基于改進(jìn)FxLMS算法的懸臂梁振動(dòng)研究

張麗雯,姜金華

(1.上海第二工業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，上海 201209；2.上海第二工業(yè)大學(xué)智能制造與控制工程學(xué)院，上海 201209)

0 引言

振動(dòng)[1]是物體的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，是自然界和工程界的普遍現(xiàn)象。人與機(jī)械交互時(shí)，噪聲問題也通常被歸為振動(dòng)問題[2]。工業(yè)生產(chǎn)制造中難免會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，而這種振動(dòng)會(huì)影響到工業(yè)生產(chǎn)。特別是對(duì)于精密器件和超精密加工設(shè)備的使用，任何微小的振動(dòng)干擾都很有可能對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)和設(shè)備本身產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。因此，如何有效地控制振動(dòng)一直是國內(nèi)外深入研究的課題。

主動(dòng)噪聲控制(active noise control,ANC)是一種振動(dòng)控制的新技術(shù)[3]。與被動(dòng)振動(dòng)控制相比，主動(dòng)振動(dòng)控制對(duì)于低頻的隔振效果更好，而且對(duì)外界環(huán)境有較強(qiáng)的適應(yīng)能力。如今，主動(dòng)振動(dòng)控制被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域。自適應(yīng)濾波算法是主動(dòng)噪聲控制研究的重點(diǎn)。對(duì)于復(fù)雜設(shè)備與裝置可能存在的結(jié)構(gòu)非線性與時(shí)變環(huán)節(jié)，自適應(yīng)濾波算法具有較好的技術(shù)特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)[4]。常用的自適應(yīng)濾波算法是基于維納濾波的最小均方(least mean suqare,LMS)算法。該算法具有結(jié)構(gòu)簡單、性能穩(wěn)定、計(jì)算復(fù)雜度低和易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)。

20世紀(jì)80年代，Morgan、Widrow及Burgess提出了獲得廣泛應(yīng)用的濾波-x最小均方(filtered-x least mean suqare,FxLMS)算法[5]，解決次級(jí)通道引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定問題。2011年，周亞麗等提出了基于反正切變換的濾波-x最小均方算法(filtered-x arctangent least mean suqare,FxatanLMS)[6]，解決了脈沖噪聲高尖峰特性引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定問題。2013年，Wu提出了Fair算法[7]，利用Fair函數(shù)對(duì)誤差信號(hào)進(jìn)行非線性變換。Fair函數(shù)的特性是連續(xù)平滑且僅有一個(gè)可調(diào)閾值參數(shù)，避免了選擇參數(shù)和估測(cè)閾值的麻煩，算法性能更好。

Oh.J等利用FxLMS算法對(duì)懸臂梁主動(dòng)振動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，驗(yàn)證了FxLMS算法的可行性[8]。Meng等提出了一種基于壓電堆作動(dòng)器的直升機(jī)機(jī)身多輸入多輸出多諧波前饋?zhàn)赃m應(yīng)自動(dòng)電壓控制(automatic roltagecontrol,AVC)方法。該方法由諧波系數(shù)辨識(shí)和多輸入多輸出多諧波(multi-input multi-output multi-harmonic,MIMOMH)前饋FxLMS算法組成[9]。Li等將反饋FxLMS算法和比例積分微分(proportional integral differential,PID)控制器相結(jié)合，提出了混合PID-FxLMS算法，并將其應(yīng)用于壓電懸臂梁振動(dòng)控制中[10]。王歡等通過有限元模型，應(yīng)用正位反饋技術(shù)研究了多階模態(tài)的主動(dòng)振動(dòng)控制[11]。

本文首先在傳統(tǒng)FxLMS算法的理論基礎(chǔ)上，根據(jù)反雙曲正弦函數(shù)，提出了一種新的FxLMS算法，即FxasinhLMS算法；然后分別在Simulink和機(jī)械系統(tǒng)的力學(xué)自動(dòng)分析(automatic dynamic analysis of mechanical system,ADAMS)中建立了FxLMS控制仿真系統(tǒng)和懸臂梁有限元模型，連接兩者進(jìn)行聯(lián)合仿真。在聯(lián)合仿真控制系統(tǒng)中，分別對(duì)FxLMS、Fair、FxatanLMS算法和本文提出的FxasinhLMS算法進(jìn)行仿真測(cè)試。仿真測(cè)試結(jié)果證明了FxasinhLMS算法在懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制應(yīng)用中的有效性和優(yōu)越性。

1 自適應(yīng)濾波算法

1.1 LMS算法

LMS算法是線性自適應(yīng)濾波器算法，其作用是調(diào)整濾波器的權(quán)系數(shù)。LMS算法以最小均方誤差(mean square error，MSE)為判據(jù)，使期望信號(hào)與濾波器輸出信號(hào)之差的平方的期望值最小[12]。基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)圖

自適應(yīng)濾波器W(z)采用有限脈沖響應(yīng)(finite impulse response，F(xiàn)IR)結(jié)構(gòu)。圖1中：x(n)為輸入信號(hào)；d(n)為期望信號(hào)；y(n)為濾波器輸出信號(hào)；e(n)為誤差信號(hào)；權(quán)系數(shù)矢量W根據(jù)最小均方判據(jù)調(diào)整。

對(duì)于FIR濾波器，n時(shí)刻的濾波器輸出為:

(1)

式中：T為轉(zhuǎn)置符；X(n)為n時(shí)刻的輸入矢量；N為濾波器的階數(shù)；wi(n)為n時(shí)刻第i個(gè)權(quán)系數(shù),i=0,1,...,N-1。

根據(jù)圖1，均方誤差ε表示為：

ε=E[e2(n)]=E[d(n)-y(n)]2

(2)

將式(1)代入式(2)，可得：

ε=E[d(n)-WT(n)X(n)]2

(3)

從式(3)可以看出，均方誤差是權(quán)系數(shù)矢量W的二次型函數(shù)，在均方誤差達(dá)到最小時(shí)，權(quán)矢量W*達(dá)到最優(yōu)。W*一般采用迭代算法來求解，常用方法是最速下降法，即：

(4)

式中：u為步長；W(n)為n時(shí)刻的濾波器權(quán)系數(shù)矢量；(n)為第n次迭代的梯度矢量；W(n+1)采用最速下降法，可以逼近最佳值。

對(duì)于LMS算法，第n次迭代的梯度矢量表示為：

(5)

用瞬時(shí)值代替式(5)中的數(shù)學(xué)期望，得到的梯度估計(jì)值稱為瞬時(shí)梯度。則有：

(n)=-2e(n)X(n)

(6)

顯而易見，瞬時(shí)梯度矢量是真實(shí)梯度矢量的無偏估計(jì)。此時(shí)，式(4)的迭代公式可寫成：

W(n+1)=W(n)+ue(n)X(n)

(7)

為了確保算法的穩(wěn)定性，步長的取值范圍為：

(8)

式中：tr(R) 為輸入信號(hào)自相關(guān)的跡，等于R對(duì)角線上的元素之和。

(9)

1.2 FxLMS算法

為了修正LMS算法的誤差梯度估計(jì)值，在LMS的基礎(chǔ)上增加了次路徑模型。考慮到次路徑的影響，為了確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要對(duì)LMS算法的瞬時(shí)梯度估計(jì)作修正。xf(n)取代了LMS中的參考輸入信號(hào)x(n)。xf(n)是參考輸入信號(hào)x(n)經(jīng)次路徑S(z)濾波后得到的，所以這種算法被稱為FxLMS算法。前饋FxLMS算法結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 前饋FxLMS算法結(jié)構(gòu)圖

前饋FxLMS算法的步驟如下。

①采集輸入信號(hào)x(n)。

②計(jì)算濾波器的輸出信號(hào)u(n)：

(10)

式中：N為濾波器階數(shù)。

③輸入信號(hào)u(n)至次路徑。

④計(jì)算濾波-x信號(hào)xf(n)：

(11)

⑤計(jì)算誤差信號(hào)e(n)：

e(n)=d(n)-y(n)

(12)

⑥采用FxLMS算法，更新W(z)的權(quán)系數(shù)：

W(n+1)=W(n)-u×e(n)×xf(n)

(13)

2 改進(jìn)的算法

FxLMS算法的迭代穩(wěn)定性會(huì)受到誤差信號(hào)e(n)的影響。為了保證算法的穩(wěn)定性，本文提出一種改進(jìn)方法，即設(shè)計(jì)一種新的非線性變換函數(shù)對(duì)誤差信號(hào)e(n)作處理。

本文利用反雙曲正弦函數(shù)對(duì)誤差信號(hào)e(n)進(jìn)行變換，提出FxasinhLMS算法。變換后的誤差信號(hào)函數(shù)只有一個(gè)可調(diào)參數(shù)。其參數(shù)確定方法簡單，避免了選擇參數(shù)和估測(cè)閾值參數(shù)的麻煩。其誤差變換函數(shù)為：

(14)

式中：α為系數(shù);sinh-1為反雙曲正弦。

將式(14)代入式(13)，則濾波器進(jìn)行自適應(yīng)更新的迭代公式為：

W(n+1)=W(n)-u×φ[e(n)]×xf(n)

(15)

使用反雙曲正弦函數(shù)對(duì)誤差信號(hào)進(jìn)行非線性變換，使變換后的誤差信號(hào)具有界二階矩。反雙曲正弦函數(shù)的特點(diǎn)是連續(xù)單調(diào)有界、奇對(duì)稱，即當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→0，可以保證函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性。假設(shè)X是一個(gè)符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，定義Y=sinh-1(X)。因?yàn)榉措p曲正弦函數(shù)具有奇對(duì)稱特性，所以其期望E(Y)=0。根據(jù)方差的計(jì)算公式，Y的方差為：

s(Y)=E[Y-E(Y)]2

(16)

(17)

由維納濾波器原理可知，n時(shí)刻濾波器一定存在一個(gè)使得誤差最小的最優(yōu)解。因此，需要確定u的取值范圍，以確保算法收斂。

假設(shè)w0是最優(yōu)權(quán)系數(shù)矢量，w0xf(n)≈-d(n)，則偏差矢量ε(n)為：

ε(n)=w0-W(n)

(18)

在式(16)兩端分別減去w0，有：

W(n+1)-w0=W(n)-w0-uφ[e(n)]xf(n)

(19)

ε(n+1)=ε(n)+uφ[e(n)]xf(n)

(20)

定義均方偏差σ(n)為：

(21)

式(20)兩邊取歐式2范數(shù)并求期望，得到：

(22)

考慮到：

(23)

(24)

假設(shè)：

εT(n)xf(n)=[w0(n)-w(n)]xf(n)≈-[d(n)-y(n)]=-e(n)

(25)

那么，式(23)可以寫成：

Δ(n)=σ(n+1)-σ(n)<0

(26)

當(dāng)算法收斂，步長應(yīng)該滿足下列條件：

(27)

3 懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)

3.1 建立FxLMS算法的控制系統(tǒng)

系統(tǒng)核心是基于FxLMS算法的自適應(yīng)濾波器，采用Matlab Function進(jìn)行FxLMS算法的編寫。

控制仿真系統(tǒng)利用兩個(gè)傳遞函數(shù)模塊分別替代實(shí)際懸臂梁的主通道和次級(jí)通道。假設(shè)理想情況下次級(jí)通道和次級(jí)通道估計(jì)的傳遞函數(shù)相同。

3.2 建立ADAMS模型

本文以懸臂梁作為研究對(duì)象，借助ADAMS軟件建立懸臂梁有限元模型。ADAMS的工作柵格為默認(rèn)的笛卡爾坐標(biāo)系，以steel作為懸臂梁材料。懸臂梁材料的長、寬、高分別為900 mm、25 mm、1 mm，密度為7.80×10-6kg/m。楊氏模量為2.07×105Pa，泊松比為0.29。懸臂梁受到外界刺激會(huì)發(fā)生變形，所以要把懸臂梁構(gòu)件變成柔性體再作進(jìn)一步的處理。本文采用ADAMS/ViewFlex建立柔性體，以代替原先的剛性體。

聯(lián)合仿真需要ADAMS和Simulink兩個(gè)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)通信：首先，定義ADAMS的輸入變量為添加在懸臂梁根部和中間位置的兩個(gè)控制力，定義ADAMS的輸出變量為懸臂梁上五個(gè)標(biāo)記點(diǎn)位置的變化；然后，采用varval()函數(shù)對(duì)定義的輸入變量進(jìn)行處理，使得輸入變量與Simulink中的輸入信號(hào)進(jìn)行相關(guān)聯(lián)；最后，完成ADAMS和Simulink這兩個(gè)軟件之間的數(shù)據(jù)通信。

定義ADAMS的輸入輸出變量后，將懸臂梁有限元模型通過Control Plant模塊導(dǎo)出。

3.3 構(gòu)建聯(lián)合仿真系統(tǒng)

聯(lián)合仿真的目的是實(shí)現(xiàn)機(jī)械系統(tǒng)和控制系統(tǒng)一體化。首先，在Matlab/Simulink中輸入ADAMS模塊。ADAMS模塊如圖3所示。

圖3 ADAMS模塊

將圖3中的ADAMS模塊與基于FxLMS算法的控制仿真系統(tǒng)相連接，得到機(jī)械系統(tǒng)與控制系統(tǒng)一體化的懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)。懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)如圖4所示。

圖4 懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)

在懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)中，輸入信號(hào)為正弦信號(hào)。該信號(hào)的頻率為一階模態(tài)頻率14 Hz。因?yàn)樵诘碗A頻率振動(dòng)條件下，一階模態(tài)存在的能量是最大的。一階模態(tài)頻率14 Hz是通過給定ADAMS模塊一個(gè)掃頻信號(hào)，然后對(duì)模塊的輸出信號(hào)作頻譜分析所得到的。

聯(lián)合仿真試驗(yàn)中，F(xiàn)xLMS算法通過跟隨輸入信號(hào)產(chǎn)生輸出信號(hào)，利用其控制器產(chǎn)生控制力，再將其作用到懸臂梁模型需要消除振動(dòng)的位置，與輸入信號(hào)在該位置產(chǎn)生的響應(yīng)相互抵消，從而實(shí)現(xiàn)降低懸臂梁振動(dòng)。

4 仿真測(cè)試結(jié)果及分析

本文使用Matlab2016b、ADAMS2020這兩個(gè)仿真軟件，分別采用FxLMS、Fair、FxatanLMS和本文提出的FxasinhLMS算法在懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)中進(jìn)行仿真。通過仿真獲取每種算法的控制效果，并采用量化標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行控制效果的比對(duì)，從而比較四種算法的性能。四種算法的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 四種算法的仿真結(jié)果

設(shè)定仿真試驗(yàn)參數(shù)如下：作為控制器的自適應(yīng)濾波器階數(shù)為8；Fair算法中，閾值c=5；FxasinhLMS算法中，α=3；FxLMS、Fair、FxatanLMS、FxasinhhLMS算法中，固定步長μ=0.0 000 001；采樣頻率為0.001 Hz；采樣時(shí)間為400 s。

給定一個(gè)幅值1 V、頻率14 Hz的正弦信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)，利用FxLMS、Fair、FxatanLMS、FxasinhhLMS算法分別進(jìn)行聯(lián)合仿真。

對(duì)輸入信號(hào)x和FxLMS、Fair、FxatanLMS、FxasinhhLMS四種算法進(jìn)行頻譜分析。頻域結(jié)果如圖6所示。

圖6 頻域結(jié)果

圖6中，因?yàn)榧?lì)信號(hào)的頻率是14 Hz，所以四種算法均在14 Hz時(shí)功率譜出現(xiàn)尖峰。當(dāng)頻率大于14 Hz后，隨著頻率增大，四種算法穩(wěn)態(tài)誤差的功率譜均呈逐漸衰減趨勢(shì)。在頻率為14 Hz時(shí)，四種算法對(duì)懸臂梁的振動(dòng)都有衰減。該結(jié)果表明，四種算法均對(duì)懸臂梁振動(dòng)有著一定的控制效果。其中，F(xiàn)xasinhhLMS算法的衰減效果最好。

主動(dòng)振動(dòng)控制應(yīng)用中，算法的控制效果通常采用穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度這兩個(gè)指標(biāo)來評(píng)估。在本文的懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)仿真試驗(yàn)中，將系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)作為起點(diǎn)，往后取100個(gè)采樣點(diǎn)；以這100個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)誤差的平均值作為穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)，并以系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)所用的迭代次數(shù)作為收斂速度指標(biāo)。通過聯(lián)合仿真得到的四種算法穩(wěn)態(tài)誤差和迭代次數(shù)如表1所示。

表1 四種算法穩(wěn)態(tài)誤差和迭代次數(shù)

由表1可知，基于FxasinhhLMS算法的仿真系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為3.56×10-4，經(jīng)過160 000次迭代達(dá)到穩(wěn)定，其穩(wěn)態(tài)誤差和迭代次數(shù)均小于其他三種算法。經(jīng)過比對(duì)，F(xiàn)xasinhhLMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差減少了37%～52%、迭代次數(shù)減少了19%～57%。

5 結(jié)論

本文在Simulink中建立懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)，采用FxLMS算法作為自適應(yīng)濾波算法，并基于傳統(tǒng)FxLMS算法提出一種新的主動(dòng)振動(dòng)控制FxasinhLMS算法。該算法在原有的算法基礎(chǔ)上對(duì)誤差信號(hào)進(jìn)行了改進(jìn)，并利用反雙曲正弦函數(shù)對(duì)誤差信號(hào)進(jìn)行非線性變換。分別將FxLMS、Fair、FxatanLMS、FxasinhhLMS算法在懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)中進(jìn)行仿真。對(duì)比仿真結(jié)果可知，與FxLMS、Fair、FxatanLMS相比，F(xiàn)xasinhhLMS算法的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差減小了37%～52%、迭代次數(shù)減少了19%～57%。FxasinhhLMS算法有效地解決了傳統(tǒng)FxLMS算法無法平衡穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度的問題，使系統(tǒng)性能得到了明顯的改善。