多目標區間值優化問題的最優性條件*

2022-09-01 12:33:04黃曉美唐國吉

廣西民族大學學報(自然科學版) 2022年2期

黃曉美，唐國吉

（廣西民族大學數學與物理學院，廣西南寧 530006）

0 引言

隨著不確定在實際工程優化頻繁呈現，作為一類含區間參數的優化問題引起了研究者的關注。最優性條件對于求解區間值優化問題尤為重要。近年來，一些學者對區間值優化問題解的最優性條件展開研究。文獻[1-2]獲得含不等式約束的單目標可微的區間值優化問題的KKT條件和對偶理論。文獻[3-4]分別通過函數偽不變凸，擬不變凸和預不變凸，不變凸的性質獲得單目標可微區間值優化問題的KKT充分性條件及對偶理論。文獻[5]利用Clarke次微分獲得單目標非光滑區間值優化問題的Fritz-John和KKT最優性條件。文獻[6]把實值的多目標優化問題的Pareto最優解的概念推廣到多目標區間值優化問題，并在目標函數和約束函數都是可微且凸的條件下得到KKT充分性條件。文獻[7]在凸性條件下研究向量值的區間優化問題與向量變分不等式之間的關系。文獻[8]利用Clarke次微分得到含不等式約束的多目標區間優化問題的Fritz-John和KKT最優性條件。

廣義Jacobi矩陣是由Clarke針對向量值函數引入，[9]文獻[10]考慮優化問題的所有函數為區間值函數，通過廣義Jacobi矩陣，獲得另一種形式的Fritz-John和KKT最優性條件，并解釋了對于相同的乘子，通過廣義Jacobi矩陣獲得的最優性條件的解集包含于Clarke次微分型的最優性條件的解集，反之不成立。這說明了滿足廣義Jacobi矩陣型的最優性條件的乘子集合范圍更小。受文獻[10]的啟發，本文主要工作是把文獻[10]的結果推廣到多目標區間值優化問題，獲得局部LU-有效解的最優性條件。

1 預備知識

我們用I^表示實數集R上所有閉區間的集族。設A是I^上的任意一個閉區間，記為A=[aL，aU]，其中aL和aU分別表示閉區間A的下界和上界，易知aL≤aU。若aL=aU=a，則A=[aL，aU]=a是一個實數。

定義 1[1]稱 F：Rn→I^ 為閉區間值函數，如果對任意的 x∈Rn，F(x)均為 R 上的閉區間，記 F(x)=[ FL(x)，FU(x)]，其中FL和FU稱為F的左右端點函數，且FL和FU是定義在Rn上的實值函數，并且對任意的x∈Rn滿足FL(x)≤ FU(x)。

定義2[1]設A=[aL，aU]和B=[bL，bU]是I^上任意兩個閉區間，定義如下運算：

用Λm×n表m行n的矩陣空間，|||·|||為Λm×n上的范數，則任意的矩陣A∈Λm×n有|||A|||=max|aij|，其中A=(aij)，1≤i≤m和1≤j≤n，記Aj為A的列向量。下面回顧向量值函數次微分的概念。

定義4[9]設T?Rn為非空開子集，f=( f1，…，fm)：T→Rm是局部Lipschitz連續的向量值函數，則f在x0∈T處的廣義Jacobi矩陣為

其中集合Tf表示f在T中不可微點的全體，J( f，xi)為f在xi處的Jacobi矩陣，co表示凸包。

從文［9］可知，關于廣義Jacobi矩陣有如下性質：

(i)?( f，x0)是非空緊凸集；

(ii)集值映射 x ??( f，x)是局部有界的，即存在關于 x0的鄰域 V 和常數 K 使得對所有的 x∈V 有 max {|||A|||：A∈?( f，x)}≤K；

(iii)?( f，·)是上半連續的集值映射，因此對于x→x0，An→A0且An∈?( f，xn)，則A0∈?( f，x0)；

(iv)?T( f，x0)?(?f1(x0)，…，?fm(x0))，即任意矩陣A∈?T( f，x0)，有Ai∈?fi(x0)，i=1，…，m。

引理1[10]設T?Rn是非空開子集，f=( f1，…，fm)：T→Rm是局部Lipschitz連續的向量值函數，φ：Rm→R是連續可微的實值函數，則

定義5[8]設x=(x1，…，xn)T和y=(y1，…，yn)T是Rn上的任意向量，定義如下：

(i)x=y當且僅當xi=yi，對所有的i=1，…，n；

(ii)x ≧ y當且僅當xi≥yi，對所有的i=1，…，n；

(iii)x≥y當且僅當x ≧y且x≠y；

(iv)x＞y當且僅當xi＞yi，對所有的i=1，…，n；

引理2[12]設φ:Rn→R是局部Lipschitz連續。如果φ在點x處達到極值，則0∈?φ(x)。

引理 3[12](i)若 φ：Rn→R 是連續可微函數，則對任意的 x∈Rn，φ 在點 x 處是局部 Lipschitz 連續，且 ?φ(x)={?φ(x)}；

(ii)若φ:Rn→R是凸函數，則對任意的x∈Rn，φ在點x處是局部Lipschitz連續;

(iv)設 φi：Rn→R(i=1，…，m)是均為局部 Lipschitz 連續函數，定義函數 φ：Rn→R 為 φ(x)=max {φi(x)|i=1，…，m }，則 φ 是局部 Lipschitz 連續函數，且對任意的 x∈Rn均有 ?φ(x)=co{?φi(x)|i∈T(x)}，其中 T(x)：={i∈{1，…，m }|φi(x)=φ(x)}；

(v)若φ：Rn→R是局部Lipschitz連續函數，則φ2也是局部Lipschitz連續函數。

2 Fritz-John和KKT最優性條件

本文主要考慮如下區間值優化問題：

其中FL?，FU?：Rn→R(?=1，…，m)，g：Rn→Rp和h：Rn→Rq是局部Lipschitz連續函數。令Ω：={ x∈Rn|gi(x)≤0，i=1，…，p；hj(x)=0，j=1，…，q}為可行集，I(x0)：={i|gi(x0)=0，i=1，…，p}為有效約束函數的指標集。為了方便，記M={1，…，m }，P={1，…，p}，Q={1，…，q}。

定義6 稱可行點x0是問題（MIVOP）的局部弱LU-有效解，如果存在實數δ＞0使得不存在x∈Ω∩-B(x0，δ)，對任意的?∈M滿足F?(x)?LUF?(x0)。

注1:(i)若區間值函數F?(x)(?∈M )的左右端點函數相等，則問題(MIVOP)退化為實值多目標優化問題。故局部弱LU-有效解退化為局部弱Pareto-有效解。

(ii)當-B(x0，δ)=Rn，定義6的局部弱LU-有效解是弱LU-有效解，即文獻［6］定義的多目標區間值優化問題的第一型弱Pareto最優解。

下面例子說明局部弱LU-有效解非空。

例1 設x∈R，考慮如下問題：

類似文獻[8]命題2.14的證明，容易得到如下引理。

引理4 設x0∈Ω是問題(MIVOP)的局部弱LU-有效解當且僅當x0是如下多目標優化問題的局部弱Pareto-有效解：

其中Ω1：={ x∈Rngi(x)≤0，i∈P；hj(x)=0，j∈Q，FU?(x)≤FU?(x0)，?∈M }。

下面我們先給出(MIVOP)在廣義Jacobi矩陣下的局部弱LU-有效解的Fritz-John必要條件。

定理1(Fritz-John必要條件) 設x0∈Ω 是問題(MIVOP)的局部弱LU-有效解，則存在乘子，λL∈Rm，λU∈Rm，μ∈Rp和τ∈Rq使得

證明：由引理4知，x0是(VOP)的局部弱Pareto-有效解。因此存在實數δ＞0使得x0是如下優化問題唯一的弱Pareto-有效解

考慮如下優化問題：

因此。存在c＞0使得對充分大k∈K有

所以

故對充分大的k∈K，有

這使得

由xk的定義和引理2得，0∈?Φk(xk)。由引理3(iii)可得，

定義φ3：Rn→R為

因此，式子(2)變為

由廣義Jacobi矩陣的局部有界性和上半連續性知，對充分大的k∈N有，

因此，對充分大的k∈N有，式子(3)可變為

注2：在問題(MIVOP)中，當m=1和FL1=FU1，問題(MIVOP)退化為一般的單值優化問題，因此定理1是文獻[10]定理3.1的推廣。

下面例子說明定理1。

例2 設x∈R2，考慮如下問題：

則有

和

人們致力尋找模型(MIVOP)的局部弱LU-有效解的必要性條件。最近Antczak[8]在廣義Salter約束規范條件下研究(MIVOP)的弱LU-有效解的必要條件。注意到，當廣義Salter約束規范不成立時，文[8]的定理2.16將無能為力。以下例3說明這一點。易知，例3模型中的函數g是非凸的，故不滿足廣義Salter約束規范，從而文[8]的定理2.16無法使用。

為了建立(MIVOP)的局部弱LU-有效解的KKT必要條件，引入如下廣義Mangasarian-Fromovitz約束規范(簡記GMFCQ)。

定義7[13]稱GMFCQ在點x0∈Ω成立，如果下列成立：

(i)對所有的矩陣(…，Bi，…，C1，…，Cq)∈?T(G，x0)，存在向量d∈Rn使得 Bi，d ＜0，(i∈I(x0))和 Aj，d =0( j∈Q)，其中G=(…，gi，…，h1，…，hq)(i∈I(x0))；

(ii)?(H，x0)行滿秩，即任意的矩陣C∈?(H，x0)都是行滿秩，其中H=(h1，…，hq)。

注3：下面例子3將給出滿足GMFCQ的例子，我們之處并非所有的等式和不等式約束都能滿足GMFCQ，如上述的例2的約束函數不滿足GMFCQ。事實上，由