關(guān)聯(lián)問(wèn)題的深度處理

姜 勝 楊春芳

(江蘇省宜興第一中學(xué)，江蘇 宜興 214200)

當(dāng)兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體通過(guò)繩、桿連接或直接接觸疊放在一起，在不同的約束條件下，物體間的速度、加速度和位移之間存在一定的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這類問(wèn)題稱之為“關(guān)聯(lián)問(wèn)題”。解決關(guān)聯(lián)問(wèn)題的關(guān)鍵在于挖掘隱含的約束條件，不同情境下的“關(guān)聯(lián)模型”之間一般存在著共通的物理規(guī)律。

1 連接關(guān)聯(lián)與接觸關(guān)聯(lián)的速度關(guān)系

物體間的約束關(guān)系通常是通過(guò)輕繩、輕桿或直接接觸產(chǎn)生，大致可分為兩類：一類是桿、繩約束物系，其各點(diǎn)速度的關(guān)聯(lián)特征為同一時(shí)刻必具有沿桿、繩方向的相同的分速度；二是接觸物系，其接觸點(diǎn)速度的關(guān)聯(lián)特征為沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)相同。繩、桿或者接觸面(點(diǎn))稱之為“關(guān)聯(lián)體”，常見(jiàn)“關(guān)聯(lián)模型”如圖1、2、3所示。

圖1

圖2

圖3

由上述“關(guān)聯(lián)模型”的分析可知：關(guān)聯(lián)速度為沿關(guān)聯(lián)體間彈力方向的分速度，即關(guān)聯(lián)物體間沿關(guān)聯(lián)體彈力方向的分速度相等。所以分解速度時(shí)應(yīng)將物體的速度分解到沿關(guān)聯(lián)體彈力方向和垂直關(guān)聯(lián)體彈力方向，上述情境中的關(guān)聯(lián)速度分別稱之為繩端速度、桿端速度與接觸速度，以上三幅圖中的約束關(guān)系分別為：vA=vBsinθ，vAcosθ=vBsinθ，vAsinθ=vBcosθ。

情境1：如圖4所示，光滑水平地面上放置質(zhì)量均為m的兩個(gè)正三棱柱A、B，其中A固定在地面上，B在外力作用下緊靠著A，A、B中間夾有一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為2m的光滑圓柱C，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。撤去作用在B上的外力，B與C的速度如何關(guān)聯(lián)呢？

圖4

此類問(wèn)題屬于接觸關(guān)聯(lián)，C通過(guò)B的左側(cè)面與B產(chǎn)生約束關(guān)系，由于A固定，C的速度方向與A的右側(cè)面平行，關(guān)聯(lián)速度為B與C的接觸速度，即沿接觸面法向的分速度。所以將B與C的速度分解到垂直B左側(cè)面和沿B左側(cè)面方向上，如圖4所示,約束關(guān)系為：vBcos 30°=vAcos 30°，即vB=vC。

圖5

圖6

2 “一繩多物”關(guān)聯(lián)模型的速度關(guān)系

思考1：若將A換做一輕質(zhì)定滑輪，在其左側(cè)懸掛與甲等質(zhì)量的物體丙，則掛鉤向下運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)，甲、乙、丙三者的速度關(guān)系如何？

圖8

思考2：此物體系屬于連接關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)體為輕繩，關(guān)聯(lián)速度為沿關(guān)聯(lián)體彈力方向即沿繩方向的分速度，如圖9可知其約束關(guān)系為：v甲=v丙=v乙cosθ。

圖9

思考3：如圖7所示，若A端固定，AO與BO的伸長(zhǎng)都會(huì)引起甲物體的上升，則約束關(guān)系為：v甲=2v乙cosθ。

3 關(guān)聯(lián)速度與關(guān)聯(lián)加速度

繩約束物系中兩個(gè)物體的速度相關(guān)聯(lián)，但加速度關(guān)系與速度關(guān)系并不一致，即關(guān)聯(lián)速度的延伸方向上兩物體的加速度是不一樣的。其原因在于加速度的定義是速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，下面從數(shù)學(xué)的角度討論繩約束物系中兩物體間的加速度關(guān)系。

情境3：如圖10所示，將質(zhì)量為2m的重物B懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的小環(huán)A，小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d。現(xiàn)將小環(huán)從與定滑輪等高的A處?kù)o止釋放，小環(huán)A下滑過(guò)程中，小環(huán)A與重物B的速度與加速度的約束關(guān)系如何？

圖10

4 關(guān)聯(lián)問(wèn)題解決策略

關(guān)聯(lián)問(wèn)題繁雜多樣，模型千變?nèi)f化，然而大道至簡(jiǎn)，只要弄清了關(guān)聯(lián)速度與關(guān)聯(lián)加速度的數(shù)學(xué)原理和物理本質(zhì)，一切問(wèn)題也就迎刃而解。對(duì)于速度關(guān)聯(lián)，首先弄清楚約束關(guān)系的類別，分清楚連接關(guān)聯(lián)與接觸關(guān)聯(lián)。其次是依據(jù)具體物理情境，找準(zhǔn)關(guān)聯(lián)體，沿關(guān)聯(lián)體彈力方向的分速度即為關(guān)聯(lián)速度。對(duì)于加速度的關(guān)系，不能輕率地將速度關(guān)系推而廣之，應(yīng)從加速度的定義出發(fā)，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，尋找約束物體間的加速度關(guān)系，對(duì)特殊狀態(tài)下關(guān)聯(lián)加速度進(jìn)行分析、推理與計(jì)算。

對(duì)關(guān)聯(lián)問(wèn)題的深入分析可以幫助我們選擇合適的教學(xué)策略，以滿足不同層次學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求,并且在必要時(shí)進(jìn)行拓展,滿足部分學(xué)生深度學(xué)習(xí)的需求。