解決復階星形函數子類系數估計的猜想研究

徐 璇，呂龍波

(宜春職業技術學院，336000，江西，宜春)

1 介紹及引言

令R是實數集合，C是復數集合，N是正整數集合。

(1)

并在開單位圓盤U={z∈C:|z|<1}中解析的函數類。

文獻[1]中的結果如下。

定理1：令參數A、B、λ、γ，整數m，-1≤B

假設

|γ(A-B)-B(m-2)|≥m-2

(1)

則

定理2：令參數A、B、λ、γ，整數n，-1≤B

|γ(A-B)-B(n-2)|≥n-2

(2)

并且函數f(z)如式(1)所定義，若f∈K(λ,γ,A,B)，則

這個估計是精確的。

定理3：令參數A、B、λ、γ，整數n，-1≤B

假設

|γ(A-B)-B(n-2)|≥n-2

(3)

這個估計是精確的。

近年來，各位學者對單葉解析函數的性質研究相對較多，并得到了相應函數的系數估計，可見文獻[2-5]。熟知，Fekete-Szeg?問題主要是研究單葉函數的Taylor展式的第2項和第3項的關系，其研究背景是著名的Bieberbach猜想。1985年，歷時68年之久的猜想Bieberbach得到證明，成為20世紀最重要的數學事件之一。此后人們對Fekete-Szeg?問題的研究興趣轉向單葉函數的重要的子族，并得到許多有趣的結果，詳情可參看文獻[2,6-10]。

本文利用各種函數類的Fekete-Szeg?不等式，除去定理1中的條件(1)，去掉定理2的條件(2)，去掉定理3的條件(3)，得到以下函數的系數估計。

2 主要結果

定理4：令參數A、B、λ、γ，整數m，-1≤B

(4)

證明：利用歸納法的原理m∈N{1}。事實上，對于m=2，式(4)是成立的。假設

對于一些固定的正整數m∈N{1}成立，顯然得到

在m∈N{1}由數學歸納法的原理完成了定理4的證明。

(5)

這個估計是精確的。

證明：由于f∈K(λ,γ,A,B)，存在一個Schwarz函數w(z)，在U中解析，有w(0)=0,|w(z)<1|(z∈U),使得

即

因此有

寫成以下形式

在U中明顯收斂，注意到|w(z)|<1(z∈U)，因此，由Parseval′s定理，得到

相當于

(6)

因此得到當k=n，

定理5中不等式的估計成立。

定理6：令參數A、B、λ、γ，整數n，-1≤B

定理6中不等式的估計成立。

f∈S(λ,γ,1-2β，-1)=SC(γ,λ,β)，

則