有理真分式的拉普拉斯積分變換的反演

張 波，陳 珍，袁季兵*

(1.衡陽師范學院物理與電子工程學院， 421002 ，湖南，衡陽；2.衡陽市第八中學，421008， 湖南，衡陽)

0 引言

1 有理真分式分解成分項分式

有理真分式有如下形式

(1)

其中n>m。

(2)

發現有理真分式可分解成下面分項分式

(3)

其中常系數可以用下面公式求出

(4)

2 有理真分式的拉普拉斯積分變換反演

接下來介紹如何對分解后的有理真分式(3)執行拉普拉斯積分變換反演。首先簡要介紹拉普拉斯積分變換的基本概念和一些基本性質。對于一個自變量定義在[0,∞]區間的函數f(t),對它執行拉普拉斯積分變換的形式如下

(5)

拉普拉斯積分變換具有如下一些重要性質：

1)線性定理￡[c1f1(t)+c2f2(t)]=c1￡[f1(t)]+c2￡[f2(t)]；

同時還介紹一個本文需要用到的一個重要的拉普拉斯積分變換反演關系式

(6)

其中n為正整數，s為復常數。

利用拉普拉斯積分變換的線性定理以及關系式(6)，得到有理真分式(3)可反演成如下形式

(7)

根據得到的一般有理真分式的拉普拉斯積分變換反演式(7)，具體討論2種常見有理真分式下的拉普拉斯積分變換反演式。

1)n個單根的情形。有理真分式分母只有n個單根時，式(3)可化簡成

(8)

它的拉普拉斯積分變換的反演式為

(9)

其中系數

(10)

進一步討論n個單根中存在s對共軛復單根，n-2s個單實根的情形。當所求的根為復數時，那么這個根的共軛復數必然也是N(p)=0的根，因此設p1,2j=α2j+iβ2j，p1,2j-1=α2j-iβ2j，j=1,2,3，…s，其中α2j，β2j為實數。當有理真分式為實系數有理真分式時，可以證明它們對應的系數A1,2j,0=A1,2j-1,0*=a2j+ib2j，其中a2j，b2j為實數。它的拉普拉斯積分變換的反演式可以進一步化為

(11)

2)1個s重根，n-s個單根的情形。在這種情形下，式(3)可化簡成

(12)

它的拉普拉斯積分變換的反演式為

(13)

其中系數分別為：

3 有理真分式拉普拉斯積分變換反演的應用

(14)

(15)

最后介紹另一個應用。2個RLC串聯電路相互感應，互感系數為M，2個線圈具有相同的R、L、C，如果第1個線圈的電壓為E，第2個線圈無電源，求第2個線圈感應的電流？通過對2個線圈的電壓分別進行分析，可以得到有關2個線圈電流的微積分方程組

(16)

其中j1，j2為2個線圈的電流。利用線性定理、導數定理和積分定理對上面的方程組執行拉普拉斯變換，可以得到下面的代數方程

(17)

上面方程假設了2個線圈初始時刻的電流均為零。整理上面的代數方程，可以得到

(18)

4)△1=0,△2<0, 此時1個根為2重實根，一對共軛復根，j2(t)的形式為j2(t)=2eα2t(a2cosβ2t-b2sinβ2t)+A2,1,0tep2,1t+A2,1,1ep2,1t。

4 結束語

按照有理真分式分母等于零所得的根的分類，把一般的有理真分式分解成了分項分式的形式。每個分項分式的系數可以用3個參數表達，并給出了求解各個系數的表達式。基于分項分式，利用拉普拉斯積分變換的線性定理和關系式(6)對有理真分式進行了反演，給出了一般有理真分式原函數的具體形式(7)。通過這個表達式(7)，討論了單實根、共軛復根、s重根等性質的根分別對應的原函數。這對于理解物理學中多樣的運動方式背后的物理原因具有一定的啟發意義。最后介紹了有理真分式拉普拉斯積分變換反演的2個應用。本文在快速求解常系數微積分方程組方面具有一定的指導意義。