項幾何誤差即為軸線的δy O A、δzO A、εyOA、εzOA。

平動軸X、Z與旋轉軸A的幾何誤差辨識實驗步驟都類似，測試系統安裝如圖7所示，實驗步驟如下。

圖7 基本幾何誤差辨識實驗示意圖

（1）將3個1.5 in的靶球固定在運動平臺上，3個靶球安裝形成三角形。固定激光跟蹤儀。電機驅動各軸平臺移動，每隔運動行程的1/20停止并測量3靶球在激光跟蹤儀下的位置，共測量21組。

（2）對于平動軸X，利用最小二乘法直線擬合每組三角形的重心位置，將擬合的直線視作為參考坐標系的X軸，選擇過靶球A1初始位置同時與X軸垂直的直線作為參考坐標系的Y軸；移動軸Z類似，不再展開。對于旋轉軸A，利用最小二乘法擬合每個靶球的回轉軸線，取三靶球的平均回轉軸線作為參考坐標系的X軸，選擇過靶球B1初始位置同時與X軸垂直的直線作為參考坐標系的Y軸。

（3）計算參考坐標系與激光跟蹤儀坐標系之間的轉換關系，把在激光跟蹤儀坐標系下測量的靶球位置轉換成參考坐標系下的位置。建立運動坐標系，其方向與參考坐標系方向相同，起始位置也一樣。確定3個靶球在參考坐標系下的起始位置。

（4）運用式（12）或式（13）中提出的平動軸和旋轉軸幾何誤差辨識矩陣，得到各運動軸各個運動位置的6項基本幾何誤差，并通過B樣條對數據進行擬合。最終各軸基本幾何誤差辨識結果如圖8所示。

圖8 各軸幾何誤差辨識結果

另外對于X、Z軸平動軸的垂直度誤差測量，實驗平臺安裝如圖9所示，具體實驗步驟如下：

圖9 垂直度誤差辨識實驗示意圖

（1）固定激光跟蹤儀。將兩靶球分別安裝至X、Z軸移動平臺上，電機驅動平臺移動，測量其運動軌跡，即連續分別測量n1、n2組數據。

（2）利用最小二乘法分別直線擬合X、Z軸的n1、n2組數據，得到X、Z軸的方向向量，從而求得X、Z軸之間的垂直度誤差。

根據最小二乘法的擬合結果，在激光跟蹤儀坐標系下的X軸的方向向量為（-0.950 1，-0.311 8，-6.609 4×10-4），Z軸的方向向量為（0.007 7，-0.021 4，-0.999 7），所以垂直度誤差為S xz=2.5668×10-2μrad。

針對旋轉軸A軸線的兩項線性誤差以及兩項角度誤差，通過辨識旋轉軸初始狀態即可從旋轉軸幾何誤差矩陣獲得4項幾何誤差的數值大小，最后辨識結果為δyO A=-5.673 2μm、δzOA=-5.238 9μm、εyOA=1.326 1μm、εzOA=-0.782 1μm。

2.2 基于BP神經網絡的空間誤差擬合

通過激光跟蹤儀測量辨識出機床工作空間的各項幾何誤差之后，將這些幾何誤差元素代入空間誤差模型中，可以得到整個運動工作空間的空間誤差。這些空間誤差為離散值，需要進行擬合。目前有將各軸單項基本幾何誤差數據運行多項式回歸或者最小二乘法等方法進行擬合，最后將這些數學表達式代入空間誤差模型中的方法。然而這種方法需要為每個基本幾何誤差項數據擬合，操作繁瑣；第二，精度無法達到要求，特征點誤差較大，非特征點預估數據更加無法預估。由于整個機床運動空間的特征點數據雜亂無序，本章采用BP神經網絡對這些特征點的空間誤差數據進行擬合，旨在精確擬合各特征點數據，為非特征點數據提供高精度的預估值。

移動軸X的運動行程為200 mm，移動軸Z移動行程為60 mm，旋轉軸A運動行程為360°。首先將磨削機床的運動空間三坐標軸進行10等份，從而得到11×11×11個特征點運動空間坐標值，如圖10所示，將坐標值當作BP神經網絡的輸入樣本，即(x,z,θ)，輸出樣本為運動空間的特征點空間誤差值(Δx,Δy,Δz)。訓練完畢之后，機床運動任意運動空間位置都可通過BP神經網絡得到空間誤差值。

圖10 BP神經網絡輸入樣本和輸出樣本

根據訓練集的數據特點，Δ輸出層和輸出層神經元數設置為3。BP神經網絡整體結構如圖11所示。

圖11 BP神經網絡結構

整個BP神經網絡共7層，隱含層層含有的神經元數為10、15、25、15、10。設置均方誤差為2.5×10-10μm，學習速率為0.05，激活函數全部采用sigmoid，最大訓練次數為100 000，訓練方法為LM梯度下降法訓練。

2.3 空間誤差數據神經網絡擬合分析

如圖12所示，將特征點的原始空間誤差數據與BP神經網絡擬合空間誤差誤差數據對比，當最大擬合誤差為0.026 7μm時，原始空間誤差為343.502 5μm，BP神經網絡擬合空間誤差為343.522 5μm，誤差率為7.772 9×10-5，BP神經網絡特征點擬合準確率達99.99%。

圖12 原始誤差與神經網絡擬合空間誤差對比

為了更清楚地分析BP神經網絡的擬合情況，考慮旋轉軸θ=0時，取X、Z兩平動軸的運動空間，如圖13所示，X、Y、Z向擬合誤差分別保持在[-9.495 5×10-3μm，7.409 0×10-3μm]、[-2.444 9×10-3μm，3.198 7×10-3μm]、[-5.693 1×10-3μm，4.033 2×10-3μm]，說明神經網絡擬合效果確實比較好，精度高。

圖13 BP神經網絡擬合機床誤差

3 磨削機床空間誤差補償

3.1 基于遺傳算法的加工代碼優化

前文已經完成了誤差建模與誤差測量和辨識，而這些工作主要是為誤差補償而服務。誤差補償，即在實際加工中補償誤差，減少機床誤差對加工工件的影響，提高工件的加工精度。目前普遍采用的傳統補償方法基本思想是在已知加工點空間誤差大小和方向的情況下，反向施加同等大小方向相反的空間誤差，這樣實際加工位置點會更接近理想加工位置點，從而提高了加工精度。

然而，傳統補償方法在原理上依舊有不足之處，實際加工結果誤差較大。原因在于，機床空間誤差是與實際加工位置有關的物理量或者說與各運動軸實際的運動量有關。如圖14所示，傳統補償方法中，理想加工位置Pd的空間誤差為Ed，反向施加一個大小相等的誤差后的目標優化位置Pr的空間誤差Er并不等于Ed，實際加工過程中，每一個插補點都會產生或大或小的殘差。

圖14 傳統補償與本文補償方法比較

本節將誤差補償問題轉換為最優化設計問題。主要以殘差為優化指標，力求在整個加工過程中使得殘差最小。建立目標優化函數如下:

式中：(Pdx,Pdz,Pdz)為理想加工位置點，已知量。(Prx,Prz,Prz)為目標優化位置點，目標優化量。(P rx,P rz,P rθ)為目標優化位置點后置處理得到的各軸運動量。NU(Prx,Prz,Prθ)x、N U(Prx,Prz,Prθ)y、NU(Prx,Prz,Prθ)z分別為當各軸運動量為(Prx,Prz,Prθ)時BP網絡輸出的x、y、z向誤差。

另外通過第2章的分析可知，機床各向誤差數據最大值不超過250μm，因此目標優化位置點各分量約束條件為：

如圖15所示，整個目標優化位置點的搜索區域為以理想加工位置Pd為中心的直徑250μm的球形區域。由于每個目標位置的分量都小于極限分量250μm，所以一定存在最優解。

圖15 目標優化位置點的搜索區域

可以看到此時的目標位置優化問題實際上是一個多約束的非線性規劃問題，本章采用遺傳算法進行最優值求解，求解流程如圖16所示。遺傳算法初始條件設置為：種群大小40，最大遺傳代數400，變量維數3，選擇概率0.7，交叉概率0.7，變異概率0.2。

圖16 遺傳算法求解最小殘差流程

3.2 微型鉆頭誤差補償優化結果

運用本文誤差補償算法和傳統補償方法至圖17中需加工的微型鉆頭變螺旋角槽線加工軌跡中。

圖17 變螺旋角加工路徑

運行結果如圖18所示。首先解釋一下傳統補償方法殘差呈現類似周期性的原因。由第二章辨識結果可知機床空間誤差受到旋轉軸的影響最大，旋轉軸A的6項基本幾何誤差在一圈內呈現近似正弦函數變化，且會出現一次最小值和最大值，故此傳統補償殘差在一圈內同樣會出現最小值和最大值，同時殘差呈現類似正弦函數的軌跡。由于本次補償的加工軌跡共7圈，所以總共7次相似的殘差輪廓。其次，從圖18中可知本章提出的算法將傳統補償的殘差平方最大值160.058 5μm降至0.070 48μm，殘差平方平均值45.847 6μm降至0.000 3μm，且所有插補點中殘差遠遠小于傳統補償的殘差。由此說明對于微型鉆頭加工而言，本文提出的補償方法能十分有效地提高加工精度，同時也驗證了算法的可行性。

圖18 變螺旋角加工路徑誤差補償結果

4 結束語

（1）針對微型鉆頭磨削機床的結構特點，分析了機床的幾何誤差元素，并根據齊次坐標變換和多體系統運動學建立了磨削機床綜合空間誤差模型。

（2）確立了基于激光跟蹤儀的平動軸和旋轉軸幾何誤差測量與辨識方法，測量解耦出了機床的23項結合誤差，并運用7層的BP神經網絡對空間誤差特征點數據進行擬合，同時精確預測非特征點的空間誤差，擬合準確率高達99.99%。

（3）針對于傳統補償方法的缺陷，將誤差補償問題轉換為最優化設計問題，并基于遺傳算法優化加工軌跡，減小補償殘差對加工的影響。最終，將插補點傳統補償殘差平方的最大值由160.058 5μm降至0.070 48μm，平均值由45.847 6μm降至0.000 3μm，補償效果顯著有效。