立足單元教學設計 培養糾錯思維品質

甘肅 張建文

單元教學是促使數學核心素養落地生根的重要手段，數學單元教學的設計要體現出整體關聯性、動態發展性和團隊合作性，而教學主題的選擇通常有知識類主題、方法類主題和素養類主題.其中方法類主題既有觀念層面的也有操作層面的，本文嘗試從培養學生良好學習習慣的角度來探索方法類主題的教學模式.主要從六個角度梳理學生常見的思維誤區，分析產生思維誤區的原因，糾正解答錯誤，并進行變式提升訓練或拓展延伸訓練，同時提供切實可行的教學建議.通過研究經典實例，將學生常見的思維誤區直觀化、具體化和可視化，經過探究錯解后面所隱含的思維誤區，糾正思維習慣，培養良好的思維品質，從而更好地強化“四基”，提高“四能”，促進學生理性地思考問題，使得學生會學習愛學習，從中享受到學習的快樂，進而達到培養數學核心素養的目的.

1.運算素養待提高，特殊位置難處理

數學運算是訓練考生邏輯推理的重要途徑，要求在熟悉運算對象的基礎上，根據數學對象的結構特點和形式特征，選擇恰當的方法進行變形化簡.運算的正確、有據、合理、簡潔是運算能力的主要特征.在實際運算過程中，要善于分析運算條件，多角度嘗試運算方向，選擇恰當的運算方法，設計合理而簡潔的運算程序等.在課堂教學過程中，要引導考生從單向思維到逆向思維和多向思維轉變，引導考生在觀察的基礎上“看”出運算思路.若運算能力不足，就會出現“會而不對，對而不全”的問題，或是在某個轉化位置上出現偏差.

(1)當3-a≤0即a≥3時，g(x)≤0，f′(x)≤0，所以f(x)在(0，+∞)上單調遞減.

正確解答：由于(1)的解答完全正確，所以只需要糾正(2)即可.

分析解答：由于解答前半部分與例1解題思路完全一致，所以從(2)開始：

2.直觀思維有欠缺，繪圖粗糙不到位

直觀想象作為六大核心素養之一，整合了空間想象、幾何直觀和空間觀念，是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段.在能力層面，要求考生能夠準確作圖進而利用數形結合思想解決數學問題，依托圖形理解數學本質.在實際教學中，教師要引導考生能夠“遇數想形，見形轉式”，幫助考生形成較好的數學直觀思想.若直觀思維欠缺，就會出現繪圖不規范、不準確，看圖有偏差，進而做題出錯，素養難以提升.

【例2】已知函數f(x)=|lgx|-kx-2，給出下列四個結論，其中正確的結論是( )

A.若k=0，則f(x)有兩個零點

B.?k<0，使得f(x)有一個零點

C.?k<0，使得f(x)有三個零點

D.?k>0，使得f(x)有三個零點

錯誤呈現：若?k<0，使得f(x)有一個零點，則存在的零點為x=1.

f(x)=|lgx|-kx-2的零點?方程|lgx|-kx-2=0的根?方程|lgx|=kx+2的根?函數y=|lgx|與y=kx+2圖象的交點，繪制y=|lgx|與y=kx+2(k<0)的圖象如圖，由圖可知，所以?k<0，使得兩函數圖象的交點為(1，0)，即f(x)有一個零點為x=1.故選B.

錯因分析：考生對函數圖象的認識不準確不到位，平時作圖太隨意，對函數圖象的變化快慢掌握不到位.在研究函數單調性的時候，能夠依圖說明問題，但是涉及兩條曲線的相對位置關系或函數變化快慢的時候，考生就容易出現錯誤.

所以?k<0，使得f(x)只有一個零點為x0，故選B.

拓展提升：探究直線y=kx+2在轉動過程中與曲線y=|lgx|的交點情況：

(1)直線y=kx+2過定點(0，2)，下面探究當直線斜率k變化對兩函數圖象交點的影響.

①探究y=kx+2與y=|lgx|相切的臨界狀態.

如圖，當y=kx+2與y=lgx(x>1)相切時：

又由于切線過點(0，2)，

所以在k變化的過程中有如下結論：

如圖，當k=0時，y=kx+2與y=|lgx|圖象有兩個交點，函數f(x)有兩個零點.

3.通性通法不熟練，以偏概全出偏差

通性通法主要是指具有某些規律性和普遍意義的常規解題模式和常用的數學思想方法.通性主要指數學概念所反應的數學基本性質，通法主要指數學概念所蘊含的數學思想方法.在教學中，教師要引導考生深入理解數學概念的本質，總結并掌握研究數學對象的一般性方法和思路.例如在最值求解過程中，通常是從函數視角去分析解答，而且研究函數的一般性思路是：定義域→圖象→性質，或是定義域→性質1→圖象→性質2.如果考生對研究對象的通性通法不熟練，就會出現以偏概全的錯誤.

【例3】下列表述正確的是( )

錯因分析：運算錯誤，在表達式變形的時候考慮不全面，缺少表達式變形的一般性思維，忽略運算規則的特殊要求，進而出現以偏概全，只考慮到x取值的一個側面，并沒有全面考慮問題.從中可以看出“四基”中的基本技能欠缺，缺乏函數思想.函數思想是解決最值問題或取值范圍問題的常用手段，從函數角度入手可以極大地簡化問題.在此錯例中，從考生思維角度來講，由于缺失解決問題的通性通法導致錯誤出現.

拓展提升：立足課標要求，從考生的能力發展角度設計探究活動.

據此可得f(x)在[0，+∞)上的圖象，再根據奇偶性，引導考生得到f(x)的整條圖象如圖，進而得到函數f(x)在R上的其他性質.

4.求解過程不合理，條件轉化不等價

數學問題的解答不但要求有明晰的思路，而且要求有規范且合乎邏輯的過程.合理的解答過程能夠體現出由條件到結論的流暢性與自然性，是對題目條件的等價化簡后所呈現出來的最簡潔的形式.在解題教學中，需要師生共同探究問題解決的基本思路，然后進行有理有據的過程書寫，最后對得出的結果進行驗證，如果必要可以對解答過程進行回顧總結.這個求解過程缺一不可，是形成考生良好問題解答思維習慣的必經之路，如若缺失，就會出現解答結果看似合理規范，但實際結果錯誤的情形.

即ω=1+2k，k∈N③，

由③④可得ω的最大值為11.

錯因分析：這題是三角函數中求參數范圍的經典實例，由①②推理得出③的過程中題目原始含義已經發生變化，其實①②是③的充分不必要條件，并不是等價條件，這樣導致得出的結論錯誤.所以在解題過程中一定要確保條件的轉化是等價的，若不等價一定要將所得結果進行驗證以滿足原始條件.

正確解答：由上可知，ω=1+2k，k∈N且ω≤12，即ω=1，3，5，7，9，11.

(1)當ω=11時，f(x)=sin(11x+φ)，下面驗證是否滿足零點和對稱軸要求.

(2)當ω=9時，f(x)=sin(9x+φ)，下面驗證是否滿足零點和對稱軸要求.

綜上可知，ω的最大值為9.

5.審題維度太單一，隱含關系看不出

數學審題就是在明確問題要求的基礎上，通過準確分析題目條件的含義，對條件進行等價化簡，尋找條件與問題要求的差距，并形成由條件轉化成問題答案的基本思路.審題的關鍵在于對題目條件的準確理解和合理轉化，多維度多層次分析題目條件所表現出來的顯性條件和隱性條件，挖掘變量之間的各種關系并進行恰當轉化.在教學過程中，數學審題要求學生眼到、手到、心到，需要考生多維度去思考解決問題的多種可能性，引導考生“看出”數學思路，并選擇最簡潔最高效的方法.如若審題出現問題，就會使得條件分析不全面而出現錯誤.

6.整體視角不寬廣，機械模仿出錯誤

數學知識的理解深度決定其應用的靈活度，對數學概念的深度理解就要理解知識的上下位關系、與其他知識的縱橫聯系、在數學知識結構中的作用與價值、知識產生的邏輯背景、知識所能解決的數學問題等等，要達到這樣的理解程度，就需要有整體觀念，從整體視角去看待知識的來龍去脈，理解整體與部分之間的邏輯關系.在教學過程中，教師要引導考生觀察表達式結構，深刻理解知識的本質，區分不同知識在表達和呈現形式上的異同.如若整體視角不夠寬廣，就會對知識的本質理解不到位，進而在知識的應用時出現機械模仿或答非所問的情況.

【例6】已知函數f(x)=ax2+bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范圍.

錯誤呈現：由于1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4所以1≤a-b≤2 ①；2≤a+b≤4 ②.

所以4≤4a-2b≤11，即f(-2)的取值范圍是[4，11].

錯因分析：在多次使用不等式的同向相加性質時，等號成立的條件可能不同，從而造成累計誤差，最終使得不等式的取值范圍擴大.從本質上講，考生對運算對象的結構特點和組成方式不太理解，觀察不夠細致，對不等式性質的使用規則機械仿照，更深層次地體現出學習方法的不科學和對數學知識本質把握的不準確.

正確解答：已知1≤a-b≤2，2≤a+b≤4，

令4a-2b=x(a-b)+y(a+b)=(x+y)a+(y-x)b，

即4a-2b=3(a-b)+(a+b)，3≤3(a-b)≤6，2≤a+b≤4，

所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10，

故而f(-2)的取值范圍是[5，10].

變式提升：已知-2≤x+y≤1且0≤2x-y≤3，求x-y的取值范圍.

解析：令x-y=m(x+y)+n(2x-y)=(m+2n)x+(m-n)y，