基于分數布朗運動的亞式期權模糊定價研究

于 濤，韋才敏，，李傲霜，范 衠

（1.汕頭大學數學系，廣東 汕頭 515063；2.汕頭大學數字信號與圖像處理技術重點實驗室，廣東 汕頭 515063）

1 引言

期權作為金融衍生品市場上最重要的衍生品之一，對其建立合理準確的定價模型具有重要的理論和現實意義.自從Black和Scholes[1]提出了經典的B-S定價模型后，有關期權定價理論和應用得到了迅速發展，相關學者在此基礎上得到了一系列豐富的成果.雖然歐式期權是相對較為成熟的期權，且更容易得到它的解析解，但是由于亞式期權具有風險小、價格便宜、不易被人為操作等優勢，得到了越來越多的研究.Stuart和Lee[2]通過對標的資產算術平均價格的概率分布進行Edgeworth展開，提出了一種新的歐式平均期權定價算法，但是該方法得到的亞式期權價格并不精確.Levy[3]在此基礎上，提出了另一種算術平均價格近似模型，也使得到的結果更為精確.Vecer[4]用隨機分析的方法得到亞式期權價格的統一算法.姜禮尚[5]采用偏微分方程的方法，在無風險利率、紅利率、波動率均為常數的前提下，給出了B-S模型下歐式幾何平均亞式期權的定價公式.Park等[6]計算了跳躍擴散CIR過程下亞式期權定價的解析公式，并通過數值實驗證實了比完全蒙特卡羅方法計算時間快得多，提供了穩定和準確的期權價格.楊月等[7]研究次分數布朗運動環境下帶跳躍的幾何亞式期權定價問題，并給出了標的資產遵循次分數跳-擴散過程下的幾何平均亞式期權的定價公式.Hozman和Tichy[8]研究了一個歐式和美式兩種行權特征下的離散觀測算術亞式期權定價模型，提出了形成和改進估價過程的綜合方法論概念.

但是經過大量的研究都表明：在實際的金融市場中金融資產的對數收益率并不服從正態分布，而是服從一種“尖峰厚尾”的分布，并且金融市場存在顯著的長記憶性特征.Mandelbrot[9]和Peters[10]以分形理論為基礎，將Hurst指數H作為度量長記憶性強度的指標，對市場收益率的時間序列進行了研究.Necula[11]推導出了在分數布朗運動環境下任意時刻歐式期權的定價公式.孫玉東等[12]考慮了分數布朗運動下具有固定敲定價格的亞式期權的定價問題，給出了幾何平均亞式期權的定價公式.沈明軒[13]則給出了在分數布朗運動下具有浮動敲定價格的幾何平均亞式期權的定價公式.

然而由于金融市場具有波動性，即使考慮到金融市場具有長記憶性和“尖峰厚尾”的特征，確定性的期權定價模型也不能適應當今金融市場的發展，這就需要在同時考慮隨機性和模糊性的基礎上建立新的定價模型.模糊性與隨機性不同，模糊性是指由于投資者不知道股票收益率的確切分布，從而對是否進行投資產生一定的不確定性.Zadeh[14]提出的模糊集理論很好地解決了這類問題.近年來，模糊集理論作為一種有用的工具在金融衍生產品定價中得到了廣泛的應用.Wu[15]的研究表明了在B-S模型下研究模糊性的必要性；在模糊環境下為了取得股票的收益，人們往往更注重對“最壞”情況的考慮[16].Carlsson等[17]和Collan等[18]分別研究了模糊環境下的實物期權定價問題.秦學志等[19]研究了分數布朗運動下歐式期權的模糊定價問題，證實了在不確定環境下充分考慮長記憶性特征得到的歐式期權定價模型更符合金融市場.但是單一的三角模糊數僅能表示投資者是否進行投資，不能表示投資者在面對模糊性時的猶豫程度，張茂軍等[20]首次把三角直覺模糊數引入到離散情況下的歐式期權定價問題的研究；明雷等[21]則在此基礎上研究了Black-Scholes模型下的歐式期權定價問題.

綜上，需要同時考慮隨機性和模糊性兩個方面才能全面地刻畫標的股票價格的演化過程.本文首先采用三角直覺模糊數的方法對分數布朗運動下的亞式期權進行研究，利用了Yoshida[22]簡化股價模糊區間的方法對具有固定敲定價格和浮動敲定價格的亞式期權進行了討論，給出了股價的三角模糊區間，并分別得出了兩種期權價格的三角直覺模糊區間等.其次分析了金融市場長記憶性指標Hurst指數H對定價模型的影響，并通過數值實驗發現了行權時間T會對其單調性產生影響.最后運用控制變量法研究了三角直覺模糊數下不同因素對于期權價格的影響.主要創新點為：一、為了刻畫金融市場的長記憶性和“尖峰厚尾”的特征，采用了分數布朗運動去描述股票價格的變化，并分析了Hurst指數H對定價模型的影響；二、將標的股票價格當作模糊隨機過程，利用模糊隨機變量期望的定義和模糊數的運算推導出歐式幾何平均亞式期權模糊價格的任意水平截集的端點；三、將三角直覺模糊數首次引入到亞式期權中，用三角直覺模糊數刻畫了投資者的猶豫程度，彌補了現有模糊環境下歐式幾何亞式期權定價相關文獻均沒有考慮投資者猶豫程度的不足.所得結果與直接給出期權的價格公式相比，本文所給的定價模型更符合金融市場.

2 預備知識

2.1 分數布朗運動下的亞式期權定價

在這一小節中將引入分數布朗運動下的亞式期權定價公式，由于僅有歐式幾何平均亞式期權存在解析解，所以本文所討論的期權均為該類型的亞式期權.以看漲幾何平均亞式期權為例，分別給出了具有固定敲定價格的亞式期權和具有浮動敲定價格的亞式期權，看跌期權可由平價公式推導得到.

2.1.1 具有固定敲定價格的亞式期權[12]

現在考慮分數B-S市場有兩種資產.設無風險資產（債券）價格Bt滿足方程dBt＝rBtdt，0≤t≤T，而風險資產（股票）價格St滿足下列隨機微分方程

其中期望收益率μ、波動率σ都為常數，{WtH，t≥0}為完備概率空間（Ω，F，Ft，P）上的分數布朗運動，且 Ft＝σ（WsH，0≤s≤t）＝σ（Ss，0≤s≤t）.

作變量代換

那么在風險中性測度下，可以得到

引理2.1若股票價格過程滿足方程（1），則具有固定敲定價格的幾何平均亞式看漲期權價格為[12]：

引理 2.2 用 C（S，J，t），P（S，J，t）分別表示看漲、看跌期權，則具有固定敲定價格的幾何平均亞式期權的平價公式為[5]：

2.1.2 具有浮動敲定價格的亞式期權[13]

引理2.3若股票價格過程滿足方程（1），則具有浮動敲定價格的幾何平均亞式看漲期權價格為[13]：

引理 2.4 用 C（S，J，t），P（S，J，t）分別表示看漲、看跌期權，則具有浮動敲定價格的幾何平均亞式期權的平價公式為[5]：

2.2 三角直覺模糊數[23]

以下引入三角模糊數的概念：

其非隸屬度定義為：

圖1 三角直覺模糊數

3 分數布朗運動下歐式幾何平均亞式期權的三角直覺模糊價格

在確定模糊變量時，應考慮是否能判斷期權價格關于該模糊變量的單調性，以便得出期權價格的上下界.不同于歐式期權，由于亞式期權價格公式和三角直覺模糊數的復雜性，在判斷期權價格對模糊變量的單調性時會更加復雜，甚至對某些變量并不保持單調性.

定理3.3可以證明：在保證期權模糊價格非負的條件下，期權模糊價格是股票模糊初始價格的單調遞增函數.

假設at＝cSt，c被稱為散度因子，也即模糊指標，它反映了以股價價格S為中心的模糊股價價格的散度大小，c越大，說明模糊股價價格的距離股價中心S的散度越大，模糊程度越大.

在選定模糊變量之后，可以得到期權模糊價格的表達式，以具有固定價格的亞式看漲期權為例：

定理3.1具有固定價格的亞式看漲期權的模糊價格為：

其中 d1，d2，r*，σ*2，Xt由式（3）給出.

由定義2.2知，股票價格對應的隸屬度越大時，其滿足條件的模糊數越少，而S為區間[S1，S2]中最有可能取到的值，其最大隸屬度為，最小非隸屬度為，因此可以通過S來判定αβ，由此可以得到定理3.2.

定理3.3期權價格對模糊變量的單調性判斷：在保證期權價格非負的條件下，歐式幾何平均看漲亞式期權的模糊價格對股票的初始模糊價格為單調遞增函數.

因為 d1＜d2，Φ（d1）＜Φ（d2），結合t的實際意義有t＞0，對比t與的后兩項可得，在的情況下，的后兩項之和大于0，同時第一項大于0，則大于0成立，即此時t是關于的單調遞增函數.

下一節在運用控制變量法分析模型的敏感性和穩健性時，為了計算的簡潔和保持期權的單調性可令t＝0.

定理3.4歐式幾何平均看漲亞式期權的模糊價格截集：對于具有固定敲定價格的亞式期權：

證明：由定理3.1及定理3.2，3.3可得.

推論3.1：對于具有浮動敲定價格的看漲亞式期權，在滿足期權價格非負的條件下，同理得到期權價格關于股票初始價格為單調遞增函數，故其價格截集可表示如下：

該推論同樣可以由定理3.1與定理3.2，3.3得到.

同時，由第二節的平價公式可以得到在幾何平均看跌亞式期權的價格截集.但由于第四部分主要研究具有固定敲定價格的幾何平均看漲亞式期權，故省去了該情況下的表述.

金融市場的長記憶性可以用Hurst指數H來度量，下面的定理表示了Hurst指數對具有固定敲定價格的歐式幾何平均看漲亞式期權模糊價格t的影響.

證明：以上可通過求導公式得到.

推論3.2 Hurst指數對兩類具有固定敲定價格的亞式看漲期權價格截集的影響如下：

接下來通過數值實驗分析，重點討論具有固定敲定價格的亞式看漲期權，對其將通過控制變量法分析各個變量及H對價格截集的影響；且由于具有浮動敲定價格的亞式看漲期權本身的解析式及求導公式過于復雜，不便進行數值實驗，所以這里略去了H對其價格截集的影響.

4 數值實驗

本節主要研究的是具有固定敲定價格的幾何平均看漲亞式期權，對其通過控制變量法分別討論了各個變量對期權上下限價格的影響.由于亞式期權價格公式的復雜性，為了方便研究不同變量對于期權價格的影響，故對模型中的某些參數進行了簡化.

4.1 基準模型的參數數據

下面給出基準數據，取初始股價為S＝25期權期限t＝0，T＝5，Hurst指數H＝0.6，α－截集α＝0.75，最大隸屬度w＝0.9，股票波動率σ＝0.25，敲定價格K＝20，無風險利率r＝0.07，β－截集β＝0.2，最小非隸屬度u＝0.05，模糊指標c＝0.05.易知：當Δ＞0 時，有 C1＝5.458，C2＝5.787.

4.2 靈敏性和穩健性分析

首先需給出Hurst指數對亞式期權模糊價格的影響，與歐式期權不同，由于在分數布朗運動下具有固定敲定價格的歐式幾何平均看漲亞式期權的模糊價格公式十分復雜，很難準確地判斷出關于H的單調性.但是同樣可以得出對于不同的T，期權價格關于H的單調性會不同.在經過多次對T取值后，分別列舉了T＝0.5和T＝5兩種情況下期權關于H的變化.如圖2和3所示：當T＝0.5時，期權的三角直覺模糊價格關于參數H是單調遞增的.但是當T＝5時，期權的上限價格則先隨著H的增大而略有增加，隨后緩慢下降，最后當H＝0.858 6時期權上限價格迅速遞減至0；期權的下限價格則在H＝0.858 6前呈現緩慢下降的趨勢，同樣在到達該點后迅速遞減至0.以上兩種情況表征了不同的T會對期權的單調性產生不同的影響.

圖2 T＝0.5時Hurst指數對期權價格的影響

圖3 T＝5時Hurst指數對期權價格的影響

圖4和5分別表示的是股票的初始價格S和無風險利率r對期權上下限價格的影響，容易得出：在保證期權價格始終非負的條件下，期權的上下限價格關于兩者均為單調遞增的函數.但當超出該范圍，如股票的初始價格過小時，期權的上下限價格應該為0，因為此時行權者通常不會執行該權利，同時這也是符合金融市場的常識.

圖4 股票初始價格S對期權價格的影響

圖5 無風險利率r對期權價格的影響

圖6所示，與歐式期權或歐式回望期權不同，隨著波動率σ的增大，期權的上下限價格均呈現單調遞減的趨勢，甚至當波動率足夠大時，期權價格將趨于0.而這與亞式期權的定義緊密相關，亞式期權的收益是依賴于在整個期權有效期內原生資產所經歷的價格平均值，故波動率變大不利于該期權的收益.同樣，期權的行權時間T對期權的上下限價格也不總是正相關的.在圖7中，期權的上下限價格函數均為上凸函數，即隨著時間的增加，期權價格先增加后減少.

圖6 波動率σ對期權價格的影響

圖7 行權時間T對期權價格的影響

隨著敲定價格K的增大，期權價格會逐漸變小.在圖8中，當期權的敲定價格過大時，期權的上下限價格會單調遞減至0甚至負數，但是這在實際的金融市場中是不可能發生的，因為當敲定價格過高時，期權持有人可選擇不行權，此時期權的價格為0.同樣的，最大隸屬度的選擇也應該符合實際情況，在圖9中當最大隸屬度過小時就會出現期權的下限價格大于上限價格的情況.在合理的最大隸屬度內，隨著最大隸屬度的增大，期權的上限價格會單增，下限價格會單減.

圖8 敲定價格K對期權價格的影響

圖9 最大隸屬度w對期權價格的影響

圖10中表明了：模糊指標c越大，由于上限價格單增、下限價格單減，從而使得期權的模糊定價區間（上下限價格構成的區間）就會越大.在實際的金融市場中，應該選擇合理的模糊指標c，這樣既可以對期權的價格進行較為準確地描述，又考慮到了投資者的猶豫度.在圖11中，隨著α－截集的增大，期權的上限價格遞減，上限價格遞增.同時，α－截集的值不應過大，這樣會導致上限價格高于下限價格，沒有實際意義.

圖10 模糊指標c對期權價格的影響

圖11 α－截集對期權價格的影響

圖12和13分別描述了最小非隸屬度u和β－截集對期權價格的影響：隨著最小非隸屬度u的增大，期權的上限價格單調遞減，下限價格單調遞增.即期權的定價區間單調遞減，并且在最小非隸屬度u＝0.2時，期權的上下限價格相等.故而對最小非隸屬度的選取應該符合金融市場，不然可能會出現期權上限價格低于下限價格的情況.β－截集對期權價格的影響則相反，隨著β值的增大，期權的上限價格線性增大，下限價格線性減小.即期權的定價區間單調遞增，且當β＝0.05時期權的上下限價格相等，同時這與歐式期權的結論相類似.

圖12 最小非隸屬u度對期權價格的影響

圖13 β－截集對期權價格的影響

5 結論

本文研究了基于模糊環境下金融市場長記憶性特征的歐式幾何平均亞式期權的定價問題.亞式期權一直都是金融市場上最活躍的奇異期權之一，與已有的研究不同，本文是在模糊環境下運用三角直覺模糊數的理論對歐式幾何平均亞式期權定價問題進行了研究，并考慮了金融市場的長記憶性特征.在長期的市場驗證及大量的實證研究發現股票市場的價格變化的經驗分布具有“尖峰厚尾”的特征，而且股價之間存在著長期相關性，因此將分數布朗運動引入到模糊環境下亞式期權的定價中更具有普遍意義，也更符合金融市場.所得的結論如下：

（1）將股票的初始價格設為三角直覺模糊變量，運用隨機分析，模糊集理論等構建了模糊環境下金融市場長記憶性特征的幾何亞式期權定價模型，分別得出了具有固定敲定價格的歐式幾何平均亞式期權和浮動執行價格的歐式幾何平均亞式期權的模糊價格公式和價格截集；

（2）對具有固定敲定價格的歐式幾何平均亞式期權進行了重點研究，分析了金融市場長記憶性的度量指標Hurst指數對其定價模型的影響，得出行權時間T將會改變其單調性等特征；

（3）運用控制變量法對具有固定敲定價格的亞式期權定價模型進行了敏感性和穩健性檢驗，并得出了與歐式期權不同的結論，如：波動率越大，期權價格越低；期權價格和行權時間并不總是正相關的，而是關于T的一個上凸函數.同時得出對于模糊指標c、α－截集、β－截集等變量的選取應當符合理論分析和金融市場的現實意義.通過最后的數值分析發現，相比于直接給出期權價格的解析解，引入分數布朗運動和三角直覺模糊數將更有利于投資者在面對投資時做出判斷，具有很好的經濟學意義.