基于同步提取變換的磁共振信號提取方法

王 琦，杜海龍，張 蒙，韋 健

（1.吉林大學通信工程學院，長春 130026；2.中國能源建設集團遼寧電力勘測設計院有限公司，沈陽 110000）

0 引言

磁共振探測（Magnetic Resonance Sounding，MRS）技術以其直接、定量、準確和高效等優點，已應用于地下水探測、區域水資源調查和地質災害預警等領域［1-3］。然而，由于城市和村莊等環境中存在大量的隨機噪聲，導致數據的信噪比較低，難以為后續的水文解釋提供可靠結果［4-5］。因此本文針對隨機噪聲干擾下磁共振信號提取方法展開研究。

時頻分析方法將一維時間域信號拓展到二維時頻域，實現信號的時頻分布信息的定位，反映信號的能量分布狀態，利用時間和頻率的聯合函數來表征信號［6-7］。其中，短時傅里葉變換（Short-time Fourier Transform，STFT）作為一種基本的時頻分析方法，是在傅里葉變換的基礎上，利用窗函數截斷非平穩信號，再對該信號做傅里葉變換的方法［8］。但是，該方法無法同時滿足時間和頻率的高分辨率要求。因此，于剛等［9-10］提出了同步提取變換（Synchro-extracting Transform，SET）方法，實現了基于SET 的挖掘機振聲信號時頻分析。同步提取變換是在STFT 的基礎上，通過構造同步提取算子，僅利用瞬時頻率位置的時頻系數生成新的時頻譜，達到提高能量集中度的目的。而且，SET信號恢復需要較少的參數，因此可以更方便地實現信號重建［11-12］。因此，本文提出將SET 應用于地面磁共振信號的提取。

本文介紹了MRS的基本特征，基于SET 原理，使MRS數據的時頻系數集中在拉莫爾頻率位置，并利用同步提取算子（Synchro-extracting Operator，SEO）得到MRS數據的SET 時頻譜。進一步，基于脊重建原理，實現MRS信號的重構。最后，本文研究了不同噪聲水平及不同窗寬對MRS信號提取結果的影響。

1 磁共振信號提取方法

1.1 MRS信號特征

地面核磁共振通過向地面上的線圈回路中通入Larmor頻率的交變電流，激發地下水中的氫質子，使其旋轉軸發生偏轉，即發生核磁共振現象。當交變電流停止后，氫質子自旋逐漸恢復到地磁場方向，稱為弛豫過程。此時，地面上的線圈回路接收到MRS信號為

式中：e0表示FID信號的初始振幅；表示橫向弛豫時間；ω ＝2πfL，fL表示拉莫爾頻率；φ0表示初始相位。

MRS信號的傅里葉變換為

通常，線圈接收到的FID 信號的幅度約為500 nV，而環境噪聲可達100 nV 以上。因此，采集到的MRS數據的信噪比較低，導致信號提取準確率低。

1.2 磁共振信號的同步提取變換

同步提取變換是作為短時傅里葉變換的后處理過程，因此，首先對MRS數據進行STFT變換［13-14］：

式中：g（u-t）為窗函數，由于MRS信號隨時間呈指數衰減趨勢，本文利用高斯窗g（t）＝。設MRS 信號的頻率fL＝1.81 kHz，e0＝50 nV，＝0.5 s，φ0＝π／4 rad，窗函數中a＝0.25。得到時頻譜如圖1（a）所示，可以看出MRS 能量主要分布在1.79～1.83 kHz之間，并在1.81 kHz處達到最大值，STFT不能精確地表示信號的時頻特征。

圖1 MRS信號的時頻譜結果

對式（3）增加附加相移eiωt，則

根據帕斯瓦爾定理，式（3）可以寫為［15］

式中，V（ξ）表示V（u）的傅里葉變換。

將式（2）代入式（5），得到FID信號的STFT為

可知，FID的能量集中在ω0附近，并在ω0處取得最大值。為了提高FID 的時頻分辨率，使能量集中在ω0處，引入同步提取算子SEO，得到FID信號的同步提取變換為［9］：

1.3 磁共振信號的重構

SET變換可近似為時頻譜的脊提取［16］，因此可利用脊重建方法實現MRS信號的重構。由于MRS 時頻系數的瞬時頻率為

則SET變換可以寫為

即當ω等于瞬時頻率時，

因此，重構得到的MRS信號為

2 實驗結果與分析

2.1 實驗步驟

為了驗證基于SET方法提取MRS信號的有效性，本文仿真構造一組MRS 信號：fL＝1.81 kHz，e0＝100 nV，＝0.4 s，φ0＝π／3 rad，并加入10 nV的高斯噪聲，采樣頻率為10 kHz，采樣時間為1 s，如圖2 中黑色曲線所示，對其進行SET 變換，時頻譜如圖3 所示。可以看出，時頻譜能量主要集中在1.81 kHz，受隨機噪聲影響，時頻譜在0.7～1 s間存在微小波動。利用式（11）得到MRS信號重構結果如圖2 中藍色曲線所示，可以看出重構結果包絡光滑，不存在明顯的隨機噪聲。進一步，將重構后的MRS信號與仿真的無噪信號相減，得到殘差如圖2 中灰色曲線所示，計算得到平均誤差為0.40 nV。因此可以得出，SET 方法適用于MRS信號的提取。

圖2 基于SET的MRS信號提取結果

圖3 MRS數據SET的時頻譜

2.2 窗函數對MRS信號提取結果的影響

研究了不同窗函數對MRS信號提取結果的影響，給出了高斯窗函數中a以步長0.1 從0.1 變化至0.5時對應的MRS 信號提取的統計結果（重復100 次實驗），如圖4 所示。圖4（a）為5 組不同的高斯窗函數，圖4（b）為不同高斯窗函數在3 組不同噪聲水平數據下對應的MRS信號的統計平均誤差。由圖4（b）可以看出，隨著噪聲水平的增加，基于SET 的MRS 信號提取精度降低。對于同一噪聲水平情況，當噪聲水平為5 nV時，高斯窗函數a＝0.3 時，平均誤差取得最小值，0.24 nV；當噪聲水平為10 nV時，高斯窗函數a＝0.4 時，平均誤差取得最小值，0.42 nV；當噪聲水平為10 nV時，高斯窗函數a＝0.4 時，平均誤差取得最小值，0.57 nV。可以得出，隨著噪聲水平的增加，適當增大窗寬，可以得到更加理想的MRS信號提取結果。

圖4 MRS信號提取結果隨高斯窗函數的變化規律

3 結語

本文針對磁共振信號的隨機噪聲干擾，提出了基于同步提取變換（SET）的MRS 信號提取方法。該方法在STFT的基礎上，通過構造同步提取算子，達到提高時頻譜系數能量集中度的目的。進一步，通過實驗結果分析，得出隨著環境噪聲水平的增加，適當增大SET窗函數寬度，可以提高MRS 信號提取結果精度。本文內容可以作為“信號與系統”“現代信號處理”等課程的提升性實驗內容。