復合極值分布在臺風風暴潮增水重現期計算中的應用研究

付翔，梁森棟，李濤，吳少華

（國家海洋環境預報中心，北京 100081）

1 引言

風暴潮災害是我國最主要的海洋災害，特別是臺風風暴潮。自1989年有統計數據以來，風暴潮（含近岸浪）災害造成的直接經濟損失占全部海洋災害直接經濟損失的90%以上，嚴重的臺風風暴潮災害幾乎每年都會在不同地區發生[1]。因此，在涉及海洋工程建設、海岸環境損害評價、保險的災害風險計算以及氣候變化影響評估時，需考慮風暴潮的致災危險性。風暴潮致災因子的危險性體現在風暴潮的強度、頻率以及疊加浪、涌和天文潮后引起的高潮位上，極值發生頻率（P）是常用的定量化指標之一[2-3]。

極值發生頻率和重現期（T= 1/P）傳遞的是極端事件最大可能的信息。它有兩層含義：一是對于某頻率p的極值，下次出現該值的平均等待時間為Ta；二是在Ta 里出現該極值的次數平均是1 次[4]。對于臺風風暴潮，由于臺風影響具有隨機性，某一區域并不是每年都遭受顯著的臺風風暴潮，但在某些年卻可能遭受一次以上的臺風風暴潮災害，例如2014 年連續遭受臺風“威馬遜”和臺風“海鷗”襲擊的雷州半島，以及2015 年臺風“蘇迪羅”和臺風“杜鵑”連續登陸的福建中部。因此，如果使用年極值法來計算風暴潮重現期，每年只取一個極值，有可能會取到無臺風或弱臺風影響年的小值而舍去了頻發年的次大值，使得計算數據失真，估算的重現期極值出現較大偏差。考慮隨機事件發生次數的復合極值分布可以有效地解決這一問題。

引入一個描述無規律事件發生次數的離散型概率分布——Poisson 分布，使其與一個連續型的極值分布復合，組成的復合極值分布不僅能擬合每年實測變量隨機的數據序列，對于資料年限較短的情況也能可靠應用[5]。復合極值分布提出后，不少學者在臺風波高、極值風速和風暴潮的計算預測中進行了研究和應用[6-10]。目前Poisson-Gumbel 復合極值分布已被推薦用于臺風波高的設計值計算[11-12]。本文將該分布法用于臺風風暴潮的重現期計算，分析其優缺點及應用效果。

2 計算方法和資料

2.1 極值Ⅰ型頻率曲線分布

港口與海岸工程設計中，常采用極值Ⅰ型分布律推求指定頻率或重現期的風暴潮和極端高低潮位值[11-12]。它是廣義極值分布（Fisher-Tippett）的一種，最早由Gumbel[13]用于水文統計。其概率分布函數為雙指數形式，表示為：

式中，μ為位置參數，即分布的眾數；α為尺度參數，代表分布的離散性。這兩個參數可用多種方法進行估計[14-15]。

2.2 離散型Poisson分布

連續的極值Ⅰ型分布律僅能用于規律的極值樣本，如年極值或月極值等。而對于某一地區，每年臺風風暴潮的發生次數和強度都是隨機的，它們構成的是離散型分布。描述稀有事件發生次數的Poisson 分布非常適合用以描述臺風風暴潮的發生概率。假定某地一定強度以上的臺風風暴潮的發生頻次n符合Poisson分布，其概率質量函數表示為：

式中，λ為年平均臺風風暴潮發生次數。

2.3 Poisson-Gumbel復合極值分布

根據復合極值分布式[5-6]，給定設計頻率p′的極值分布為：

式中，p= 1 -p′。定義稱為重現期。將式（1）、（2）代入（3），則某T年一遇的臺風風暴潮值xp可表示為：

具體推算見文獻[6]。

2.4 過閾法

過閾法（Peak Over Threshold，POT）是極值理論下確定計算樣本序列的一種方法，即先確定某一觀測值下限（閾值），凡超過此值的均列入統計序列，而后再進行極值分布擬合。閾值的確定十分關鍵，閾值過高會使可利用的樣本數過少，從而導致分布函數估計的參數方差偏高；閾值過低又會使分布的漸進性得不到滿足，產生有偏估計。閾值的選取有多種方法，如平均剩余壽命圖法（Mean Residual Life Plot）、平均超越期望圖法（Mean Excess Plot）、Hill 圖（Hill plot）等。計算法包括峰度法和漸進均方誤差法等。

2.5 資料來源

臺風信息采用中國氣象局的《臺風年鑒》（1980—1988 年）和《熱帶氣旋年鑒》（1989—2016 年），以及熱帶氣旋資料中心最佳路徑數據集[16]（網址：http：//tcdata.typhoon.org.cn）中的資料（2017—2019年）。風暴潮數據來自國家海洋環境預報中心，在“908”專項臺風風暴潮災害歷史數據集基礎上進行延長和補充，增水值由臺風影響期間測站實測逐時水位值去除天文潮得到，實測水位值根據國家標準[17]進行觀測，數據經過嚴格的質量控制，排除了由于臺站遷址、儀器變更和地面沉降等產生的影響。

3 計算個例

三沙驗潮站位于福建省東北部（見圖1），幾乎每年都會受到臺風影響。以其為例，利用Poisson-Gumbel復合極值分布計算其多年一遇臺風風暴潮。

圖1 部分代表驗潮站分布圖Fig.1 Location of some typical water gauge

第一步：確定閾值。采用平均剩余壽命圖法[17]和百分位法確定閾值范圍，挑選1980—2019 年間進入距三沙站約500 km 范圍以內的臺風，共計171個，統計每次過程的最大風暴潮值，剔除其中的減水過程后建立經驗頻率序列。根據平均剩余壽命圖（見圖2），考慮到近似線性和置信區間范圍[18]，閾值可在20～80 cm 之間選取。取其中值，同時也是增水極值累積頻率的中位數50 cm 為統計閾值（見圖3），使其發生次數符合Poisson分布。

圖2 三沙站臺風風暴潮增水極值序列平均剩余壽命圖（虛線為95%置信區間）Fig.2 Mean residual life of typhoon storm surge extreme value in Sansha station（The dotted line is the 95%confidence interval）

圖3 三沙站臺風風暴潮增水極值累計頻率曲線Fig.3 Accumulative frequency curve of typhoon storm surge extreme value in Sansha station

第二步：Poisson 分布檢驗。統計三沙站超過閾值的臺風風暴潮過程，由式（2）計算其發生次數的理論頻率分布（見圖4），采用卡方分布χ2=進行檢驗。取顯著水平0.05，查自由度為5（k- 1）的卡方分布臨界表= 11.07，由χ2＜χ02.05可知三沙站最大增水50 cm以上的臺風風暴潮發生頻數符合Poisson分布。

圖4 三沙站臺風風暴潮發生頻次及概率密度分布Fig.4 Distribution of probability density and typhoon storm surge occurrence frequencies in Sansha station

如果發生頻數擬合不能通過檢驗，則應該適當提高閾值大小減少樣本量，再進行表1計算，直至通過檢驗。

表1 臺風風暴潮發生次數擬合檢驗Tab.1 Fitting test of the number of typhoon storm surge events

第三步：Gumbel 分布檢驗。P-P 圖是變量的累計比例與指定分布的累積比例之間的關系圖，可直觀地檢驗樣本數據是否符合指定概率分布。當數據符合指定分布時，P-P圖中各點近似呈一條直線，即代表樣本數據的點基本在代表理論分布的對角線上。根據P-P 圖，三沙站過閾臺風風暴潮極值序列符合Gumbel 分布（見圖5），也可采用Kolmogorov-Smirnov 檢驗進行數據序列的Gumbel分布檢驗。

圖5 Gumbel分布概率檢驗圖Fig.5 Gumbel distribution probability plot

第四步：復合極值分布擬合。根據式（4）擬合三沙站過閾風暴潮增水極值序列，利用有限樣本分布函數代替總體分布函數的Gumbel 法[13]估算參數μ和α，然后計算不同重現期的臺風風暴潮極端增水值。

4 比較分析

4.1 與年極值序列計算結果比較

建立三沙站1980—2019 年的臺風風暴潮年極值增水序列，利用Gumbel 分布擬合計算三沙站臺風風暴潮多年一遇重現期增水值，與復合極值分布擬合的結果進行比較（見表2）。結果顯示，對于10年一遇以下增水，Gumbel計算的增水值比復合分布擬合的結果小，而對于10 年一遇以上增水，Gumbel計算值比復合分布擬合的結果大，且隨著重現期增大，差比也增大。在中高頻次發生范圍內，兩種分布的計算值比較接近，但在高頻次和低頻次發生范圍內的計算差異較大。究其原因，采用年極值序列擬合計算時，由于無臺風影響年低值的存在會導致Gumbel 曲線的斜率增大，使得高頻發生值更小，低頻發生值更大；而過閾法序列不僅包含了在相同年份發生的高值，還剔除了弱過程，避免了增水小值帶來的較大觀測誤差和潮汐預報誤差，但由于相對低值樣本增多，導致低頻次發生的風暴潮值計算偏小。

表2 不同分布擬合的重現期增水值比較（單位：cm）Tab.2 Comparison of surge return values between different distribution（unit:cm）

根據三沙站臺風風暴潮原始統計序列，40 a 間增水大于79 cm 的過程為33 次，約為1.2 年一遇；增水大于90 cm 以上的過程為23 次，約為1.7 年一遇；增水大于95 cm 的過程為20 次，正為2 年一遇。可見Poisson-Gumbel復合極值分布的高頻次發生值的結果更為合理。另外，由圖6也可看出，對于過閾原始序列的擬合，復合極值分布對極大值的擬合結果明顯好于Gumbel分布。

圖6 分布擬合比較Fig.6 Comparison between curves of different distribution

4.2 閾值敏感性試驗

由于接近閾值的小值數量的多少對擬合估算結果影響較大，因此需要調整閾值大小，比較不同閾值下樣本序列的復合分布擬合結果。取最大增水閾值60 cm、65 cm、70 cm 和最高75 cm，分別截取臺風風暴潮過程樣本序列進行復合分布計算。所有序列的發生頻數分布均通過0.05 顯著性檢驗的Poisson 分布。結果顯示（見表3），閾值選取增加，所有重現期的計算值都會升高，在閾值為70 cm時達到最高值，后又開始下降。文獻資料顯示[19]，三沙站1949 年以來臺風風暴潮極值為190～200 cm（6614 號臺風風暴潮），與閾值為70 cm 和75 cm 的計算結果相近。由此可見，雖然高頻次發生值的估計偏高，但對于低頻范圍的高年遇值，高閾值序列的擬合效果更好。

表3 擬合不同閾值樣本的Possion-Gumbel復合分布重現期增水值比較（單位：cm）Tab.3 Comparison of surge return values of Poisson-Gumbel distributions fitting samples with different threshold（unit:cm）

4.3 分段計算結果比較

根據相關標準[11-12]，在進行極端水位值確定時，應用不少于連續20 a的潮位實測資料進行計算。將三沙站40 a 的資料序列分為前20 a 和后20 a，以閾值70 cm 為例（其余結果略），分別對兩種方法的擬合計算進行比較，結果見表4。我們發現，兩種方法兩個時間段的差值均自高頻向低頻增大，復合分布結果僅在高頻處差值較小，10 年一遇以上低頻結果兩個時間段的差值的復合分布遠高于Gumbel 年極值分布。其原因在于三沙站這兩個時間段的臺風風暴潮極值序列差別較大，前20 a 極值偏小且分布均勻，以閾值70 cm 為例，前20 a 的極值樣本僅為18個，均值為89.8 cm，標準差為16.8 cm；而后20 a的樣本為26 個，極值均值為99.7 cm，標準差為27.3 cm。樣本數據的較大差異導致了復合極值分布對低頻發生值的估算差別顯著，前20 a 數據的計算值嚴重偏低。

表4 連續分段20 a樣本數據重現期增水值比較（單位：cm）Tab.4 Comparison of surge return values between different distribution of consecutive 20 a subsection data(unit:cm)

在包含有40 a間最大增水的原始過閾樣本和年極值樣本中，任意挑選兩組20 a 的數據序列進行兩種分布擬合計算，由于觀測年代較短，復合分布應取低閾值以增加樣本數量，這里取50 cm。由兩種分布的兩組結果比較可見（見表5），在觀測年代較短且樣本較少的情況下，復合分布的擬合結果比單一的年極值Gumbel 分布結果更為穩定，兩組數據結果的差值更小，低頻值也更為合理。

表5 隨機分段20 a樣本數據重現期增水值比較（單位：cm）Tab.5 Comparison of surge return values between different distribution of random 20 a subsection data(unit:cm)

5 沿海代表站臺風風暴潮重現期分布

根據第2 部分的計算步驟，選取部分代表驗潮站（見圖1），利用Poisson-Gumbel 復合分布擬合1980—2019 年40 a 的臺風風暴潮增水極值序列，計算出各站50 年一遇和100 年一遇的臺風風暴潮增水值，閾值選取均在累積分布中位數附近并保證序列通過分布檢驗。由表6 可見，塘沽、吳淞、閘坡和秀英站可能遭受的臺風風暴潮強度較強，不僅增水值大，100年一遇和50年一遇增水的差值也大，發生頻次低的風暴潮強度更強，說明臺風在這些地方可能引起的極端風暴潮更高，危險性也更大。

表6 各站臺風風暴潮重現期值（單位：cm）Tab.6 Return values of typhoon storm surge in several typical stations(unit:cm)

6 小結

考慮隨機事件發生頻率的Poisson-Gumbel復合極值分布是解決觀測資料年限較短或是出現無年極值（無臺風影響）情況下，風暴潮極值重現期計算的有效方法。復合極值分布的計算結果對樣本數據較為敏感，特別是標準偏差較小的樣本數據，低頻次發生值的計算結果顯著偏低。閾值的選取對結果影響較大，對于較長時間序列數據，復合分布的閾值取值偏低則高頻次發生值更準，閾值取值偏高則低頻次發生值更準；而對于短時間序列數據，復合分布的計算結果更穩定，且對低頻發生值的估算也更準，此時由于樣本數量較少，應取偏小閾值以增加樣本數量。對幾個典型潮位站的重現期計算表明，塘沽、吳淞、閘坡和秀英站臺風引起的可能極端風暴潮較強，臺風風暴潮致災危險性較高。

復合分布在風暴潮極值計算中的特征可延伸至潮位極值計算。但由于其對數據樣本的敏感性，在工程應用中，仍建議以差比法延長資料年限后再行計算。若考慮無年極值或一年多極值的情況，則需根據對高頻值或低頻值的需求，確定具體閾值。