一類具有未知冪次的高階不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制

劉玉發(fā) 劉勇華 蘇春翌 魯仁全

在工業(yè)生產(chǎn)和社會生活中,存在著大量的復(fù)雜系統(tǒng),如非線性耦合機(jī)械系統(tǒng)[1]、超臨界機(jī)組[2]等.這些復(fù)雜系統(tǒng)線性化時通常包含了不可控模態(tài),給其控制器設(shè)計(jì)與分析帶來了挑戰(zhàn).在過去十幾年里,這類稱之為高階非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題吸引了很多研究者的關(guān)注.Lin 等在文獻(xiàn)[3-4]中提出了一種新的構(gòu)造性設(shè)計(jì)框架-增加冪次積分法,有效解決了高階非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定與實(shí)際跟蹤問題.借助于這一方法,文獻(xiàn)[5-19]研究了不同條件下高階不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題,取得了一系列研究成果.值得指出的是,上述絕大多數(shù)研究結(jié)果都要求系統(tǒng)的冪次信息完全已知.然而,在一些實(shí)際應(yīng)用中,由于控制系統(tǒng)本身與周圍環(huán)境存在著各種不確定因素,使得系統(tǒng)的冪次信息可能無法精確獲取.因此,進(jìn)一步探討具有未知冪次的高階非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)是很有意義并值得研究的問題.

針對具有未知冪次的高階非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[20-21]采用改進(jìn)的增加冪次積分法,分別給出了狀態(tài)反饋和輸出反饋控制算法.然而,這些算法沒有考慮系統(tǒng)函數(shù)的不確定性,且需要假設(shè)系統(tǒng)的冪次上界信息已知.文獻(xiàn)[22]結(jié)合增加冪次積分技術(shù)和自適應(yīng)控制方法,解決了具有未知冪次和不確定參數(shù)的高階非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題.最近,針對一類具有未知時變冪次的高階非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[23]利用障礙李雅普諾夫方法給出了滿足全狀態(tài)約束條件的自適應(yīng)控制方案.但文獻(xiàn)[22-23]所提控制方案仍然要求系統(tǒng)冪次的上界已知.為去除這一假設(shè)條件,文獻(xiàn)[24]采用增加冪次積分技術(shù)和邏輯切換方法,設(shè)計(jì)了一種全局切換自適應(yīng)鎮(zhèn)定方案.該方案的不足在于切換控制信號是非光滑的,可能會引起抖振問題,從而激發(fā)系統(tǒng)中的高頻未建模動態(tài).為此,文獻(xiàn)[25]利用動態(tài)增益法,提出了一種光滑自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器,但這種控制器僅適用于相對階為2 的非線性系統(tǒng).

基于以上討論,本文研究了一類具有未知冪次的高階不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制問題.結(jié)合積分反推技術(shù)和障礙李雅普諾夫函數(shù),提出了一種新穎的自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制策略.本文所得到的控制策略具有如下優(yōu)點(diǎn):1)采用對數(shù)型障礙李雅普諾夫函數(shù)[26-27]解決了系統(tǒng)冪次未知與模型不確定帶來的技術(shù)難題;2)所提出的自適應(yīng)控制策略中沒有包含虛擬控制律的導(dǎo)數(shù)信息,避免了積分反推法中的“計(jì)算膨脹”問題;3)所設(shè)計(jì)控制器能夠確保閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號一致有界.最后,仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文理論結(jié)果的有效性.

本文采用如下符號:R,R≥0,R＞0分別表示實(shí)數(shù)、非負(fù)實(shí)數(shù)和正實(shí)數(shù)集合.Rn表示n維實(shí)向量集合. sign(s)表示變量s的符號函數(shù).對任意正常數(shù)q,定義[s]q=sign(s)|s|q.表示分子和分母都是正奇整數(shù)的所有有理數(shù)的集合.

1 問題描述與預(yù)備知識

1.1 問題描述

考慮如下高階不確定非線性系統(tǒng)

其中,x=[x1,···,xn]T∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量,初始值x(0)=[x1(0),···,xn(0)]T,=[x1,···,xi]T∈Ri,i=1,···,n;u∈R 和y∈R 分別是控制輸入和系統(tǒng)輸出;pi∈,i=1,···,n是系統(tǒng)(1)的未知冪次.系統(tǒng)函數(shù)fi,gi:R≥0×Rn×R→R,i=1,···,n在t上分段連續(xù),且關(guān)于x和u滿足局部Lipschitz 條件.本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器u,使得系統(tǒng)輸出y跟蹤期望軌跡yr,同時確保閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號皆有界.

注 1.不同于文獻(xiàn)[20-25]中的研究結(jié)果,本文中系統(tǒng)冪次無需滿足p1≥p2≥···≥pn.

假設(shè) 1.存在未知的連續(xù)函數(shù):Ri→R≥0,:Ri→R＞0和:Ri→R＞0,滿足

其中,i=1,···,n,l=1,···,ji,ji為有限正整數(shù),qil為滿足 0≤qi1＜qi2＜···＜qiji＜pi的正常數(shù).

注 2.假設(shè)1 表明了本文所提控制算法無需知曉系統(tǒng)函數(shù)gi(t,x,u),fi(t,x,u)及相應(yīng)的界函數(shù)的解析表達(dá)式.

假設(shè) 2.期望軌跡yr為連續(xù)可微函數(shù),且存在未知正常數(shù)Br,滿足

1.2 預(yù)備知識

引理 1[28].考慮初值問題

其中,hr:R≥0×Ξr→RN在t上分段連續(xù),且關(guān)于ηr滿足局部Lipschitz 條件,Ξr?RN為非空開子集.ηr(t)是初值問題(5)在最大存在區(qū)間上的解,＜+∞.設(shè)是 Ξr的緊子集,則存在ts∈,使得ηr(ts).

引理 2[29].對任意a∈R,b∈R,m∈R＞0,n∈R＞0和函數(shù)ρ(a,b)＞0,下列不等式成立

引理 3[29-30].對任意p≥1,a∈R,b∈R,下列不等式成立

其中,cp=2p-2+2.

引理 4[31].對任意δ∈R＞0和ξ∈R,下列不等式成立

引理 5[32].對滿足 0≤d＜c的c∈R 和d∈R,下列不等式成立

2 自適應(yīng)跟蹤控制策略

本節(jié)設(shè)計(jì)了一種基于障礙李雅普諾夫函數(shù)的自適應(yīng)跟蹤控制器,并給出了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明.

2.1 自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

定義如下誤差坐標(biāo)變換

其中,αi-1是第i－1 步的虛擬控制律.

步驟i(i=1,···,n-1).選取正常數(shù)μi滿足μi＞|zi(0)|,設(shè)計(jì)第i步虛擬控制律和自適應(yīng)律為

步驟n.選取正常數(shù)μn滿足μn＞|zn(0)|,設(shè)計(jì)實(shí)際控制律和自適應(yīng)律為

上述自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)過程如圖1 所示.

圖1 具有未知冪次的控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of the control system with unknown powers

注 3.如式(14)～(17)所示,本文提出的自適應(yīng)反推控制策略不依賴于系統(tǒng)冪次pi及其上界信息,且無需知曉系統(tǒng)函數(shù)fi(t,x,u),gi(t,x,u)及相應(yīng)的界函數(shù)的解析表達(dá)式.同時,該控制策略未包含虛擬控制律αi的導(dǎo)數(shù),消除了積分反推法中“計(jì)算膨脹”問題.

2.2 穩(wěn)定性分析

在給出閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析之前,先引入如下命題.

其中,

從而,有

本文主要結(jié)論可總結(jié)為如下定理.

定理 1.對滿足假設(shè)1 和假設(shè)2 的高階不確定非線性系統(tǒng)(1),在任意初始條件x(0)下,控制器(16)以及自適應(yīng)律(15)和(17)保證了閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號一致有界,并且輸出跟蹤誤差可以收斂到殘差為任意小的殘差集.

證明.本證明共分為3 部分.首先,證明由系統(tǒng)(1),控制器(16),自適應(yīng)律(15)和(17)組成的閉環(huán)系統(tǒng)在最大存在區(qū)間 [0,tf)上存在唯一解η(t)=.然后,采用反證法證明tf=+∞.最后,實(shí)現(xiàn)本文控制目標(biāo).

Part 1.根據(jù)式(14)和式(16),虛擬控制律α1,···,αn-1,實(shí)際控制律u以及系統(tǒng)狀態(tài)x1,···,xn可寫為

因此,由式(1)和式(14)～ (17)組成的閉環(huán)系統(tǒng)可改寫為

定義開集

由于μi＞|zi(0)|,i=1,···,n,可知η(0)=[z1(0),···,zn(0),]T∈Ξ.同時,由于期望參考信號yr及其導(dǎo)數(shù)有界,函數(shù)fi,gi,i=1,···,n在t上分段連續(xù),且關(guān)于x和u滿足局部Lipschitz條件,可推得φi:R≥0×Ξ→R 在t上分段連續(xù),且關(guān)于x和u滿足局部Lipschitz 條件.根據(jù)微分方程解的存在唯一性定理[33],對任意初始條件η(0),閉環(huán)系統(tǒng)(29)～(32)在最大存在區(qū)間 [0,tf)上存在唯一解η=[z1,···,zn,]T∈Ξ,即,對?t∈[0,tf),|zi|＜μi,i=1,···,n.

Part 2.本部分采用反證法證明tf=+∞.為此,不妨假設(shè)tf＜+∞.

考慮如下障礙李雅普諾夫函數(shù)[26]:

步驟i(i=1,···,n-1).Vi的導(dǎo)數(shù)為

其中,α0=yr.

根據(jù)假設(shè)1 和引理2,下列不等式成立

其中,

將式(35)代入式(34),可得

根據(jù)命題1,可得

情形1.當(dāng)pi=1 時.由Part 1 可得:|zi+1|＜μi+1,?t∈[0,tf),因而

情形2.當(dāng)pi＞1 時.由引理2 和引理3 以及|zi+1|＜μi+1,?t∈[0,tf),可得

其中,

將式(40)代入式(37)中,并結(jié)合命題1,易得

其中,ωil和νim為未知正常數(shù).

將式(42)和式(43)代入式(41)中,有

通過式(14)和式(15),并結(jié)合引理3,可得

根據(jù)引理2 和引理4,式(45)中的項(xiàng)σiωil?i|ξi|放縮為

其中,

由式(45)和式(46),可得

依據(jù)引理2 和引理5,以及Young 不等式,則有

其中,

由式(48)～(50),可得

因此,對?t∈[0,tf)中,有

從式(52)和式(53),可得

進(jìn)而可推出,對?t∈[0,tf),αi和xi+1有界.接著,對αi和ξi分別求導(dǎo),可得

步驟n.求Vn的導(dǎo)數(shù),可得

類似于式(35)的推導(dǎo)過程,利用假設(shè)1 和引理2,可得

其中,

由式(59)以及命題1,可推得

其中,ωnl和νnm為未知正常數(shù).

利用式(61)和式(62),有

根據(jù)式(16)和式(17)以及命題1 和引理3,可得

依據(jù)引理2 和引理4,式(64)中的項(xiàng)σnωnl?n|ξn|放縮為

其中,

將式(65)代入式(64)中,得到

根據(jù)引理2 和引理5,以及Young 不等式,可得

其中,

根據(jù)式(67)～(69),可得

因此,對?t∈[0,tf),有

由式(71)和式(72),可得

故可推出,對?t∈[0,tf),u有界.

由步驟 1～n可知,存在緊子集,使得閉環(huán)系統(tǒng)在 [0,tf)上存在唯一解η(t)∈Ξ′.根據(jù)引理1,可得:tf=+∞,即,對?t∈[0,+∞),|zi|＜μi,i=1,···,n.

Part 3.重復(fù)Part 2 中的步驟1～n,可得x1,···,xn,α1,···,αn-1和u均有界,?t∈[0,+∞).另外,從式(54)可知,通過減小μ1和?1可將輸出跟蹤誤差z1收斂到任意小的殘差集. □

注 4.不同于文獻(xiàn)[20-25]中提出的控制方案,本文采用積分反推技術(shù)和障礙李雅普諾夫方法解決了高階非線性系統(tǒng)中冪次未知和系統(tǒng)函數(shù)不確定的問題,且所設(shè)計(jì)控制策略不依賴于未知冪次的上界信息.

3 仿真算例

為了驗(yàn)證本文所提控制算法的有效性與通用性,考慮如下兩個高階非線性系統(tǒng)

在仿真中,系統(tǒng) Σi和自適應(yīng)參數(shù)的初始值設(shè)置為 [x1(0),x2(0)]T=[－0.5,0.4]T,=0,i=1,2.控制器參數(shù)k1=2,k2=1,μ1=4,μ2=2,σ1=3,σ2=2,γ1=2,γ2=3,δ1=δ2=0.01 和λ1=λ2=0.002,其中,μ1=4＞|z1(0)|=0.5,μ2=2＞|z2(0)|=106/315.系統(tǒng) Σ1和 Σ2的仿真結(jié)果如圖2～4 所示.圖2 刻畫了輸出跟蹤誤差y－yr的變化情況,圖3 給出系統(tǒng)的控制信號u,圖4 描述了自適應(yīng)參數(shù).從仿真結(jié)果可以看出,本文所提自適應(yīng)控制策略既能使系統(tǒng) Σ1和 Σ2的輸出跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)附近的較小鄰域內(nèi),又能確保閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號有界.

圖2 系統(tǒng) Σ1 和 Σ2 的輸出跟蹤誤差y-yrFig.2 Output tracking errors y-yr of systems Σ1 andΣ2

圖3 系統(tǒng) Σ1 和 Σ2 的控制信號uFig.3 Control signals u of systems Σ1 andΣ2

圖4 系統(tǒng) Σ1 和 Σ2 的自適應(yīng)參數(shù)Fig.4 Adaptive parameters of systems Σ1 andΣ2

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文控制算法的冪次無關(guān)特性,在系統(tǒng)初始值與控制器參數(shù)不變的條件下,對具有不同冪次p1和p2的系統(tǒng) Σ1進(jìn)行仿真測試.仿真結(jié)果如圖5 和圖6 所示.圖5 為系統(tǒng) Σ1在不同冪次p1和p2條件下的輸出跟蹤誤差y－yr,圖6 為相應(yīng)的控制信號u.仿真結(jié)果表明,在不同冪次條件下,該控制器仍然可以保證閉環(huán)系統(tǒng)獲得良好的控制性能.

圖5 系統(tǒng) Σ1 在不同冪次下的跟蹤誤差y-yrFig.5 Output tracking errors y-yr of system Σ1 under various powers

圖6 系統(tǒng) Σ1 在不同冪次下的控制信號uFig.6 Control signals u of system Σ1 under various powers

4 結(jié)束語

針對一類具有未知冪次的高階不確定非線性系統(tǒng),提出了一種基于障礙李雅普諾夫函數(shù)的自適應(yīng)控制算法.在無需知曉系統(tǒng)函數(shù)先驗(yàn)知識的條件下,所提控制算法有效克服了系統(tǒng)冪次未知與模型不確定帶來的技術(shù)挑戰(zhàn).該算法的顯著特點(diǎn)是所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器均與系統(tǒng)冪次無關(guān).最后,仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文控制算法的有效性與通用性.

今后的研究方向包括將本文所提方法推廣到具有未知冪次的高階非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制設(shè)計(jì)[34].此外,為驗(yàn)證本文方法的實(shí)用性,將本文所提控制策略應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)[35]亦是我們未來研究的目標(biāo).