基于考慮氣溫影響的門限自回歸移動平均模型居民日用電負荷預測

孫玉芹，王亞文，朱威，李彥

(上海電力大學數理學院，上海市 200090)

0 引 言

電力負荷預測是電力公司進行能源管理的關鍵。作為電力領域研究的重要問題，電力負荷預測既能為電力系統的安全運行提供保障，又可以為制定供電計劃提供有效的理論支持[1]。所以，具有較高預測精度的負荷預測方法，是理論研究的重點。由于電力負荷往往會受到多種因素的影響，電力負荷常表現為非線性、非平穩和周期性[2-3]，導致其精確預測的難度也隨之提高。

目前，常用的短期電力負荷預測的方法主要有：統計學方法[4-10]、傳統機器學習方法[11-16]和深度學習方法[17-20]。其中，統計學方法分為兩類，一類是時間序列建模方法。文獻[4]針對電力負荷序列的波動性，使用區間時間序列向量自回歸模型提高了負荷預測精度。文獻[5]結合Java的多線程技術，基于自回歸差分移動平均(autoregressive integrated moving average，ARIMA)模型實現了R語言在電力負荷預測中的高效并行運算。文獻[6]考慮溫度對夏季電力負荷的影響，利用帶有協變量的ARIMA模型提高了負荷的預測精度。文獻[7]首次采用自激門限自回歸(self-excitation threshold autoregressive，SETAR)模型對日負荷進行預測，解釋了負荷序列的非線性特征。雖然上述方法相對簡單易行、計算速度較快，但是只將氣溫和負荷非線性特性兩個因素中的一種作為研究內容。另一類是以時間序列模型為基礎的組合模型方法。文獻[8]構建了季節自回歸差分移動平均、廣義回歸神經網絡和支持向量機三者結合的組合模型；文獻[9]提出了ARIMA和在線循環神經網絡的組合模型；文獻[10]采用集合經驗模式分解的方法，并結合長短期記憶網絡和ARIMA模型對負荷進行短期預測。這些文獻使用的方法與單一模型相比，在負荷預測精度上提高不少，但模型機理和內置參數復雜，對硬件配置要求較高，需要大量的數據訓練模型才能發揮機器學習的優勢，在小容量數據下的預測效果較差；當處理不同的數據時，通常需要反復地調整超參數，建模所需時間成本較高[21]。

本文在考慮氣溫對負荷影響的同時，兼顧負荷的非線性特征，利用氣溫與居民用電負荷的關系，以氣溫突變點為門限，將居民用電負荷時間序列分為兩段，每段為一個機制。根據負荷時間序列的非線性特征，建立以氣溫為協變量的門限自回歸移動平均(threshold autoregressive moving average with exogenous variable，TARMAX)模型。利用氣象預報30天的氣溫預報功能，對不同氣溫影響下的浙江省西南某地級市居民日用電負荷進行預測。實例結果表明：該方法在居民用電負荷預測方面表現更優。

1 居民用電負荷的非線性特征

1.1 氣溫與居民用電負荷的相關性分析

許多研究表明：影響居民用電負荷的主要因素有各種氣象因素、節假日、重大事件等，其中氣溫的影響最大[22-23]。隨著生活水平的提高，用戶對生活舒適度的追求也相應提高，在溫度較高或較低時，都采用風扇、空調或取暖設備等保持適宜的溫度環境。特別是在極端氣溫情況下，長時間且大量地使用設備更容易增大負荷的峰谷差，影響全網的供電質量。而且居民用電負荷和氣溫的時間序列都具有非線性特征，如圖1所示，給負荷分析和預測造成不便。

圖1 某居民用電負荷與最高氣溫的時間序列圖

通常采集到的氣溫數據有最高氣溫、最低氣溫和平均氣溫，三者與負荷的相關度大小由相關系數判斷。

Pearson相關系數計算如式(1)所示：

(1)

以浙江省西南某地級市2017年8月份氣溫與負荷數據為例，表1給出了氣溫與居民用電負荷的Pearson相關系數。通過分析表明：最高氣溫對居民用電負荷的影響最大，故將最高氣溫作為負荷協變量的最佳選擇。

表1 氣溫與居民用電負荷的相關度

1.2 居民用電負荷的門限效應

圖2為浙江省西南某地級市2017年居民用電負荷和日最高氣溫的散點圖。最高氣溫存在“拐點”，又稱為突變點，將負荷序列分為兩個集群。若以該突變點為門限，門限左側的負荷序列與最高氣溫表現為負相關，右側表現為正相關。

圖2 居民日用電負荷-日最高氣溫散點圖

如圖3所示，大于30 ℃側和小于30 ℃側的負荷數據點均不連續，所以不能分別對兩個負荷群建立時間序列模型。針對此類負荷時間序列，本文建立以氣溫為協變量、氣溫突變點為門限的雙體制TARMAX模型。基于TARMAX模型，從整體負荷序列出發，通過比較日最高氣溫與氣溫突變點的大小，居民負荷時間序列被分配到2個機制中。

圖3 兩側負荷序列圖

2 TARMAX負荷預測模型

給定電力負荷時間序列，TARMAX模型[24]結構如下：

(2)

基于TARMAX模型的負荷預測流程如圖4所示，隨機搜索變量算法得到的最優模型結構中只包含影響顯著的滯后項。

圖4 負荷預測流程圖

2.1 氣溫突變點搜尋

利用以貝葉斯定理為核心的馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo，MCMC)算法搜尋氣溫突變點，需要求得氣溫突變點的條件后驗分布。

2.1.1 氣溫突變點的條件后驗分布

模型式(2)似然函數的矩陣形式近似如下所示：

(3)

式中：n1、n2分別是兩個機制中負荷序列的數量；Θk是系數的列向量；Yk是第k個機制中負荷的列向量；Xk是由往期負荷時間序列構成的矩陣。

根據模型參數的先驗信息[24]，參數的條件后驗分布如式(4)—(7)所示。

參數1：服從多元正態分布：

(4)

參數2：服從逆伽馬分布：

(5)

參數3：氣溫突變點的條件后驗分布是非標準分布，近似形式如下：

(6)

參數4：d的條件后驗概率函數如下：

(7)

式中：d0是d的超參數。

2.1.2 氣溫突變點采樣

基于條件后驗分布的MCMC采樣步驟如下：

f=min{1,p(r*)/p[r(m-1)]}

(8)

步驟4：記錄每次的迭代值，再重復步驟2—3。

2.2 負荷預測模型的確立

負荷模型的結構取決于時間序列模型的滯后項。本文應用隨機搜索變量方法[25]選擇影響顯著的模型系數，以確定模型結構，避免了從龐大的模型群(數量級為107)中篩選最佳模型的困擾。

對于每個可能影響顯著的系數，存在與否分別以取值1或0的潛變量s表示，其概率滿足：P(s=1)=P(s=0)=0.5。此時，模型系數(以自回歸系數為例)的先驗分布如下：

φ|s～(1-s)N(0,τ2)+sN(0,c2τ2)

(9)

式中：τ和c是超參數。

潛變量的條件后驗分布具有伯努利分布形式，s=1的條件概率為：

(10)

式中：聯合概率A=p(φ|s=1)P；Ψ是未知參數的集合；下標-s代表不包括s；聯合概率B=p(φ|s=0)(1-P)；P=0.5；p是模型系數在s取不同值時的條件概率。

2.3 預測評價標準

本文選取平均絕對百分比誤差(mean absolute percentage error, MAPE)、均方根誤差(root mean squared error, RMSE)、平均絕對誤差(mean absolute error,MAE)、平均百分比誤差(mean percentage error，MPE)和平均誤差(mean error, ME)判斷模型的預測效果，部分誤差的計算式分別為：

(11)

(12)

(13)

3 算例分析

3.1 數據來源及預處理

實驗選取浙江省西南某地級市2017年5月1日到2020年3月31日的居民日平均用電負荷數據。數據取自然對數，使用遞歸時間窗口預測。為了驗證模型在不同氣溫下的有效性，將2017年5月1日到預測月份前一日的數據作為訓練集，分別對2019年6月、9月、12月以及2020年3月等4個不同季節的居民用電負荷進行預測。

3.2 超參數的設置

Vk取值為對角矩陣diag(0.1,0.1,0.1)；門限的超參數可以根據負荷-溫度散點圖確定，圖2中氣溫的突變點在30 ℃左右，故先驗分布U(a,b)中的a與b分別取氣溫的20%和80%分位數；αk=1，βk=0.5；d0取為4；用于模型選擇的超參數的取值應滿足：(τ,c)=(σ/4,20)，其中，σ是系數φ的標準差；將不同階數的模型殘差帶入赤池信息準則(akaike information criterion, AIC)中，當 AIC最小時，模型最大的滯后階數取5。整個MCMC過程執行5 000次，將前1 000次作為燃燒期，為了降低初始值的影響，獲得近似獨立的樣本，本文在剩余樣本中每隔10個抽取一個用于統計計算，將樣本的均值作為參數的估計值。

3.3 模型確立結果

如圖5所示，氣溫突變點(取對數)的采樣值集中在3.45附近，累計均值表明樣本最終收斂。該采樣值對應的實際氣溫為31.5 ℃，與預期的氣溫突變點相近。

圖5 氣溫突變點的采樣結果

在上述氣溫突變點的基礎上，對模型系數進行選擇。如圖6所示，以每個系數的潛變量的后驗概率大于0.5作為系數選擇的標準[25]，模型的形式最終確定為：

圖6 負荷預測模型的選擇結果

(14)

3.4 預測結果分析與對比

圖7為不同模型對2019年6月居民用電負荷的預測負荷曲線。從圖7中可以看出，TARMAX模型的預測值(紅色折線)接近負荷的真實值(黑色折線)，預測效果較好；同時，TARMAX模型在峰谷處的預測具有一定優勢。而帶協變量的自回歸移動平均(autoregressive moving average with exogenous variable, ARIMAX)和ARIMA模型的負荷曲線表現為：以真實負荷曲線為中心上下變化，且變化幅度較大。

圖7 2019年6月居民用電負荷預測結果

表2給出了不同模型的預測誤差結果。其中，TARMAX模型的MAPE值為4.167%，與ARIMAX模型相比提高了3.762%；RMSE值為6.833%，相比ARIMAX模型降低了3.753%。表明TARMAX模型的預測精度高于線性時間序列模型。同時，TARMAX模型在小數據量下的預測效果明顯優于LSTM和MLP。

表2 2019.6居民用電負荷預測精度

3.5 不同季節負荷預測效果對比

為了進一步驗證所提方法的有效性，本文對浙江省西南某地級市2019年9月和12月、2020年3月的居民用電負荷進行預測。不同模型的預測結果如圖8至10所示，相比其他模型，TARMAX模型的預測精度更高，且在不同季節的預測表現都較平穩。

圖8 2019年9月居民用電負荷預測結果

圖9 2019年12月居民用電負荷預測結果

圖10 2020年3月居民用電負荷預測結果

表3給出了不同月份的預測誤差指標的對比結果。從表3可以看出：TARMAX模型的誤差均低于其他模型，MAPE的值基本為ARIMAX模型的一半，相比之下RMSE和其他誤差指標也較低；雖然ARIMAX模型的預測誤差略低于ARIMA模型，但該模型未考慮非線性因素，所以預測效果略差。總體來說，TARMAX模型在居民用電負荷預測方面效果更優，該模型對不同季節氣溫影響下的居民用電負荷均有良好的適應能力。

表3 不同月份居民用電負荷預測精度

根據文中1.1節所述，平均氣溫與負荷的相關系數略小于最高氣溫的相關系數，為了驗證平均氣溫對居民用電負荷的影響大小，表4給出了以平均氣溫為協變量的TARMAX模型的預測結果。通過與以最高氣溫為協變量的預測結果相比可以看出：兩者的預測誤差較為接近，表明平均氣溫對負荷也有重要的影響。

表4 以平均氣溫為協變量的預測精度

圖11為2014年1月到2016年8月浙江省西南某地級市和北京市的月用電負荷-月平均最高氣溫散點圖，月負荷數據由一個月中每日平均負荷數據累加得到。可以看出：北京地區的負荷也存在門限效應，與浙江地區相比，由于地域因素，其門限值小于浙江地區的門限值。所以本文所提方法在北方地區同樣適用。

圖11 不同地區負荷-氣溫散點圖

4 結 論

本文充分利用氣溫與居民用電負荷之間的關系，發現了居民用電負荷時間序列的門限效應。針對此類非線性特征，以氣溫為協變量、氣溫突變點為門限，建立了非線性TARMAX模型。所建模型克服了傳統線性時間序列模型對非線性時間序列擬合的困境；同時，加入了外源因素——氣溫，進一步提高了預測精度。文中應用MCMC算法搜尋到了氣溫突變點，反映了居民用電負荷的非線性特征。其次，根據隨機搜索變量方法高效地選擇出模型系數，提高了算法的實際應用價值。通過實例對不同季節下的居民用電負荷進行了預測。結果表明：TARMAX預測效果優于傳統線性時間序列模型、LSTM和MLP，驗證了該方法在負荷預測方面的有效性，且能適應氣溫較大幅度變化。

本文所用算法可以與機器學習、深度學習相結合，構成新的組合模型來進一步提高負荷預測精度；由于在協變量的選擇上考慮了氣溫因素，因此，預測的效果會受到天氣預報準確度的影響；同時，在今后的研究中，可以考慮多重氣象因素對電力負荷的影響。