精準施策 破解與高等數學知識接軌的考題

福建 湯小梅 鄭金木

高等數學知識中的狄利克雷函數、黎曼函數、泰勒公式、歐拉線、高斯函數、托勒密定理、洛必達法則、不動點原理、特征函數、卡西尼卵形線等知識與高中數學知識接軌，在高考、各省市質檢題中常以小題的形式呈現，意在考查數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算核心素養．因此在復習備考中，有意識地加強這方面的訓練是很有必要的，這有利于培養學生的探究、創新精神，拓寬思維視野，提升核心素養．現聚焦2022年各省市的質檢題，欣賞與高等數學知識接軌的考題，旨在揭示此類考題的特點與解題策略，以期能為讀者提供幫助．

考向1 以“狄利克雷函數”為背景的函數題

A．f(x)的定義域為{0,1}

B．f(x)的值域為[0,1]

C．?x∈R，f(f(x))=0

D．任意一個非零有理數T，使得f(x+T)=f(x)在x∈R上恒成立

【點撥】利用狄利克雷函數的解析式，即可得其定義域與值域，從而可判斷選項A,B的正確性；分別討論x∈Q和x∈RQ，即可判斷選項C的正確性；利用周期函數的定義，即可判斷選項D的正確性．

當x∈Q時，f(f(x))=f(1)=1；當x∈RQ時，f(f(x))=f(0)=1，所以C錯誤；

對于任意一個非零有理數T，若x∈Q，則f(x)=1,且(x+T)∈Q，所以f(x+T)=1，所以f(x)=f(x+T)；若x∈RQ，則f(x)=0,且(x+T)∈RQ，則f(x+T)=0，所以f(x)=f(x+T).

綜上，任意一個非零有理數T，使得f(x+T)=f(x)在R上恒成立，故選D．

【策略點津】本題以“狄利克雷函數”為背景創設的函數的定義域、值域、周期性、含有量詞的命題的真假判斷等問題．破解本題的關鍵需“四會”：一會翻譯，即狄利克雷函數翻譯為分段函數，集合RQ翻譯為無理數集；二會用定義，即會利用函數的周期性的定義判斷函數的周期性；三會分段賦值，需注意從內向外層層求函數值；四會判斷，即會判斷含有量詞命題的真假：某條件下的所有x都滿足條件p，就可判定含有全稱量詞命題為真命題，否則為假命題．某條件下存在一個x滿足條件p，就可判定含有存在量詞的命題為真命題，否則為假命題．

考向2 以“黎曼函數”為背景的函數問題

【典例2】(2022·山東省濰坊市期中)波恩哈德·黎曼(1866.07.20-1926.09.17)是德國著名的數學家．他在數學分析、微分幾何方面作出過重要貢獻，開創了黎曼幾何，并給后來的廣義相對論提供了數學基礎．他提出了著名的黎曼函數，該函數f(x)的定義域為[0,1]，其解析式為：

下列關于黎曼函數的說法正確是( )

A．f(x)無最小值

C．f(x)=f(1-x)

D．f(ab)≥f(a)f(b)

【點撥】對黎曼函數的自變量進行分類，從而可求出其最值與判斷f(x)=f(1-x)的正確性；要判斷f(ab)≥f(a)f(b)的正確性，只需對a與b分類討論，求出f(a)，f(b)的值，即可得出結論．

對于C，①當x=0或x=1時，有f(0)=f(1)=0成立，滿足f(x)=f(1-x)，

②當x為(0,1)內的無理數時，1-x也為(0,1)內的無理數，所以f(x)=f(1-x)=0，滿足f(x)=f(1-x)，

對于D，①若a與b中至少一個為0或1或(0,1)中的無理數時，則f(a)f(b)=0，而f(ab)≥0恒成立，滿足f(ab)≥

f(a)f(b)，

【策略點津】本題以“黎曼函數”為背景創設的函數的性質的考題，考查了直觀想象、邏輯推理和數學運算核心素養．破解本題的關鍵是過好雙關：一是分類關，即會對自變量進行分類，從而得到函數的最值與函數值；二是轉化關，即會把所需判斷的等式與不等式轉化為求函數值，再判斷等式與不等式是否成立，并滲透函數單調性在解題中的應用．

考向3 以“泰勒公式”為背景的不等式問題

A．5 B．6 C．7 D．8

【策略點津】本題以高等數學的“泰勒公式”為背景考查階乘的運算、估算思想、公式的應用，意在考查數學抽象、邏輯推理和數學運算核心素養．求解此類題的突破口是理解泰勒公式中的各個元素的意義，讀懂題意，提煉出含參數的不等式，經過解不等式及估計思想，即可獲解．

考向4 以“歐拉線”為背景的直線方程問題

【典例4】(2022·江蘇省淮安市期末調研)萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(-1,0),B(3,0),C(0,2)，則△ABC的垂心坐標為，△ABC的歐拉線方程為．

【點撥】由AB邊上的高所在的直線方程與BC邊上的高所在的直線方程聯立可得△ABC的垂心，再求出△ABC的重心，根據歐拉線的定義，由垂心與重心可得△ABC的歐拉線方程．

【解析】由A(-1,0),B(3,0),C(0,2)，可知AB邊上的高所在的直線為x=0，

所以△ABC的歐拉線方程為5x+4y-6=0．

【策略點津】此類以“歐拉線”為背景的直線方程試題，意在考查邏輯推理、直觀想象和數學運算核心素養．破題關鍵：一是讀懂題意，并會應用符號語言進行轉化，如本題，明晰歐拉線的特征，三角形的“三心”(外心、重心、垂心)共線，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半；二是借形解題，在草稿紙上作出草圖，利用圖形的特征，可快速找到思維的突破口．

考向5 以“高斯函數”為背景的數列問題

【典例5】(2022·福州市高三期末質檢)函數y=[x]稱為高斯函數，[x]表示不超過x的最大整數，如[0.9]=0，[lg99]=1．已知數列{an}滿足a3=3，且an=n(an+1-an)，若bn=[lgan]，則數列{bn}的前2 022項和為．

當1≤n≤9時，0≤lgan<1時，bn=[lgan]=0；當10≤n≤99時，1≤lgan<2時，bn=1；

當100≤n≤999時，2≤lgan<3時，bn=2；當1 000≤n≤2 022時，3≤lgan<4時，bn=3；

所以數列{bn}的前2 022項和T2022=[lga1]+[lga2]+…+[lga2022]=90×1+900×2+1 023×3=4 959．

【策略點津】本題是以“取整函數(也叫高斯函數)”為背景創設的數列試題，意在考查數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學運算核心素養．體現綜合性與創新性．解題的關鍵是理解新定義的高斯函數的意義，通過取特值、列舉等方法去理解新定義的高斯函數，并能利用累乘法和函數的單調性、分組求和法以及分類討論的思想輕松獲得結果．

考向6 以“托勒密定理”為背景的解三角形問題

【典例6】(2022·廣東省深圳市高三一模)古希臘數學家托勒密于公元150年在他的名著《數學匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知AC，BD為圓的內接四邊形ABCD的兩條對角線，且sin∠ABD:sin∠ADB:sin∠BCD=2∶3∶4，若|AC|2=λ|BC|·|CD|，則實數λ的最小值為．

【點撥】由圓內接四邊形性質結合正弦定理可求出|AD|∶|AB|∶|BD|的比值，再利用托勒密定理，結合|AC|2=λ|BC|·|CD|，得λ所滿足的不等式，解不等式，得λ的最小值．

【解析】如圖，根據圓內接四邊形的性質可知，∠BAD+∠BCD=π,sin∠BAD=sin∠BCD，

因為sin∠ABD∶sin∠ADB∶sin∠BCD=2∶3∶4，

所以sin∠ABD∶sin∠ADB∶sin∠BAD=2∶3∶4，

在△BAD中，根據正弦定理得，

故|AD|∶|AB|∶|BD|=2∶3∶4，

由托勒密定理，得|AC|·|BD|=|AB|·|CD|+|AD|·|BC|，

則4|AC|=3|CD|+2|BC|，

所以16|AC|2=9|CD|2+4|BC|2+12|CD|·|BC|，

故16|AC|2=9|CD|2+4|BC|2+12|CD|·|BC|≥24|CD|·|BC|(當且僅當|CD|=|BC|時取等號)，

又|AC|2=λ|BC|·|CD|，

所以16λ|BC|·|CD|≥24|CD|·|BC|，

【策略點津】以“托勒密定理”為背景考查正弦定理、基本不等式應用問題，考查了直觀想象、邏輯推理和數學運算核心素養．破解本題的思維瓶頸：一是會用定理，既會利用托勒密定理的圖形語言與符號語言，又會利用正弦定理，把角的問題轉化為邊的問題；二是會用基本不等式，即會利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”在解題中的應用．

考向7 以“洛必達法則”為背景的函數的極限問題

【解析】由洛必達法則，得

【策略點津】以“洛必達法則”為背景求函數的極限問題，考查了邏輯推理和數學運算核心素養．破解此類題的關鍵是利用洛必達法則，把函數比值的極限轉化為導函數的比值的極限，從而將無法直接求解的極限轉化為可以求解的極限，注意復合函數求導法則的應用．

考向8 以“不動點原理”為背景的函數問題

【典例8】(2022·吉林省長春市農安縣期末)在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可以應用到有限維空間并構成了一般不動點定理的基石．布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾(L．E．J．Brouwer)，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續函數f(x)，如果存在一個點x0，使得f(x0)=x0，那么我們稱該函數為“不動點函數”，下列為“不動點函數”的是( )

A．f(x)=sinx+x

B．f(x)=x2-x-3

【點撥】根據“不動點函數”的定義，將判斷是否為“不動點函數”問題轉化為判斷方程f(x)=x是否有解問題．

【解析】對于選項A,令sinx+x=x，得sinx=0，解得x=kπ,k∈Z，故f(x)=sinx+x是“不動點函數”；

對于選項B,令x2-x-3=x，解得x=3或x=-1，所以f(x)=x2-x-3是“不動點函數”；

【策略點津】以“不動點原理”為背景的函數題，意在考查直觀想象、邏輯推理和數學運算核心素養．破解此類判斷“不動點函數”問題的突破口是細審題，讀懂新定義的“不動點函數”的含義，函數f(x)的“不動點”實質就是方程f(x)=x是否有解問題，也可以理解為函數f(x)的圖象與直線y=x是否存在交點．若方程f(x)=x有解，則說明f(x)為“不動點函數”，否則，說明f(x)不為“不動點函數”．

考向9 以“特征函數”為背景的函數問題

【典例9】(2022·江西省期末調研)若定義在R上的函數f(x)，其圖象是連續不斷的，且存在常數λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0對任意的實數x都成立，則稱f(x)是一個“λ～特征函數”．下列結論正確的是( )

A．f(x)=0是常數函數中唯一的“λ～特征函數”

B．f(x)=2x+1不是“λ～特征函數”

D．f(x)=ex是一個“λ～特征函數”

【解析】對于選項A，設f(x)=c是一個“λ～特征函數”，則(1+λ)c=0，當λ=-1時，c∈R，因此f(x)=0不是常數函數中唯一的“λ～特征函數”，故A不正確；

對于選項D，若f(x)=ex是一個“λ～特征函數”，則ex+λ+λex=0對任意實數x恒成立，即eλ+λ=0，令f(x)=ex,y=-x，如圖，由函數的圖象可知，兩圖象有一個交點，所以方程eλ+λ=0有解,故D正確,故選BCD．

【策略點津】本題以“特征函數”為背景考查函數的基本概念及其應用，以及函數的零點，意在考查直觀想象、邏輯推理和數學運算核心素養．破解此類特征函數問題的關鍵：一是讀懂題意，即明晰“λ～特征函數”的含義；二是會轉化，即把是否存在“λ～特征函數”進行轉化，如f(x)=ex是一個“λ～特征函數”轉化為存在常數λ(λ∈R)使得ex+λ+λex=0對任意實數x都成立，再轉化為eλ+λ=0有解．三是利用定理，利用零點存在性定理，即可順利破解是否存在零點問題．

考向10 以“卡西尼卵形線”為背景的解析幾何問題

【典例10】(2022·江蘇省淮安市期末調研)為紀念法國天文學家喬凡尼·多美尼科·卡西尼，數學史上，把平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線(Cassini Oval)．在平面直角坐標系內，曲線C是到兩個定點F1(-2,0)，F2(2,0)的距離之積為5的點的軌跡．以下結論正確有( )

A．C關于x軸對稱

B．C與y軸的交點為(0,±3)

D．C上存在點P，使得△PF1F2面積為3

【點撥】題眼“曲線C是到兩個定點F1(-2,0)，F2(2,0)的距離之積為5”，利用直譯法，即可求曲線C的軌跡方程，用-y代入所求的方程中的y，若C的方程不變，則說明曲線E關于x軸對稱，即可判斷選項A的正確性；令曲線C的方程中的x=0，求其縱坐標，即可判斷選項B的正確性；利用基本不等式可判斷選項C的正確性；利用任意三角形面積公式，結合三角函數性質，可得△PF1F2面積的最大值，從而可判斷選項D正確性．

令x=0，則4+y2=5，解得y=±1 ，C與y軸的交點為(0,±1)，B錯誤；

【策略點津】本題是以“卡西尼卵形線”為背景創設的曲線的方程、曲線的對稱性、最值與存在性問題，意在考查直觀想象、數學抽象、邏輯推理和數學運算核心素養．破題關鍵：一是會求曲線的軌跡方程，熟悉求曲線的軌跡方程的五種方法，如本題，用到了直譯法；二是能從“數”的角度進行判斷，即利用方程的特征，判斷曲線的對稱性；三是會利用基本不等式，求線段長的和的最值；四是利用三角形的面積公式求出三角形的面積，并會利用三角函數的有界性，求最值問題．