基于壓電分流技術的PT 對稱梁散射特性研究

王剛，羅彩明，張曉東

（湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南長沙 410082）

宇稱-時間（Parity-Time，PT）對稱由Bender 和Boettcher 于1998 年提出［1］，他們發現在滿足PT 對稱的條件下，系統的哈密頓量即使是非厄米的也可以具有實數的本征值.系統具有PT 對稱性的條件是勢函數共軛對稱，即勢函數的實部偶對稱、虛部奇對稱.PT 對稱系統的一個重要性質為PT 對稱性的自發性破缺，具體表現是：當勢函數虛部在某一閾值以下時，哈密頓量的本征值全部為實數，系統處于PT對稱相；當勢函數虛部越過該閾值時，哈密頓量的本征值開始有復數產生，此時對應于PT 破缺相.這一閾值也被稱為相變點或奇異點（Exceptional Point）.PT 對稱將量子力學拓展到了非厄米范圍，此后它便成了量子力學中的一個重要研究方向.現階段非厄米PT 對稱的研究工作已經拓展到光學和聲學領域中，表現出許多奇特的物理現象.在光學領域的研究中，調節折射率的分布，使折射率在傳播方向上滿足實部偶對稱、虛部奇對稱，即可構造PT 對稱光學系統［2-6］；而在聲學領域的研究中，當聲學系統滿足一定條件時，它也會有PT 對稱性，例如Fleury 等人［7］通過調節兩個麥克風連接的阻抗使得麥克風的等效質量密度共軛對稱，從而利用PT 對稱性實現了一種聲學隱身傳感器.

PT 對稱性的關鍵點在于引入均衡的增益和損耗，而目前，固體介質中針對彎曲波的PT 對稱性的研究相對較少，其中一個重要的原因是自然介質難以實現能量損耗和能量增益之間的平衡.壓電材料由于能夠實現機械能與電能之間的轉化，并且具有易于調控的特點，有望解決這一問題.Christensen 等人［4］利用壓電半導體中的聲電效應構造了聲子PT對稱系統，并分析了其中的單向無反射現象.Hou 等人［8］基于壓電分流單元，提出了一種可調PT 對稱系統，通過改變分流電路的阻抗便可以調節PT 對稱系統奇異點出現的頻率.上述研究工作所提出的PT 對稱系統均是針對縱波而言的，所獲得的研究成果為PT 對稱系統的應用奠定了理論基礎.而與縱波相比，彎曲波的理論模型更為復雜，因此針對彎曲波的PT對稱系統同樣值得研究.

本文首先基于歐拉梁的假設，推導了針對彎曲波的PT 對稱條件；然后基于該條件，利用壓電分流單元設計一種PT 對稱梁，并采用等效介質法和有限元仿真，得到增益單元、損耗單元的等效質量密度和等效彎曲剛度；最后通過傳遞矩陣法和有限元仿真證明了PT 對稱梁中的單向無反射現象，并通過計算散射矩陣的特征值和特征向量說明了單向無反射現象源于奇異點的存在.本文所提出的PT 對稱梁對于彎曲波有許多潛在的應用，包括增強傳感、彎曲波放大和非對稱控制等.

1 PT 對稱梁的設計與分析

1.1 彎曲波PT 對稱條件

根據歐拉梁假設，彎曲波沿x軸傳播時滿足控制方程［9］：

式中：w(x)、Deff(x)、ρeff(x)和hb分別表示梁的橫向位移、等效彎曲剛度、等效質量密度和厚度.若梁滿足PT對稱性，則根據式（1）可以得到：

公式（3）和公式（4）表明，若滿足PT 對稱性，則要求等效質量密度ρeff(x)和等效彎曲剛度Deff(x)關于原點共軛對稱.

1.2 PT 對稱梁設計

壓電分流單元已經被證明可以有效地改變基體材料的等效彎曲剛度而幾乎不改變其等效質量密度［10］，因此，可以通過設計合理的壓電分流單元使其滿足公式（3）和（4）所提出的等效質量密度和等效彎曲剛度共軛對稱條件.圖1（a）為所設計的PT對稱梁示意圖，基體梁上表面貼有兩塊壓電片，兩塊壓電片分別連接由正、負電阻與電感并聯組成的分流電路，從而與基體梁部分構成損耗單元、增益單元.分流電路中，正、負電阻的作用分別是衰減和放大彎曲波.正電阻Rsh和電感Lsh并聯后的分流阻抗ZL、負電阻-Rsh與電感Lsh并聯后的分流阻抗ZG分別為：

式中：ω為角頻率.

PT 對稱梁中的負電阻可以通過圖1（b）所示的Non-Foster電路來實現［11-12］，大電感可以用圖1（c）所示的Antoniou’s 模擬電感電路實現［13-14］.此外，分流電路中的電感會與壓電片的固有電容產生諧振，從而使得增益單元、損耗單元的等效彎曲剛度Deff(x)與彎曲波頻率相關，該現象在第2節進一步說明.

圖1 PT對稱梁示意圖、Non-Foster電路及Antoniou’s模擬電感電路Fig.1 Schematic illustrations of PT symmetric beam，the Non-Foster circuit and the Antoniou’s circuit

1.3 PT對稱梁的特性分析

本節基于等效介質理論計算增益單元、損耗單元的等效參數，并通過傳遞矩陣法，針對圖1（a）所示PT 對稱梁，計算彎曲波分別從左端和右端兩種入射情況下的透射系數和反射系數.同時，使用有限元軟件COMSOL Multiphysics 進行有限元仿真，以驗證理論計算結果的準確性.

如圖2 所示，令基體梁的厚度及彈性模量分別為hb、Eb，壓電片的厚度和長度分別為hp、Lp.假設壓電片除了垂直于x軸的端面外，其余表面均為自由狀態，且壓電片僅在z軸存在極化，因此壓電片的本構方程可簡化為［15-16］：

圖2 等效參數求解原理示意圖Fig.2 Configurations to calculate the effective parameters

式中：T1和S1分別為壓電片x軸方向的應力和應變；D3和E3分別為壓電片的電位移和電場強度d31分別對應于壓電片柔度系數、恒應力介電常數、壓電應力常數.

另外，圖2 所示單元內任意一點x方向的位移u(x，z) 為縱波位移u0(x) 與彎曲波位移wp(x) 的組合：

由于壓電片的厚度與基體梁的厚度處于同一個數量級，因此電場強度E3在z方向不能被認為是恒定的.本文采用文獻［17］提出的假設，認為電場強度E3在z方向呈線性分布，即電場強度E3和電勢V(x，z)可以用如下公式表述：

電位移D3滿足控制方程［18］：

聯立公式（6）～公式（10），便可以求出系數a(x)、b(x)、c(x)和壓電片上表面的電壓Vup［17］：

以基體梁的中性面為基準面，對應力求積分，可以得到單元x-y截面上的彎矩M、法向力N和剪切力T：

其中系數I、J、K、F和G通過下式計算：

基于公式（15）～公式（17），圖2所示單元的運動控制方程為：

令γn表示特征方程（21）的特征根，則縱波和彎曲波wp(x)的表達式分別為：

對于沒有貼壓電片的基體梁，縱波wb(x)和彎曲波解耦，運動控制方程分別為［19］：

對于基體梁中未貼壓電片的部分及貼有壓電片的部分，本文分別定義向量Yb和Yp：

根據公式（22）～公式（28），公式（15）～公式（17）可以用以下矩陣形式表述：

其中：

根據連續性條件，結合公式（31）和公式（32），可以得到增益單元或損耗單元的傳遞矩陣Mi，其中i=G表示增益單元，i=L表示損耗單元：

式中：Pp為對角矩陣.

1.3.1 等效參數

本文僅對波長遠大于單元長度Lp的低頻彎曲波進行分析，采用等效介質理論計算結構的等效參數［20］.因為增益單元和損耗單元的等效參數求解原理相同，對應的等效參數計算過程相同，所以本文僅以損耗單元為例介紹等效參數求解過程.

令x=0，根據公式（36），Yb(Lp)與Yb(0)之間滿足：

求解等效質量密度ρeff時，需要獲取單元的質量，這要求單元任意一點的橫向加速度均相同.如圖2（a）所示，損耗單元整體相對于虛線方框所示的原始位置作幅值為A1的橫向簡諧振動，并且限制其左、右邊界的縱向位移和旋轉角度為0.依據上述邊界條件，基于公式（38）可求解向量中Yb(0)、Yb(Lp)的未知元素，從而得到損耗單元的等效質量密度ρeff：

如圖2（b）所示，求解等效彎曲剛度Deff時，在單元左、右兩側相對于虛線方框所示的原始位置分別施加大小為-α1、α1的轉角，令wp(0)=wp(Lp)=0.彎曲波和縱波相互耦合，若限制單元兩端縱向位移為零，則需要確定增益單元、損耗單元的中性面.但是該中性面對于本文中的增益單元、損耗單元來說很難確定，因此，本文只限制單元左邊界的縱向位移(0)=0，而令右邊界的縱向力為零.依據上述邊界條件便可以基于公式（38）求解向量中Yb(0)、Yb(Lp)的未知元素，從而得到等效彎曲剛度Deff：

為了驗證等效介質法計算結果的正確性，本文針對損耗單元和增益單元，使用COMSOL 分別建立了如圖2所示2種情況下的二維有限元模型.有限元模型中，認為單元滿足平面引力假設，施加的邊界條件與等效介質法中的邊界條件一致.

求解等效質量密度ρeff時，分別在左、右邊界上，對單元所受的z方向力求線積分即可得到對應邊界上的剪切力T(0)、T(Lp)；而求解等效彎曲剛度Deff時，在右邊界上對單元所受的y方向力矩求線積分可得到力矩M(Lp).得到剪切力和力矩之后，便可以通過公式（39）和公式（40）分別計算得到單元的等效質量密度ρeff及等效彎曲剛度Deff.

等效參數法和有限元仿真中，損耗單元和增益單元的幾何參數及材料參數如表1 所示.另外，電感與壓電片的固有電容會產生諧振，因此取諧振頻率f0=500 Hz，分流電阻Rsh=1 000 Ω.等效參數法和有限元仿真的計算結果在2.1節進行討論.

表1 損耗單元和增益單元的幾何參數及材料參數Tab.1 Geometrical and material parameters of loss and gain units

1.3.2 透射系數及反射系數

為了表述方便，本文用下標l表示彎曲波從左端入射，用下標r 表示彎曲波從右端入射，將彎曲波從左端入射時的透射系數和反射系數分別定義為左透射系數tl和左反射系數rl.同理，定義彎曲波從右端入射時的右透射系數tr和右反射系數rr.

在PT 對稱梁的左端或右端施加一個單位位移，即

式中：L表示兩塊壓電片之間的距離.求解公式（41）便可以分別得到左透射系數tl、左反射系數rl、右反射系數rr、右透射系數tr，進而可以得到彎曲波的散射矩陣S［21］：

為驗證傳遞矩陣法計算結果的正確性，本文使用COMSOL 軟件建立如圖3 所示的有限元仿真模型，基體梁上含有增益單元、損耗單元.分別在左端激勵點和右端激勵點施加力載荷，產生彎曲波.為了抑制邊界反射，基體梁的兩端各連接一個完美匹配層，其他邊界保持自由狀態.完美匹配層的長度至少為研究波長的1∕2［22］，在本文中，波長的最大值約為0.384 4 m，則本文中完美匹配層的長度設為0.2 m.由于激勵點關于原點O對稱，所以觀測點相對原點也要對稱分布.為了避免受到激勵點的影響，觀測點與激勵點之間要保持一定距離.觀測點A和觀測點B的坐標分別為（-0.35 m，0）和（0.35 m，0），左端激勵點和右端激勵點的坐標分別為（-0.5 m，8.0×10-4m）和（0.5 m，8.0×10-4m）.圖4 為試驗裝置圖，在圖4 中，梁的兩端附著有藍丁膠，用來減少反射.信號發生器產生的信號經過功率放大器后作用在壓電激勵器上，產生彎曲激勵.激光測振儀用來測量指定點的位移響應，它與信號調理器、數據采集卡、電腦共同組成信號采集處理系統.試驗中所需要的負電阻和電感可以分別通過圖1（b）和圖1（c）所示電路來實現.

圖3 有限元仿真示意圖Fig.3 Configuration for finite elements simulation

圖4 試驗裝置圖Fig.4 Diagram of experimental setup

傳遞矩陣法和有限元仿真中，壓電片長度Lp=45 mm，兩塊壓電片之間的距離L=300 mm，分流電阻Rsh=1 900 Ω，分流電路的諧振頻率f0=500 Hz，其他參數與表1 中所列參數相同.有限元仿真模型的長度為2 005 mm.

2 結果和討論

2.1 等效參數

基于上述等效介質法和有限元仿真，計算得到增益單元和損耗單元的等效質量密度ρeff和等效彎曲剛度Deff.為了表達方便，本文采用歸一化等效質量密度ρeff∕ρb和歸一化等效彎曲剛度Deff∕Db來表征增益單元、損耗單元的等效參數.等效介質法和有限元仿真計算得到的歸一化等效參數分別如圖5 和圖6 所示.由圖5（a）可知，通過2 種方法得到的增益單元和損耗單元的歸一化等效質量密度實部Re(ρeff∕ρb)在計算頻率范圍內幾乎保持不變，并且與分流阻抗無關.由圖5（b）可知，歸一化等效質量密度虛部Im(ρeff∕ρb)數值很小，可以認為，等效質量密度ρeff在計算的頻率范圍內為實數.由圖6（a）和圖6（b）可以發現，增益單元和損耗單元的等效彎曲剛度Deff共軛.因此，本文提出的PT 對稱梁滿足公式（3）和公式（4）所提出的等效質量密度ρeff和等效彎曲剛度Deff共軛對稱條件.由于電感和分流電阻Rsh的存在，增益單元和損耗單元的等效彎曲剛度Deff與彎曲波頻率相關.等效介質法和有限元仿真獲取的結果總體上相吻合，存在部分差異的原因主要在于等效介質法存在的局限性，如壓電片z方向上電場線性分布的假設等.

圖5 歸一化等效質量密度Fig.5 The normalized effective mass density

圖6 歸一化等效彎曲剛度Fig.6 The normalized effective bending stiffness

為了進一步表征歸一化等效彎曲剛度Deff∕Db與分流電阻Rsh、彎曲波頻率的關系，本文采用等效介質法計算不同分流電阻Rsh及不同頻率的彎曲波激勵下損耗單元的歸一化等效彎曲剛度Deff∕Db，計算結果分別如圖7 和圖8 所示.由圖7 可知，當彎曲波的頻率遠離530 Hz時，分流電阻Rsh的取值不會影響歸一化等效彎曲剛度實部Re(Deff∕Db) 和虛部Im(Deff∕Db)，并且虛部Im(Deff∕Db)接近0，表明此時損耗單元幾乎沒有消耗彎曲波能量；當彎曲波頻率為530 Hz 附近時，歸一化等效彎曲剛度實部Re(Deff∕Db)出現極值，并且增大分流電阻Rsh會使得歸一化等效彎曲剛度虛部Im(Deff∕Db)數值減小，從而加強損耗作用.當分流電路的諧振頻率f0=800 Hz 時，可以發現圖8（a）和圖8（b）所示結果分別與圖7（a）和圖7（b）所示結果相近，只是歸一化等效彎曲剛度Deff∕Db的梯度變大，并且隨著分流電路諧振頻率f0的改變，極值出現的頻率變為850 Hz附近.

圖7 諧振頻率f0=500 Hz時損耗單元歸一化等效彎曲剛度與分流電阻Rsh、彎曲波頻率的關系Fig.7 The normalized effective bending stiffness of loss element in relationship to shunting resistance and flexural wave frequency when resonant frequency f0=500 Hz

圖8 諧振頻率f0=800 Hz時損耗單元歸一化等效彎曲剛度與分流電阻Rsh、彎曲波頻率的關系Fig.8 The normalized effective bending stiffness of loss element in relationship to shunting resistance and flexural wave frequency when resonant frequency f0=800 Hz

由圖5～圖8 可知，本文提出的PT 對稱梁滿足公式（3）和公式（4）所提出的等效質量密度ρeff和等效彎曲剛度Deff共軛對稱條件.通過改變分流電阻Rsh和諧振頻率f0，增益單元、損耗單元的彎曲剛度Deff會產生較大變化.因此，本文所提出的PT 對稱梁具有易于調控的特點.

2.2 透射系數、反射系數及散射矩陣

基于傳遞矩陣法和有限元仿真得到的透射系數和反射系數分別如圖9 和圖10 所示.圖9 表示彎曲波分別從左端和右端入射的情況下透射系數的幅值，由圖9 可知，2 種方法得到的透射系數幅值一致，這是因為PT 對稱梁具有互易性，即左透射系數與右透射系數相等.在圖9 中的陰影部分內，透射系數的幅值大于1，這是由于PT 對稱梁是非保守系統，與外界存在能量交換.圖10（a）和圖10（b）分別表示左反射系數幅值和右反射系數幅值.由圖10 可以發現，PT 對稱梁對彎曲波的非對稱散射特性，即當彎曲波分別從左、右兩端入射時，2 種情況下的反射系數幅值不相等，2 種情況下的反射系數都存在零點，該零點對應的彎曲波頻率即為單向無反射點，如圖10（a）中的520.5 Hz 及圖10（b）中的511 Hz.由圖9 可以發現，在單向無反射點511 Hz 和520.5 Hz，透射系數的幅值接近1.

圖9 透射系數幅值圖Fig.9 The amplitude of transmission coefficients

圖10 反射系數幅值圖Fig.10 The amplitude of reflection coefficients

根據PT對稱性，左反射系數rl、右反射系數rr、透射系數t之間滿足：

根據公式（44），可以得到廣義守恒定律［23］：

式中：T=|t|2表示透射率；Rl=|rl|2表示彎曲波左端入射時的反射率；Rr=|rr|2表示彎曲波右端入射時的反射率.

由公式（45）可知，當T＜1時，T+=1，表明彎曲波從左、右兩端入射時，PT 對稱梁中不存在耗散或者放大.當T＞1 時，T-=1，PT 對稱梁對彎曲波進行放大.在單向無反射點，由于反射系數為0，根據公式（45）可推知T=1，表明此時PT 對稱梁對彎曲波完全透射，這與圖9所示結果相符.

為了更好地闡述單向無反射特性，本文從有限元仿真的結果中，提取PT 對稱梁在2 個單向無反射點511 Hz 和520.5 Hz 下的歸一化彎曲波位移場幅值，結果如圖11所示.由圖11可知，區域Ⅰ和區域Ⅱ能直觀地體現PT 對稱梁的散射特性，區域Ⅰ代表左端激勵點到損耗單元左邊界的范圍；區域Ⅱ代表增益單元右邊界與右端激勵點之間的范圍.當511 Hz的彎曲波從左端入射時，區域Ⅰ中有明顯的干涉條紋，表明區域Ⅰ中入射彎曲波與反射彎曲波形成了駐波，導致區域Ⅰ中各點的彎曲位移幅值明顯不一致.當511 Hz 的彎曲波從右端入射時，區域Ⅱ中各點的彎曲位移幅值近似相等，表明區域Ⅱ中只有向右傳播的彎曲波而幾乎不存在反射彎曲波，并且區域Ⅰ和區域Ⅱ的彎曲位移幅值相近，表明此時PT 對稱梁對右端入射的彎曲波完全透射.當520.5 Hz 的彎曲波從左端入射時，區域Ⅰ中幾乎無反射彎曲波存在，并且彎曲波幾乎完全透射至區域Ⅱ；而從右端入射時，區域Ⅱ中反射彎曲波與入射彎曲波形成了駐波，導致區域Ⅱ中各點之間的彎曲位移幅值有較大差別.

圖11 兩個單向無反射點下的歸一化彎曲位移場幅值Fig.11 The normalized amplitude of flexural wave displacement fields at two unidirectional reflectionless points

通過散射矩陣S也可以表征PT對稱梁的散射性質.由公式（43）定義的散射矩陣，可以得到散射矩陣的特征值λ1、λ2和特征向量V1、V2，結果分別如圖12和圖13 所示.圖12 和圖13 中的實心圓點代表單向無反射點520.5 Hz，陰影部分表示透射率T＞1 的彎曲波頻率范圍.將圖12（a）與圖9所示結果對比可以發現：當T≤1 時，兩個特征值的模均為1，散射矩陣的兩個特征向量滿足，此時對應于PT對稱相；而當T＞1 時，其中一個特征值的模大于1，另一個特征值的模小于1，散射矩陣的兩個特征向量滿足此時對應于PT 破缺相［24］.在單向無反射點520.5 Hz，同時也是PT 對稱相與PT 破缺相之間的臨界點（相變點，也即奇異點），兩個特征值發生簡并.由圖13 可知，在單向無反射點520.5 Hz，兩個特征向量也會發生簡并，這說明PT 對稱梁的奇異點即為單向無反射點.此外，圖10（a）所示的單向無反射點也可以通過特征向量來解釋.例如，在520.5 Hz 的奇異點，兩個特征向量的第二分量為零，表明從左端入射時反射率為0，這與圖10（a）中的結果一致.

圖12 特征值幅值及相角Fig.12 The amplitude and phase angle of eigenvalues

圖13 特征向量實部和虛部Fig.13 The real and imaginary parts of the eigenvectors

3 結論

1）利用壓電分流單元設計一種針對彎曲波的PT 對稱梁，其中壓電分流單元連接了正∕負電阻并聯電感組成的分流電路，構成損耗單元、增益單元；采用等效介質法計算損耗單元、增益單元的等效彎曲剛度和等效質量密度，并通過有限元仿真對等效介質法進行驗證.結果表明，本文所提出的設計滿足等效質量密度和等效彎曲剛度共軛對稱.

2）采用傳遞矩陣法計算PT 對稱梁的透射系數和反射系數，并與有限元仿真的結果進行比較，驗證傳遞矩陣法的正確性.傳遞矩陣法和有限元仿真的結果表明，所提出的PT 梁針對彎曲波具有非對稱散射特性，并且存在單向無反射點.

3）通過計算散射矩陣的特征值與特征向量，分析PT 對稱梁的奇異點與單向無反射點之間的關系，結果表明，PT對稱梁的奇異點即為單向無反射點.