取素養(yǎng)之勢(shì) 明邏輯之道 優(yōu)數(shù)理之術(shù)
——對(duì)一道模考導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法審視和優(yōu)化

陜西 巨小鵬

導(dǎo)數(shù)壓軸題具有綜合性，對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算都有著非常高的要求，近幾年的高考導(dǎo)數(shù)壓軸題思考方式具有普遍性但也頗具靈活性.通過審視課堂教學(xué)內(nèi)容，反思什么才是我們需要去關(guān)注的核心問題，如何培養(yǎng)學(xué)生推理論證和運(yùn)算求解能力？本文通過對(duì)一道高三月考導(dǎo)數(shù)壓軸題的剖析，對(duì)數(shù)學(xué)邏輯推理和數(shù)學(xué)直觀做了一題多解的闡述，對(duì)構(gòu)造函數(shù)和解法計(jì)算進(jìn)行優(yōu)化，即以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，深刻理解邏輯推理之道及優(yōu)化數(shù)理運(yùn)算之術(shù).

1.試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=aln(x-1)+x2+(a-2)x-a+1．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)存在極值，且f(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍.

2.解法剖析

2.1 通性通法是法寶，數(shù)學(xué)直觀是方向

史寧中教授說：“對(duì)于任何學(xué)科的教學(xué)，最終都應(yīng)當(dāng)把培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科直觀作為重要的價(jià)值取向.”數(shù)學(xué)直觀是我們解題的首選方向，借助圖形通過直觀建立思維架構(gòu)，構(gòu)建邏輯，形成思想理論，即始于直觀，成于推理，終于理念.

解析：(1)方法一：由題意，函數(shù)f(x)=aln(x-1)+x2+(a-2)x-a+1,a∈R,

可得f(x)的定義域?yàn)?1,+∞)，

令g(x)=2x2+(a-4)x+2.

令Δ=a(a-8)≤0,即當(dāng)0≤a≤8時(shí)，f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)a<0時(shí)，方法同上.

①當(dāng)a≥0時(shí)，2t2+at+a>0，即f′(t)>0，所以f(t)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增；

②當(dāng)a<0時(shí)，令2t2+at+a=0，則Δ=a(a-8)>0，

綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增；

評(píng)注:方法一通過對(duì)二次函數(shù)對(duì)稱軸分類討論，但是極少有人想到，大多數(shù)人想到的是方法二，根據(jù)韋達(dá)定理判斷，然而對(duì)a分類討論a∈(0,8)和a∈(-∞,0)∪(8,+∞)，沒有檢驗(yàn)導(dǎo)致分類錯(cuò)誤，方法三通過換元，將函數(shù)簡(jiǎn)單化，分類討論起來思路就比較清晰，所以換元是簡(jiǎn)化運(yùn)算的一種極為重要的方法，不可小覷，這個(gè)在第二問中也有所體現(xiàn)；方法四對(duì)方法二稍微做了優(yōu)化，分類討論的思路也就更加清晰.作為大題第一問，往往都是常規(guī)考查，方法也會(huì)比較常規(guī)，考查函數(shù)單調(diào)性無非就是分析法、定義法或者求導(dǎo)函數(shù)法.

(2)方法一：由(1)可知，若f(x)存在極值，

則φ(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

因?yàn)棣?1)=0，所以當(dāng)t∈(0,1)時(shí)，φ(t)>0，h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)t∈(1,+∞)時(shí)，φ(t)<0，h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

評(píng)注：分離參數(shù)是求參數(shù)取值范圍的常見方法，整體分離很常見，換元也大大降低了運(yùn)算量.

2.2 調(diào)整方案，感受必要性探路的完美解答

G·波利亞在名著《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》中寫道：“當(dāng)我們最后得到的解答既長(zhǎng)又復(fù)雜時(shí)，我們很自然會(huì)懷疑是否還有某個(gè)比較簡(jiǎn)潔而少迂的解答：你能以不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？你能一眼就看出來嗎？然而即使我們已經(jīng)成功地找到了一個(gè)滿意的解答，我們?nèi)匀粫?huì)對(duì)找到另一種解答感興趣，正如我們希望通過兩種不同的途徑使我們確信一個(gè)理論結(jié)果的有效性.在有了一種證明后，我們還想找到另一種，就好像我們?cè)诳吹揭粋€(gè)物體以后，還希望觸摸它.”“沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的.總還有些事情可做，在經(jīng)過充分的研究和洞察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)，而且無論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解.”除了數(shù)學(xué)直觀解決問題，通過聯(lián)想、猜測(cè)和預(yù)判在求實(shí)數(shù)取值范圍問題中也顯得尤為重要，平時(shí)講題過程中培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”，在細(xì)微處見真知，在“數(shù)感”中見逆向思維的奇妙變化，引領(lǐng)學(xué)生的思維朝邏輯終點(diǎn)探索，所以必要性探路是解題思維的一個(gè)方向.

(2)方法二：由(1)可知，若f(x)存在極值，則a<0.

令t=x-1>0則g(t)=alnt+t2+at,

因?yàn)閒(x)≥0恒成立，當(dāng)x=2 時(shí)，f(2)=a+1≥0.必有a≥-1，即-1≤a<0.

充分性證明如下：

因?yàn)閘nt≤t-1 且a<0，所以alnt≥a(t-1)，

即g(t)=alnt+t2+at≥t2+2at-a，

此時(shí)Δ=4a(a+1)≤0，即-1≤a≤0,

所以當(dāng)-1≤a<0時(shí)，g(t)≥0成立，符合題意.

方法三：充分性證明如下：

因?yàn)閘nt≤t-1 ，則g(t)=-a(t-lnt-1)+t2+2at-a=-a(t-lnt-1)+(t+a)2-a(a+1)≥0，所以a的取值范圍為[-1,0).

方法四：充分性證明如下：

可知g′(-a)=-a-1<0,g′(1)=2a+2>0.

則有t0∈(-a,1]使得g′(t0)=0，

評(píng)注：必要性探路法，必要性很簡(jiǎn)單，證明充分性角度稍有不同，必要性探路是一種很重要的思想方法，讓必要性和充分性完美結(jié)合，完成充要的合理解答，但是需要強(qiáng)大的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和邏輯推理做支撐，難點(diǎn)在于如何確定取值.

2.3 算思結(jié)合，利用隱零點(diǎn)優(yōu)化解題思路和運(yùn)算方法

羅增儒教授說過：“解一道題忘一道題，或在同一思維層次上重復(fù)做好幾道題，并不能獲得解題能力的提高.注重解題過程的分析與改進(jìn)，就是力圖通過解‘有限道題’來獲取‘無限道題’的那種教學(xué)機(jī)智.”他還說：“信息交合就是抓住整體分解中提煉出來的本質(zhì)步驟，將信息單元轉(zhuǎn)換或重組成新的信息塊，這些新信息塊的有序化將刪去多余的思維回路，將用更一般的原理去集中現(xiàn)存的許多過程，將用一個(gè)簡(jiǎn)單的技巧去替代現(xiàn)有的常規(guī)步驟.于是，一個(gè)新的解法誕生了.”在解題中，設(shè)而不求也是一種解題策略，其優(yōu)點(diǎn)是將信息交合，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，解決核心問題，特別是利用導(dǎo)數(shù)求解過程中，隱零點(diǎn)法是解題的另一個(gè)方向.

解得-1≤a<0.

因?yàn)閔(2)=1-1=0，所以x0∈(1,2]，所以g(1)=a<0，g(2)=2a+2≥0,得a≥-1,解得-1≤a<0.

評(píng)注:由于方法四的啟示，方法五六不用必要性探路，利用隱零點(diǎn)也可以進(jìn)行處理，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算，方法七進(jìn)行了優(yōu)化處理，思路也更加明晰.

3.結(jié)束語