自由演化量子態的一種在線估計算法

黃 吉，叢 爽，張 坤

(中國科學技術大學 信息科學技術學院，安徽 合肥 230026)

0 引言

量子狀態估計(Quantum State Estimation，QSE)是獲取和處理用于重構量子狀態的量子測量值的過程，狀態估計問題可以轉化為優化問題，并通過數值方法解決[1]。QSE是量子態閉環反饋控制的基礎，旨在實現高精度的量子狀態控制。一個n量子位系統可以通過密度矩陣ρ∈Cd×d(d=2n)來完全描述，它是一個半正定且矩陣跡為1的厄米矩陣[2]。QSE最常用的方法是基于強測量(投影測量)[3]，但這會導致要估計的量子系統坍塌[4]，因此強測量被認為不適合實時地進行QSE。

弱測量為量子狀態估計提供了另一種選擇。當測量對被測系統影響不大時，這種測量被稱為弱測量，連續弱測量(Continuous Weak Measurements，CWM)最早由Silberfarb等人提出[5]。與QSE需要指數級數量的同一密度矩陣ρ的全同復本不同，由于弱測量具有的不完全破壞特性[6]，CWM可以應用于自由演化中的量子系統。因此，使用CWM在線測量不斷演化中的量子系統更加方便。

傳統的優化算法是離線的，它們需要在每次迭代時遍歷整個數據集，因而不適合實時大量的數據處理。為此開發出了隨機優化技術，每次迭代只需處理一小部分可用數據[7-8]。這些方法可以應用于在線學習，例如跟蹤動態系統的狀態。這也正是本文中采取的方法。

在線量子狀態估計方面，已有研究有用于估計不變量子系統的在線學習算法[9-10]，單量子比特系統的在線狀態估計方法[11]等，其中后者是通過CVX(即MATLAB的凸優化工具箱)[12]來解決對于每一個弱測量的優化問題。但是，CVX本質上是一種離線優化工具包，它通常僅限于中小型數據量的優化。

本文旨在解決從連續弱測量中在線估計不斷演化的量子系統狀態問題。通過結合交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)和在線鄰近梯度法(Online Proximal Gradient，OPG)，針對量子約束下演化中的量子狀態估計的優化問題，提出一種新型在線量子態估計算法。ADMM是處理可分離目標函數和結構化正則項問題的有效工具，可以解決分布式和并行數值優化問題[13]；OPG是一種典型的基于鄰近梯度法的在線優化算法[14]，文獻[15]中介紹了結合這兩類方法的一種在線學習算法。本文提出的算法應用于估計演化中量子系統的密度矩陣，并在1、2、3和4量子位系統中進行了實驗。

1 開放量子系統連續弱測量模型

量子系統的在線估計過程如圖1所示，它由兩個步驟組成(符號q-1表示單位延遲運算符)。第一步為連續弱測量過程，其包括：(1)在探測系統P和目標系統S之間引入耦合關系，以形成一個耦合系統；(2)使用測量算符M在每個采樣時間進行弱測量，從而獲得具有隨機噪聲的測量值y，其中包含真實密度矩陣ρ的信息。在線估計的第二步為在每個瞬間k同時重建量子態和測量噪聲，同時使用先前估計的值，從而形成跟蹤狀態演變的自適應濾波器。本文提出的估計器的目標是有效地在線估計動態量子系統的狀態。

圖1 在線量子態估計過程

下面描述開放量子系統的演化模型。假設探測器P的初始狀態為，目標系統S的初始狀態為，因此，對于耦合系統S?P，n量子 位開 放 系 統 的 演 化 耦 合 態可 以 表 示 為：其中?代表張量積；Δt是 較 短 的 作 用 時 間 間 隔；U(Δt)=exp(-iξΔt H/?)是 聯合演化算子，ξ表示系統S和P之間的相互作用強度，是普朗克常數(設置為等于1，對應于時間標度[16])，H=H0+uxHx代表系統的總哈密頓量(H0是自由哈密頓量，Hx是受控哈密頓量，ux是外部調節值)。通過推導弱測量前后系統S狀態之間的關系[17]，可以得到間接作用于二級量子系統的弱測量算子為：其中L?表示L的共軛轉置，L=ξσ是Lindblad相互作用算 子，σ表 示 泡 利 矩 陣，可 以 選 擇 為{σx，σy，σz，I}之一，并且是2×2的單位陣。弱測量算子m0(Δt)包含系統的總哈密頓量，因此弱測量過程捕捉了系統的演變。所以，基于m0(Δt)和m1(Δt)，對n量子位開放系統S，其演化算子Ai(Δt)∈Cd×d(i=1，2，…，2n)可以構造為[18]：

由此得到n量子位開放系統S的離散演化方程：

其中k=1，2，…，N表示采樣時間。 方程(2)是量子系統連續微分方程[18]的一階近似形式其中符號∑代表量子系統與外部環境之間所有相互作用的總和。

通過觀察演化方程(2)，可以得到測量算子的離散演變方程如下[18]：

其中，對每個采樣時間k都有Mk∈Cd×d。

實際系統中的測量值是通過估計作用于量子態ρ的算子M獲得的，即y=tr(M?ρ)。為了直接估計最新的量子態ρk(文獻[5]中，要估計的狀態始終是初始狀態ρ0，而ρk是間接獲得的)，構造了與實際系統輸出一致的測量關系[17]，可得到其測量序列如下：

其中，vec(X)表示將矩陣X按列向量排列，ei表示隨機測量噪聲，k-l+1是當k≥1時測量窗口的起點，l為滑動窗口的大小，tr(·)表示矩陣的跡，它是矩陣對角線數值的總和。

在實時系統操作期間，整個數據集不是預先可用的，而是以流方式獲取測量。本文提出的在線估計算法使用第k個測量yk以及先前的估計值來獲得，可以將其視為狀態演化ρk的在線跟蹤濾波器。

2 基于OPG-ADMM的量子態演化在線估計算法

2.1 OPG-ADMM

具有線性約束的可分離目標函數優化問題為：

其中x∈Rn和z∈Rm是優化變量，A∈Rp×n，B∈Rp×m，c∈Rp，f(x)和g(z)均是凸函數，χ和■都是閉合的凸集。

出于在線估計的目的，本文利用OPG-ADMM計算框架來解決文獻[15]中提出的問題(5)。該算法包括兩個步驟：

(1)對式(5)引入增廣拉格朗日函數：

其中λ∈Rp是拉格朗日乘子，α＞0是懲罰參數，懲罰項用來松弛收斂條件，并且使用完全平方來獲得增廣拉格朗日函數的完備形式。這樣，原始的優化問題就被分成兩個關于f(x)和g(z)的單獨子優化問題。

(2)利用OPG方法作為f(x)和g(z)優化問題的更新規則，即對兩個子函數分別進行線性化迭代并執行鄰近梯度更新。

在第k個時刻，OPG-ADMM分別求解關于x和z上的兩個單獨子問題，然后更新拉格朗日乘子λ。迭代公式如下：

2.2 在線量子態估計

為了減輕在線處理的計算負擔，同時充分利用弱測量值，從而達到更高的估計精度，采用了包含多個測量值的滑動窗口。需要注意的是，測量值的滑動窗口是動態的，并且包含最新的測量值：

其中，參數l是滑動窗口的大小。當獲得的測量值小于l時，窗口的大小等于系統演變的瞬時數，否則，窗口的大小將固定為l。滑動窗口的更新策略是先進先出(FIFO），它允許將在線測量流合并到模型中，同時逐步刪除舊的測量值。當滑動窗口測量值飽和(即具有長度l)時，該算法有望達到高估計精度，并隨后繼續跟蹤狀態演變。從測量序列式(4)可以直接看出，在給定窗口中測量值可以寫為bk=Akvec(ρk)+ek，其中：

在此設置中，bk用于估計ρk，特別地，當獲得的測量值數大于或等于l時，Ak保持不變。

在線量子態估計問題可以表述為一系列凸優化問題：

通過調用OPG-ADMM作為問題(13)的數值求解器，在線量子態估計問題可以分為兩個子問題。也就是，使用采樣矩陣Ak、測量值bk以及先前獲得的與估計時間k-1相關的估計值，估計出時間k處的密度矩陣和對應于第k個測量窗口的噪聲。和的子問題分別按順序執行，然后更新拉格朗日乘子參數。其中，參數k表示連續測量和算法估計更新的采樣時間，通過對式(13)執行OPG-ADMM的單次迭代，來設計適合實現的在線迭代算法。對于采樣時刻k，算法的單次迭代如下：

其中ηk＞0是步長參數，Pk0是鄰近參數。

在下文中，明確提供了解決兩個優化問題的有效方法，用于更新(14a)、(14b)中的原始變量和，而λk的更新只需要按照(14c)，不再贅述。

其中，λmax是Ak的最大特征值，c是一個大于0的常數，本文實驗中選取c=0.1。

根據式(9)來看，當k≥l時，Ak≡(vec(Ml)，…，vec(M1))?是一個固定矩陣，因此，用于ηk的最大特征值只需要計算l次，l為滑動窗口的大小。由于Pk使得(14a)中二次項抵消后，剩余的鄰近端項表示為觀 察 此 鄰 近 項 可 以 看 出，它要求新的估計值“接近”前一個估計值，使得本算法具有動態跟蹤效果，滿足了實時在線估計的能力。

定義中間變量：

可以得到簡化形式：

約束問題(18)是一個半正定規劃，可以使用內點法解決，通過特征值分解，可以設計一個直接求解方法[19]。對厄米矩陣酉矩對角化其中U∈Cd×d是一個酉矩陣，是一個對角矩陣，其包含的所有特征值。此 時，問 題(18)的 最 優 解其 中從 下式獲得[19]：

由于問題(19)的最優解是對角矩陣，因此問題可以歸結為單純形約束的投影問題，可以在有限步長（最多d=2n個步長）內有效計算。

在線量子態估計(OSEQ)的優化算法總結如下(其中α、γ和τ是三個正常數，并由它們負責算法的參數調節)：

① For k=0：N Do；

② Ak=Ak-1，ηk=ηk-1；

綜上所述，在方鉛礦磨礦浮選流程中，必須選擇合適的磨礦條件，確保適宜的礦漿電位，使礦物表面生成盡可能多的疏水性元素硫，同時，減少親水性物質的生成，這樣才能保證較高的浮選回收率。

⑧ 由式(14c)更新λk；

3 仿真實驗

本節通過仿真實驗驗證所提出算法的在線量子態估計性能。第一個實驗探討了狀態演化參數對在線算法的影響，第二個實驗評估了在線OSEQ算法在估計精度和計算效率方面的性能。

保真度用于衡量估計精度，定義如下：

3.1 系統參數對在線OSEQ算法的影響

在本實驗中，測試了在線OSEQ算法在不同系統參數下的準確性。對于單比特量子系統，其演化軌跡可以在Bloch球上畫出。

單比特系統的密度矩陣為ρk=[a11，a12；a21，a22]，其三維坐標變換公式為xk=2×real(a21)，yk=2×imag(a21)，zk=real(2×a11-1)，其 中real(·)和imag(·)分 別 代 表 虛數的實部和虛部。對于在線估計，自由演化的次數設置為N=100，測量噪聲的信噪比設置為60 dB，在線OSEQ算法的參數設置為α=2，γ=0.1，τ=10，c=0.1，滑動窗口的大小設置為l=13，這足以重構1量子位系統的密度矩陣。正如第1節所述，開放量子系統的參數包含：(1)L，Lindblad算符；(2)ξ，系統相互作用的強度；(3)ux，外部控制輸入。

圖2描繪了演化量子態和狀態估計的軌跡，Bloch球體中的實線和虛線分別是真實的量子態軌跡和在線OSEQ估計的狀態軌跡，圈圈和星星分別代表真實狀態和估計狀態的初始值，可以分為三種情況討論：

(1)當ξ設置為0，此時L=0，目標系統S是理想的沒有能量耗散的封閉量子系統，在這種情況下，系統S的演化軌跡是Bloch球表面上的一個圓，在線OSEQ算法僅僅經過三次迭代，估計精度就超過了95%，如圖2(a)所示。當L≠0時，自由演化的量子態逐漸耗散到最大混合態，即Bloch球的球心，此時密度矩陣為[0.5，0；0，0.5]。

圖2 不同系統參數下量子態的在線估計

(2)固定ux=2和L=ξσz，當系統的相互作用強度ξ分別為0.5和0.7時，系統的演化軌跡分別如圖2(b)和圖2(c)所示。可以注意到，系統演化速度隨著相互作用強度的增加而增加，然而，對于這兩個相互作用強度，在線OSEQ算法在僅僅6次迭代之后就達到了99%以上的估計精度。

(3)對于ξ=0.5和L=ξσz，存在和不存在外部控制輸入的在線估計結果分別如圖2(b)和圖2(d)所示，可以發現當ux=0時無法實現在線估計，因為在這種情況下不可能獲得有效的測量值。

3.2 多比特演化量子系統的在線狀態估計

在本實驗中，通過在線量子態估計的精度和速度來驗證在線OSEQ算法的有效性。將本文中提出的算法與文獻[11]中提出的CVX-OQSE算法(使用CVX獲得了優化問題(12)的解決方案)進行了比較。分別對1、2、3和4量子位系統進行仿真實驗。

系統參數設置為：ξ=0.7，ux=1，N=500，SNR=30 dB。在線OSEQ的參數選擇為：γ=0.1，τ=10，c=0.1。對于n=1，2，3，4，分別選擇α=2，10，12，15，并將滑動窗口的大小設置為l=13，16，30，100(對于1、2、3和4量子位系統，決策變量的數量分別為4、16、64和256，因此需要增加窗口大小)。

圖3顯示了不同量子位系統中在線OSEQ和CVX-OQSE的保真度fidelity(k)隨采樣時間的變化(由于CVX-OQSE無法在測量噪聲下估計4量子位系統的密度矩陣，因此在圖3(b)中沒有4量子位保真度曲線)，其中實線、長虛線、點虛線和短虛線分別代表1、2、3和4量子位系統的保真度時間序列。表1列出了在線OSEQ和CVX-OQSE所需的精度和時間，其中精度指的是最終的保真度。

圖3 不同比特量子系統中的量子態在線估計

表1 在線OSEQ和CVX-OQSE所需估計時間和精度比較

從圖3和表1中可以得出結論：在線OSEQ可以有效且穩定地在線估計量子態。在1、2、3和4量子位系統中，在線OSEQ的估計精度逐漸提高并趨于穩定，穩定的估計精度分別為100%、100%、99.99%和99.87%。CVX-OQSE只能在1量子位系統中實現穩定地估計精度，而且需要高出三個數量級的運行時間(這可能會限制實際應用)。在線OSEQ在每個采樣時間僅采用一個更新步驟(對于原始變量和對偶變量)，而CVX-OQSE則通過內點法來解決優化問題，這需要更多的迭代次數，所以認為在線OSEQ是一種很有前途的實時量子態估計方法。

表2分別記錄了在線OSEQ在1、2、3和4量子位系統的在線估計過程中達到95%以上估計精度所需的樣本數和估計時間。從該表可以明顯看出，達到95%以上估計精度所需的采樣次數(即實現穩定跟蹤的延遲)也會增加，這是可以預見的，因為待估計的變量數量以指數4n形式增長，因此需要采樣更多信息來準確估計密度矩陣。

表2 在線OSEQ達到95%以上保真度所需的樣本數和估計時間

4 結論

本文設計了一種新的在線量子態估計方法，該方法可以利用在量子態演化同時獲得的含隨機噪聲的測量值，對量子態進行在線估計。為了獲得精確跟蹤狀態演化的自適應濾波器，本文中：(1)采用滑動重疊窗口的方法以流形式處理數據；(2)將狀態估計轉換為半正定規劃問題；(3)基于OPG-ADMM設計了一種具有可調節性、跟蹤性的高效迭代解決方案。隨后大量仿真實驗驗證了該方法為多量子比特系統的狀態估計提供了優秀的解決方案，具有很大的研究價值與開發潛力。