基于五轉一移六自由度機械臂的運動學仿真

張元昕，張秋菊，楊 瑞

(江南大學 機械工程學院，無錫 214000)

關鍵字：六自由度機械臂；MATLAB；仿真；運動學

0 引言

目前的六自由度機械臂多應用在工業生產行業[1]，一般六個關節都為旋轉關節，前三個關節用于定位機械臂在坐標系的整體位置，后三個自由度確定機械臂的末端姿態，并且主要是對機械臂的精度、速度、穩定性有較高的要求，而對于一些在整體空間大，操作空間小的環境中的作業很難進行。因此本文中設計了一種滿足在特殊空間環境中作業的五轉一移型六自由度機械臂。

對機器人技術的研究關鍵的一步就是進行運動學的分析，這也是運動控制的基礎，因此本次對五軸機械臂的運動學分析與仿真至關重要。機械臂運動學分析即研究機械臂的運動特性，包括位置，速度，加速度，正，逆問題。而機械臂的位置正問題即正運動學，通過已知的關節角度進過計算獲得齊次變換矩陣，從而計算出末端的位姿。由于機械臂的幾何參數復雜繁瑣，通常給各個連桿構建坐標系，通過描述坐標系之間的關系來表達機械臂的幾何參數。使用較多的是Daneivt和Hartenberg提出的D-H模型[2]。但是D-H模型的Z軸編號和對應的關節編號不一致，不利于辨識，很多學者提出了改進的模型，比如Stone提出的改進D-H模型，即S-model，還有Judd提出的MDH模型和Veitschegger的五參數模型[3]。

機械臂位置逆問題則是通過已知的機械臂末端計算出機械臂各關節的角度。機械臂位置逆問題的求解方法一般分為封閉解和數值解法。封閉解包含消元法，吳文俊法，聚篩法等，數值解法主要有延拓法，迭代計算法等。隨著技術的發展，還產生了遺傳算法，神經網絡算法等智能算法。

本文主要針對一平移五旋轉的六自由度機械臂的設計結構，對其構建了MDH模型，利用消元法求得逆解，并且通過運用MATLAB仿真，驗證分析六軸機械臂合理性。

1 六軸機械臂的結構設計

本文中機械臂具有五轉一平移的六個自由度。如圖1所示分別為肩關節，大臂關節，小臂關節，腕關節，腕部伸縮關節和末端旋轉關節。其中腕部伸縮部分為平移關節，其余五個關節為旋轉關節，使末端執行器能夠到達工作范圍內的各個目標點，能夠保證機械臂末端姿態的空間位置和姿態，靈活實現縱向，橫向，斜向等多方位姿態的作業需求，腕部的伸縮關節可以在整個機械臂滿足工作空間的前提下通過末端執行器的伸縮對狹小空間的設備進行作業。

圖1 六自由度機械臂結構簡圖

2 運動學分析

根據D-H模型的建立準則[4]，結合機械臂的實際尺寸參數，如圖2所示，對六自由度機械臂建立D-H坐標系。其中基座標系{0}和坐標系{1}重合，坐標系{1}對應肩關

2 運動學分析

根據D-H模型的建立準則[4]，結合機械臂的實際尺寸參數，如圖2所示，對六自由度機械臂建立D-H坐標系。其中基座標系{0}和坐標系{1}重合，坐標系{1}對應肩關節，坐標系{2}，{3}，{4}分別對應大臂關節，小臂關節和腕關節，坐標系{5}對應腕部伸縮移動關節，坐標系{6}對應末端旋轉關節。表1中是機械臂的D-H模型的各個參數值。

圖2 六自由度機械臂D-H矩陣坐標系

表1 D-H矩陣參數

2.1 運動學正解

正向運動學描述的是機械臂的關節空間到末端笛卡爾空間的映射關系，即已知各關節角度求解末端執行器工具點相對于基坐標系的位姿[6]。在建立坐標系后，將表1中D-H模型矩陣的各個參數代入到齊次變換矩陣中，其中各個關節角度θ1、θ2、θ3、θ4、d5、θ6為變量，其他各個參數值可以直接代入齊次變換矩陣中。機械臂的各個連桿的齊次變換矩陣依次為：

機械臂正運動學問題就是將已知的關節角度θ，求出機械臂的末端位置和姿態，即求出齊次變化矩陣0T6。現將上面各關節之間的變換矩陣相乘，則可以獲得六自由度機械臂的相對于基坐標系的末端位姿矩陣，如下式：

2.2 運動學逆解

機械臂的逆運動學問題，即將已知的末端位姿齊次變換矩陣0T6求解獲得機械臂各個關節的角度θi[7]。本文中采用的方法是將運動學方程等式兩邊同時乘上相應的齊次轉換矩陣的逆，令等式兩邊相等，從而獲得關節角度解。

1）求解關節角度θ1，θ6

3 機械臂運動仿真

3.1 構建機械臂仿真模型

本文中，我們采用MATLAB的Robtics Toolbox機器人仿真工具箱對機械臂的運動學和軌跡規劃等進行仿真。借助MATLAB仿真工具箱中的LINK()函數[8]，ROBOT()函數，DISPLAY()函數，TEACH()函數編程生成機械臂的運動學仿真模型，控制各個角度的控制面板和機械臂末端位姿坐標參數。如圖3所示。

圖3 控制面板和仿真模型

3.2 機械臂工作空間分析

機器人的工作空間即機器人末端參考點相對在基座坐標系所能到達的空間點的集合。機械臂的運動范圍一般都是在一有限的區域內，例如本文中的六軸機械臂運動范圍在以其完全伸直狀態的機械臂長度為半徑的近似球體的區域內，而在這范圍內因為會有奇異點的存在，因此機械臂也就無法到達這些工作區域，這樣機械臂的工作空間和靈活性就受到了限制。因此分析機械臂的工作空間也是十分有必要的。一般對機械臂工作空間的分析方式有解析法，數值法，描繪法等[9]。在本文中，采用了蒙特卡洛方法，以MATLAB編程實現六軸機械臂工作空間點云模型的構建。以下是在MATLAB中利用蒙特卡洛方法計算六軸機械臂工作空間的步驟：

1）對六軸機械臂進行正運動學求解，獲得末端位置向量[px，py，pz]T；

2）利用MATLAB中rand()函數生成個關節變量的隨機值，即：qi=qimin+(qimax-qimin)rand(1，n)。

式中：qi—第i關節變量；qimin—第i關節變量下限；qimax—第i關節變量上限；n—隨機數個數。

3）將第2）步中的各個關節隨機值代入末端位置向量[px，py，pz]T中求出六自由度機械臂的工作空間。

在MATLAB中運用蒙特卡洛方法進行編程仿真如圖4所示[10]，圖4(a)，圖4(b)，圖4(c)中機械臂工作空間在整體上基本保持在1.5m的范圍以內，其中腕部長度為0.475m，上述仿真中設置d5為0.499m，由于第五關節為平移關節，因此圖4中超出1.5m部分為腕部的伸縮量，為0.022m。從而也證明了本次機械臂設計合理，能夠達到要求的工作空間。

這里本文分別對五轉一移機械臂（圖4）、常規六自由度機械臂（圖5）、五自由度機械臂（圖6）生成點云工作空間進行對比分析。這里將五轉一移機械臂的移動關節變換為旋轉關節構成常規六自由度機械臂，除去其平移關節構成五自由度機械臂。從圖5、圖6可以發現，在yOz視圖和xOz視圖的z軸方向±1.5m處會是一段直線，表明其工作空間就是一個半徑為1.5m的球內，而從圖4所示，由于擁有平移關節，其工作空間半徑是最大伸縮距離加1.5m常規工作半徑的和。當機械臂處于障礙物錯綜復雜的特殊環境中時，機械臂不能完全伸展，甚至只能保持一種狀態時，則可以利用伸縮臂從障礙物間穿過，對工件進行作業操作。因此針對在這種特殊環境中的作業，五轉一移機械臂相對常規的機械臂是十分有優勢的。

圖4 五轉一移機械臂工作空間點云圖

圖5 六自由度機械臂工作空間點云圖

圖6 五自由度機械臂工作空間點云圖

3.3 機械臂軌跡規劃

上文中已在MATLAB 中構建了機械臂仿真模型，這里再初始化軌跡規劃的相關參數，機械臂各關節的初始角度為θ0=(0，0，0，0，0，0，)，終止關節角度θi=(π/2，π/3，π/6，3π/20，0.5，π/4)[11]。設置仿真步數為40，在末端圓心處建立Marker點，以下為MATLAB中相關參數設置程序：

通過在MATLAB中編程顯示出末端Marker點的位移，加速度，角加速度曲線和機械臂各個關節的位移，加速度，角加速度曲線。如圖7～圖12所示。

圖7 各關節角度隨時間的變化曲線圖

圖8 各關節角速度隨時間的變化曲線圖

圖9 各關節角加速度隨時間的變化曲線圖

圖10 末端執行器在三維空間的位置變化曲線圖

圖11 末端執行器速度大小隨時間的變化曲線圖

圖12 末端執行器角速度大小隨時間的變化曲線圖

通過圖7和上述對機械臂各關節初始角度和終止位置關節角度的設置對比，可以發現各關節角度隨時間變化從最初的各關節角度值為0轉動到各個關節相應的設置角度。圖8中角速度的曲線偏移主要集中在15至25步之間，圖9中角加速度在這一階段趨于0，結合圖8和圖9，各關節角度呈現初始階段的勻加速狀態和中間勻速狀態，到最終的勻減速狀態，整個過程具有較高的穩定性[12]。圖10至圖12顯示出末端執行器的各個參數變化曲線。結合圖12和圖11，末端執行器的角速度曲線偏移較大，在實際的操作中過大的速度會降低機械臂的使用壽命。因此可以利用多關節同時驅動減少末端位移，從而降低末端執行器的速度，保證機械臂平穩運行。

4 結語

本文針對特殊空間環境中廢棄設備處理工作的需求，提出了一種五轉一移的串聯型六軸機械臂的解決方案。通過多關節聯動和單關節點動，并且以較好的穩定性實現各種位姿變換的動作，利用蒙特卡洛法構建出機械臂的點云模型，直觀地顯示出五轉一移型機械臂的工作空間，這種特殊結構也有利于機械臂在狹小操作空間內進行作業，同時也保證了機械臂能夠到達設備室內的整體空間內的所有位置。利用D-H法對六軸機械臂進行運動學分析，首先在MATLAB中構建了仿真模型，獲取機械臂末端位姿和各關節變量的解，然后計算出蒙特卡洛工作空間，最后采用機器人工具箱對機械臂末端及各關節進行了軌跡規劃，驗證了機械臂的結構設計的合理性，同時為后續的離線示教，結構優化提供了理論基礎。