幾類聯圖的頂點PI指數

王明杰，紅 霞

(洛陽師范學院數學科學學院，471022，河南，洛陽)

0 引言

圖的拓撲指數不僅能體現結構圖中相關性質，而且在理論化學、復雜網絡以及信息科學等領域有廣泛的應用。1947年，H Wiener[1]是第一個提出Wiener指數，它不僅是圖理論中典型的一類指數，而且也是最早被很多學者引用及研究的對象。基于這一指數，繁衍出很多類似的拓撲指數，如基于距離的參數有圖的度距離[2]，基于到2個端點距離之差來分類的不同運算的參數有Szeged指數[3]和PI指數[4-5]等。至今為止，很多圖的頂點PI指數和邊PI指數[6-15]被研究。本文主要研究了幾類聯圖的頂點PI指數，從而豐富了拓撲指數理論。

1 基本概念

本文將考慮的圖均為無向簡單圖，沒有說明的術語同文獻[4]。特別地，對任意頂點u，v∈V(G)，用dG(u,v)表示連通圖G中從頂點u到頂點v的距離。

定義1[6]：令圖G=(V,E)是簡單連通圖，圖G的頂點PI指數計算公式為PI(G)=∑e=uv∈E(nu(e|G)+nv(e|G))，其中

nu(e|G)=|{w|dG(w,u)

nv(e|G)=|{w|dG(w,v)

下文中，用Pn、Cn、Kn分別表示n個頂點的路、圈以及完全圖，而用F1·n表示一個頂點與Pn上每個頂點相連而成的圖，即為扇圖。

2 主要結果

定理1：對于n≥1，m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|1≤i≤n,1≤j≤m，

|V(G)|=m+n,|E(G)|=mn+n-1。由圖G的結構對稱性及PI指數定義可得如下分解公式：

3)對于式子(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，對任意的頂點w∈V(G){v1,v2,...,vm}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=(n-1)n=n2-n。

綜上所述，可得

PI(G)=m2n+mn2-2mn+n2+2m-n。

定理2：對于n≥3、m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|1≤i≤n,1≤j≤m}，

|V(G)|=m+n,|E(G)|=mn+n。

當n=3、m≥1時，由圖G的結構對稱性及PI指數定義可得如下分解公式：

2)對于式子n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，對任意頂點w∈V(G){u3,v1,v2,...,vm}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=n(n-1)=n2-n，

從而有

PI(G)=m2n+mn2-2mn+n2-n=3m2+3m+6。

當n≥4、m≥1時，由圖G的結構對稱性及PI指數定義可得如下分解公式：

2)對于式子n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，對任意頂點w∈V(G){v1,v2,...,vm}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=n(m+n-m)=n2，

則

PI(G)=m2n+mn2-2mn+n2。

綜上所述，可得

定理3：對于n≥1、m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|1≤i≤n,1≤j≤m},

由圖G的結構對稱性及PI指數定義可得如下分解公式：

綜上所述，可得

PI(G)=m2n+mn+n2-n。

定理4：對于n≥1、m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|0≤i≤n,1≤j≤m},

V(G)|=m+n+1，|E(G)|=mn+2n+m-1。

由圖G的結構對稱性及PI指數定義可得如下分解公式：

4)對于式子(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，對任意頂點w∈V(G){v1,v2,...,vm,u0}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=(n-1)n=n2-n。

綜上所述，可得

PI(G)=m2n+mn2+2n2+m2-2mn+3m-2n+2。

3 結束語