基于能力素養培育的命題實踐研究
——以“平面向量題命制的四種形式”為例

山東 劉目勇

解題和命題不僅僅是一個互逆的關系，更是一對相輔相成高效掌握數學核心知識的方法.教師的成長和學生核心素養的提高不能僅僅停留在解題的層次，而是需要換一種全新的角度，從命題的角度出發，洞察命題人的命題思路，解題就會事半功倍，對數學知識和方法的理解才會上升到一個比較高的層次.

在數學教學中，命題是一項重要而又艱難的工作，是一門技術，也是一門藝術.能夠命制合格的試題乃至優秀的試卷，體現了一個教師的專業水平.很多情況下，我們遇到的大量題目，尤其是難題，常常屬于會做，但卻不知它是如何命制的，如果能夠洞察命題人的想法，那么做起題來就能事半功倍.研究命題的角度和形式對于提升學生的數學核心素養起著至關重要的作用，所以在備考中教師要著力提升這一方面的研究.

命題的過程是一個反復琢磨的復雜過程，一道優秀的試題往往不是憑空捏造、從天而降，一般都會有題目的起源，可能是某種情境或某個核心概念，也可能是某道經典問題的拓展延伸.命題人通過“改編、類比、借鑒、原創”等多種形式找到題源，再利用“新舊結合”“移花接木”，甚至“推倒重建”等手段不斷修改完善，最終才能命制出高質量的試題.本文將以高考壓軸選擇或填空題經常眷顧的平面向量內容為例，呈現幾道試題反復研磨命制的過程，從四種常見形式來談談命題實踐中的一些具體做法.

一、源于平面幾何問題的改編

向量是數形結合的主陣地，很多向量問題都與平面幾何圖形有著千絲萬縷的聯系，只要學會了如何用向量語言描述幾何圖形，就能實現在代數向量與幾何圖形之間的自由切換.實際上，命題與解題恰好是一組互逆的操作，如果說我們在平時解題的過程中，習慣于通過翻譯向量條件畫出幾何圖形，那么命題的過程常常就是將幾何圖形用向量語言予以刻畫.

【案例1】如圖，在邊長為1的正△ABC的邊AB,AC上分別取D,E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，則線段AD的最小值為________.

第1次命制：初步向量化

第2次命制：向量代數化

則點A在射線BA上運動,問題轉化為求|OD|=λ的最小值，其中0<λ<1.

在△ABD中，|AD|=|OD|=λ,|BD|=1-λ,

當且僅當sinθ=1,即AD⊥AB時取得最小值.

第3次命制：條件的等價代換

第4次命制：改變題型

A.有最小值，但無最大值

B.有最小值，也有最大值

C.無最小值，但有最大值

D.既無最小值，又無最大值

分析：作圖后容易發現，當點A自點B向右移動時，點D也隨之而動，顯然當OA⊥OB時，CD∥OB，即λ→+∞，所以λ無最大值，但有最小值.這里，學生也可能會誤以為當點A趨近于點B時，λ→0.5，選擇題的題型存在誤判風險.

二、源于核心考點的包裝

【案例2】命題目標：借助極化恒等式解決的數量積問題.

第1步：如圖，作長度為m的線段AB，并取中點D；

因為E點恰好為線段AB的四等分點(靠近點B)，

即(a-b)·(a+3b)=0.

第1次命制：為運算簡便，令m=4

已知平面向量a,b滿足|a-b|=4，(a-b)·(a+3b)=0，則a·b的最小值為________.

第2次命制：已知平面向量a,b滿足|a-b|=4，a2-a·b=12，則a·b的最小值為________.

第3次命制：已知平面向量a,b滿足|a-b|=4，a2-b2=8，則a·b的最小值為________.

點評：3次命制的試題異曲同工，都是源自于刻畫垂線所得，如果教師或學生沒有一定的經驗，是很難想到它的源頭的，解決問題時效率就會大打折扣甚至無法進行下去.命題和解題是一對 “冤家”，看不出源頭也可以采取其他解決的辦法，可以選擇建立平面直角坐標系,設點解析化來解讀條件，以a2-b2=8為例說明如下：

以AB的中點D為坐標原點，建立平面直角坐標系，設A(-2,0),B(2,0),O(x,y)，則可得方程(x+2)2+y2-(x-2)2-y2=8，即x=1，由此確定點O在垂線l上運動.

建系設點是一種很好且常用的解題手段，但很難想象通過建系設點能命制出這一類型的平面向量題目，只會建系的人只是一個普通的解題者，真正懂向量語言的人才可能成為命題人.對于學生來說，學習平面向量的真正目的應該是掌握這一功能強大的語言，并可以熟練應用，這正是數學學習的真正能力及素養所在.

三、源于其他知識的類比

向量是一種具備豐富運算規律的運算對象，它與實數多項式的運算有許多異曲同工之處，所以將實數多項式的問題，改編成向量問題是一種比較常見的類比改編.

【案例3】設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

命題思路：這個題目的解法多樣且常見，如果將所有的實數x,y都改為向量a,b，會是一個什么樣的局面呢？

第1次命制：已知平面向量a,b滿足4a2+b2+a·b=1，則|2a+b|的最大值等于________.

因為4a2+b2≥4|a||b|≥4a·b，

第2次命制：已知平面向量a,b滿足4a2+b2+a·b=1，則|a+2b|的最大值等于________.

解：設a與b的夾角為θ，

當t=0時，|a+2b|2≤4，當t≠0時,

綜上，當且僅當t=0，cosθ=1時，即a=0且|b|=1時，|a+2b|的最大值等于2.

四、源于圖形情境的構造

過圓心C作CE⊥AB于點E,

五、結束語