一類有限鏈環上的厄米特自正交碼

鐘家偉

(安徽信息工程學院 通識教育與外國語學院，安徽 蕪湖 241000)

量子糾錯碼(QECCS)理論被廣泛應用于量子通信中，解決因消相干對抗噪聲引起的誤差問題。對于由維數q≥2的n個子位組成的量子位，即所謂的量子比特，量子碼C=((N,K))q是Hilbert空間(Cq)?n的k維子空間。若碼C的維數qk,則記C=[n,k,d]q，其中，d是碼C極小距離。最小距離d的碼能夠糾正不超過1+d/2的子位的錯誤。量子糾錯碼的Singleton界滿足：n-k≥2(d-1)，若等號成立，則稱此量子碼為量子MDS碼。

文獻[1]提出了將量子碼的研究轉化為對厄密特自正交碼的構造問題，自此，對厄密特自正交碼的研究逐漸成為編碼愛好者研究的重點。文獻[2]研究了有限鏈環Fq+uFq上的循環碼為自正交碼的等價條件；文獻[3]研究了剩余類環Z2m上循環自正交碼的結構方法。文獻[4]研究了q元域上的上最大極小距離大于1+d/2循環自正交MDS碼的結構方法。同時，利用有限環上的自正交碼構造了許多具有良好參數的量子最優碼或漸進優碼[5-8]。文獻[9]根據有限域上線性碼是厄米特LCD碼和厄米特自正交碼的判定條件，構造出了4類四元厄米特LCD碼和厄米特自正交碼。文獻[10]構造了q元域上的廣義厄米特自正交MDS碼存在的充要條件，并構造幾類具有極小距離的量子碼。

1 基礎知識

令R=Fpm，Rn為R上為長為n的線性碼，Rn[x]=R[x]/(xn-1)，給定任意λ∈R*,定義R上的λ常循環移位為σλ(x0,x1,…,xn-1)=(λxn-1,x0,…,xn-2)。若令C是R上長為n的碼字，對于任意碼字c∈C都有σλ(C)∈C成立，則稱C為λ常循環碼,特別地,當λ=1時,有σ(C)=C成立，則稱C為R上的循環碼。

假設x=(x0,x1,…,xn)和y=(y0,y1,…,yn)是R上任意的兩個長為n的碼字，定義x,y的歐幾里得內積為：

x·y=x0y0+x1y1+…+xn-1yn-1。

設C是為[n,k]線性碼，定義碼C的對偶碼為：

定義碼C的厄米特對偶碼C⊥H為：

若C?C⊥，則稱C為自正交碼；若C=C⊥，則稱C為自對偶碼；若C∩C⊥={0},則稱C為LCD碼。若C?C⊥H，則稱C為厄米特自正交碼；若C=C⊥H，則稱C為厄米特自對偶碼；若C∩C⊥H={0}，則稱C為厄米特LCD碼。

令α=(α0,α1,…,αn-1)∈Rn，其中，αi∈R，i=1,2,…,n-1，R*表示R的非零子集，v=(v0,v1,…,vn-1)∈(R*)n，定義廣義R-S碼[9]為：

GRSk(α,v)={(v0f(α0),v1f(α1),…,vk-1f(αk-1))|f(x)∈Rn[x],deg(f(1))≤k-1}。

易得，GRSk(α,v)的生成矩陣為：

則GRSk(α,v)為R上的參數為[n,k,n-k-1]的MDS線性碼，易知其對偶碼也是MDS線性碼。

令R=Fq+uFq={a+ub|a,b∈Fq}，其中，u2=0。環R是一個局部有限鏈環，環R上長為n的線性碼是Rn的R-子模。

2 環R上的厄米特自正交碼

假設C是環R上長為n的線性碼，則定義C的剩余碼C1以及撓碼C2分別為：

根據中國剩余定理可知C=(1+u)C1⊕uC2。

定義2.1R到R的廣義Gray映射:

θ(a+bu)=(b,a+b)，

Rn到R2n的保距映射:

φ(c)=(b,a+b)，

其中，c=(a0+ub0,a1+ub1,…,an-1+ubn-1)，a=(a0,a1,…,an-1)，b=(b0,b1,…,bn-1)。

定義2.2[11]對任意的a∈R，定義R到N的齊次重量函數wt(a)：

a

設C為R上的線性碼，則定義C上任意碼字c=(c0,c1,…,cn-1)∈C的齊次重量wt(c)定義如下：

齊次距離d(C)定義為：

d(C)=min{wt(c)|c≠0,c∈C}。

取R中的向量：v=(1,1,1,…1)，w=(0,1,2,…pm-1)，

令：c0=w?v;c1=v?w，

其中，?表示R上的張量積運算。

定義2.3對于R中任意元素x都可唯一表示為：

x=a+bu，

其中a,b∈R。若存在映射φ使得：

φ(x)=ac0+bc1，

引理2.5設C為R上長為n的線性碼，φ(C)是的廣義Gray映射，則：

d(C)=dh(φ(C))。

引理2.6[9]令1≤t≤q，則：

(2)當n=t(q+1)時,R上參數為[t(q+1),k,t(q+1)-k+1]厄密特自正交MDS碼存在的充要條件為1≤k≤t-1。

證明：由C1,C2為長為t(q-1)的自正交碼,由引理2.5知φ為R到R的保距映射故R上厄密特自正交碼的極小距離等于R上線性碼φ(C)的極小距離且也為MDS碼。由于C=(1+u)C1⊕uC2,根據所定義的齊次距離，C的信息位k滿足ki≤k≤kiq，i=1.2。綜合引理2.6中C1、C2所給參數，可證得C的參數為[t(q-1),k,d(φ(C))]。

同理可得，當n=t(q+1)時的情形。

定理2.8 設C=(1+u)C1⊕uC2為R上參數為[t(q+1),k,d(φ(C))]的厄密特自正交MDS碼的充要條件為C1為參數[t(q+1),k1,t(q+1)-k1+1]的厄密特自正交MDS碼，C2為參數[t(q+1),k2,t(q+1)-k2+1]的厄密特自正交MDS碼，其中1≤k1,k2≤t-1，ki≤k≤kiq.i=1.2。

推論2.9設C為R上長為n的厄密特自正交MDS碼，則φ(C)為R上長為nq的厄密特自正交MDS碼。

推論2.10設C為R上長為n的厄密特自正交MDS碼，則設C⊥也是R上長為nq的厄密特自正交MDS碼。

3 應用舉例

例3.1當q=4,t=2時，根據引理3.6(1),則存在四元[6,3,4]厄米特自正交MDS碼和四元[6,4,3]厄米特自正交MDS碼，根據定理3.7，則存在F4+uF4上參數為[6,4,3]的自正交MDS碼。

例3.2當q=9,t=5，根據引理3.6(2)，則存在四元[50,42,9]厄米特自正交MDS碼和四元[50,45,6]厄米特自正交MDS碼，根據定理3.8則存在F4+uF4上參數為[50,42,9]的自正交MDS碼。

4 結語

有限域上量子碼的研究已逐漸成熟并已運用于量子通信領域中，但對于有限環上量子碼的研究尚處于初級階段，有限環的上的自正交碼研究為構造MDS量子碼奠定了理論基礎。通過所定義有限環上的齊次重量到有限域上的漢明距離的保距廣義Gray映射，構造了域上厄密特自正交MDS碼的方法。后續可對其他有限環上自正交碼和量子碼、有限非鏈環上的自正交碼和量子碼以及重量分布、周期分布、覆蓋半徑等相關性質開展研究。