基于位移置換法的梁變形計算機仿真研究

劉燦昌，李銀山，李欣業，王新筑

（1.山東理工大學交通與車輛工程學院，山東淄博 255000；2.河北工業大學機械工程學院，天津 300401；3.重慶大學航空航天學院，重慶 400044）

0 引言

梁變形計算常用到能量法和力矩—面積法，這兩種方法能較快計算梁特定點的變形，對于復雜載荷作用工況，存在計算工作量大的問題［1-4］，限制了其在復雜載荷環境下的工程應用。改進的積分變形計算法能減少積分常數的數量，簡化變形計算過程［3-5］，提高計算效率。喻曉今［6］推導出梁的撓度和轉角的置換法位移方程，利用置換法求解一端外伸梁變形，提出一種基于疊加無需積分的變形計算方法。邢譽峰等［7］求解一端固支均勻拉壓桿、歐拉梁和鐵木辛柯梁在任意次多項式形式分布載荷作用下的精確解。吳曉等［8］考慮幾何變形協調關系，求出桁架節點位移的解析解。麻凱等［9］提出一種基于Epsilon 算法和改進的紐曼級數結構靜態位移的一階和二階靈敏度近似計算方法。彭如海［10］研究了梁上特殊點的位移置換函數，提出一種求解梁特定點的變形位移置換方法。

計算機代數系統在計算機輔助教學等領域得到廣泛應用［11-18］。高云峰［19］、李銀山等［20-21］利用位移置換函數，發展了一種計算機輔助計算方法。Matlab 輔助教學系統有利于提高教學效率，加強學生對基本概念和原理的理解，可以拓寬學生的知識面，增強學生解決工程問題的能力［22-23］。

1 位移置換法

1.1 懸臂梁的位移置換法

位移置換法利用單位力作用下互等位移與載荷疊加計算梁任意一點變形的一種計算方法。如圖1 所示。以求解懸臂梁自由端的撓度為例來引進位移置換法。設O端固定，A為自由端，長為l，抗彎剛度為EI的懸臂梁上受到任意分布載荷q(x) 作用，求A端撓度vA。

圖1 任意分布載荷作用的懸臂梁

如圖2 所示，由位移互等定理知道，若分別在A處和x處作用單位力F0＝1，則在A處單位力引起x處的位移δq(x，l)［見圖2（a）］與在x處的單位力引起A處的位移δq(l，x)［見圖2（b）］應相等：

圖2 位移互等定理

由疊加原理可知同樣，為求如圖1 所示梁A端的轉角θA，對位移采用類似的置換方法可得：

式中，δm(x，l)為在A處的單位力偶矩Me0＝1 引起x處的撓度。

如圖3 所示，把上述方法推廣到分布彎矩m(x)，集中力Fi，集中力偶矩Mei情況。處理集中載荷時應用狄拉克δ函數的定義和性質，于是有：

圖3 任意載荷作用的懸臂梁

定理1設懸臂梁（長為l，抗彎剛度EI）上承受分布力q(x)，分布彎矩m(x) 以及在ai處（集中力）的Fi，在bi處的集中力偶矩Mei的共同作用。則端點A的撓度和轉角分別為：

1.2 位移置換法的應用

定理1 的梁變形計算方法方法可推廣到其他邊界條件，在任意載荷作用下位移求解問題。如圖4 所示。

圖4 任意邊界條件的指定點位移

結構在C處的撓度v(ξ) 和轉角θ(ξ) 的計算步驟為：步驟1邊界條件不變，在x＝ξ 處只作用一單位力F0＝1［見圖5（a）］。

圖5 單位載荷作用下的位移

1.3 靜定梁位移置換函數

圖6 位移置換函數

位移置換函數可以查材料力學手冊，或者采用連續分段獨立一體化積分法得到。

2 計算機仿真算例

算例1如圖7 所示，已知：L＝15 m，q＝3 kN／m，受復雜載荷懸臂梁，試求B點的撓度。已知梁各段彎曲剛度EI為常數。

圖7 復雜載荷作用下的懸臂梁

懸臂梁的撓度如圖8 所示。

圖8 算例1懸臂梁撓度圖

算例2如圖9 所示，受復雜載荷的外伸梁，試求C點的撓度和轉角。已知梁各段彎曲剛度EI為常數。

圖9 復雜載荷作用下的外伸梁

已知：L＝10 m，q＝8 kN／m，F＝

解：位移置換法。

求C點的撓度和轉角

外伸梁的撓度如圖10 所示。

圖10 算例2外伸梁撓度圖

3 用連續分段獨立一體化積分法求位移置換函數

3.1 連續分段獨立一體化積分法

以懸臂梁為例，介紹連續分段獨立一體化積分法求位移置換函數的步驟如下：

步驟1建立撓度的（載荷集度型）四階導數微分方程，懸臂梁分為兩段，各段的撓曲線近似微分方程為

步驟2積分1 次得剪力方程的通解。

步驟3積分2 次得彎矩方程的通解。

步驟4積分3 次得轉角方程的通解。

步驟5積分4 次得撓度方程的通解。

步驟6根據邊界條件和連續光滑條件確定積分常數：

3.2 Maple軟件仿真計算過程

計算步驟：

步驟1加載繪圖庫。

步驟2建立載荷分布函數。

步驟3求解載荷集度型四階導數微分方程積分4 次得撓度通解。

步驟4建立邊界條件和連續光滑條件方程確定積分常數。

步驟5建立邊界條件和連續光滑條件方程確定積分常數。

步驟6求解單位力作用下的撓度函數。

步驟7計算單位力的值。

步驟8繪圖整理。

4 結語

本文將位移置換法由求解梁特定點變形計算推廣到一般點的變形計算，發展了一種梁變形計算簡化方法。研究了位移置換函數確定方法，給出了多邊界梁在復雜載荷作用下位移置換函數，利用位移置換法給出梁變形解析解。利用Maple程序計算任意節點位移數值，得到梁變形計算表達式。