無偏的DSSS信號擴頻序列盲估計*

馬 超

（1.海軍研究院 北京 100161）（2.復雜艦船系統仿真重點實驗室 北京 100161）

1 引言

擴頻信號因其保密性和低截獲特性已經廣泛的應用了幾十年。在非合作DSSS通信系統中，接收者幾乎不知道截獲信號的先驗知識，因此DSSS信號的偽隨機碼的估計對信息的獲取是一個關鍵的、重要的技術。在2000年，利用特征值分解（EVD），Bouder等［1］首次提出DSSS信號的擴頻碼估計方法，這種方法廣泛的應用于工程上。有許多改進的EVD方法，其中的一些已經應用于長碼DSSS信號的PN碼估計，它們的擴頻碼為長m序列［2］。Qui等［3］提出了一個擴頻碼估計方法，該方法將信號分割為一系列重疊的窗口，窗口的長度比信息符號的寬度要短，然后利用EVD方法估計擴頻碼的分段，完整的擴頻碼就從這些估計的分段中獲取。Zhang和 Wei［4］將接收到的 LC-DSSS 信號轉換為單調缺失數據矩陣，運用EVD方法基于方差矩陣的最大似然估計確定擴頻序列。在文獻［5］中，接收到的信號分割為連續的不重疊的時間向量，其寬度為擴頻碼周期的兩倍，計算平均自相關矩陣之后，利用EVD方法獲得擴頻碼。文獻［6］中，結合能量譜密度的后處理和EVD方法，提出了一種LC-DSSS信號的PN碼估計方法。文獻［7］提出了一種基于最大似然準則的擴頻序列盲估計算法，但是由于該算法的高維計算復雜度，只能應用于較短碼長的擴頻序列估計。對長碼擴頻序列的估計，文獻［8］提出了一種新的方法，該方法的核心思想是構建一個信息符號轉換模式矩陣來消除信息符號的時變對長碼DSSS信號的周期性的破壞，然后利用特征值分解方法估計擴頻序列。文獻［9］提出了用于LC-DS-CDMA信號的盲多用戶擴頻序列估計方法，該方法將擴頻序列分為多個短時窗口。然而，決定分段長度的條件沒有考慮?；谖墨I［9］的工作，文獻［10］中提出了適用于LC-DSSS信號和LC-DS-CDMA信號的分段長度確定方法。還要許多其他的適用于擴頻序列的估計方法，見文獻［11～15］?？梢钥闯?，特征值分解是一個基本的解決方法，該方法應用在只包含一個PN碼的LC-DSSS信號中表現出完美的性能。但是，在現代數據設置中，數據采集過程中海量數據集的高維度和有限的資源使得完全數據訪問不可行。對于EVD方法中自相關矩陣的求解，通常使用的是多個周期求平均的方法，所用周期越多，越接近真實值，隨之而來的是龐大的數據量。本文的目標是降低運算量的同時，求解無偏的相關矩陣。

本文提出了一種非合作環境下估計擴頻序列的方法。該方法基于特征值分解方法，首先將接收信號以符號周期分割為多個不重疊的時間窗，然后設計了一個無偏估計器實現對采樣數據的自相關矩陣的無偏估計，最后利用特征值分解方法實現對擴頻序列的估計。理論分析和實驗結果均表明該方法實現了更低的計算復雜度，具有較強的實時性。

2 參數和假設

在一個DSSS通信中，DSSS信號通過利用一個偽隨機序列與信息符號a(k)相乘來擴展帶寬。參數如下：p(t)表示發射機濾波器、信道濾波器（其表示信道響應）和接收機濾波器的卷積；{ck，k=0，…，P-1}表示偽隨機序列；P表示偽隨機序列的長度（碼片數）；Ts表示符號周期；Tc表示碼片周期；Te表示采樣周期；h(t)表示偽隨機序列與傳輸鏈的所有濾波器（發射機濾波器，信道響應和接收機濾波器）的卷積；s(t)表示DSSS基帶信號在接收濾波器的輸出；ak表示信息符號，與擴頻序列不相關，且均值為0；n(t)表示接收濾波器輸出的噪聲，為高斯白噪聲，且與信號不相關；x(t)表示接收濾波器輸出的信號。

假設符號周期Ts和碼片周期Tc已知。其他參數未知。信號調制方式為BPSK，接收信號以碼片周期進行采樣，并且以符號周期分割為n個連續的不重疊時間窗，令xi表示第i個時間窗的數據。本文可以估計自相關矩陣C=E{xxH}。

在實際運算中，對于自相關矩陣的求解，利用的是多個時間窗求平均的方法。所用時間窗越多，越接近于真實值，但是采用的數據越多，所帶來的運算量越大，實時性越低。因此，本文的目標是降低運算量的同時，求解無偏的相關矩陣。

2.1 符號表示

2.2 問題的提出

考慮?p上的一系列數據采樣x1，…，xn，令X=[x1，…，xn]∈?p×n，其第i列為數據采樣xi。本文中不對數據做任何分布假設，目標是從單次傳遞數據中求解樣本自相關矩陣Cn

在現代數據設置中，數據采集過程中海量數據集的高維度和有限的資源使得完全數據訪問不可行［18］。為了解決這個問題，本文的目標是從數據的壓縮測量中恢復Cn。這可以看做是形成隨機矩陣Ri∈?p×m，其中m＜p，xi，i=1，…，n。Ri的元素是獨立同分布的，從有限四階矩的零均值分布繪制的［10］。本文的目標是從低維隨機投影估計樣本自相關矩陣Cn。

2.3 無偏自相關估計

根據文獻［17］中的定理1計算的期望值：

式中，diag(Cn)表示除對角線是矩陣Cn的對角線元素外全是0的矩陣。

過了好一會，阿花用紙巾擦了淚，又像蛇一樣纏過來，溫柔地說，阿坤，你是誤會了，我和江鋒真的沒有什么。我把臉扭過去，茫然地望著窗外，眼神空空的。阿花對著我的背影說，阿坤，其實我從沒說過要嫁給你呀，我們只是好朋友，那種可以肝膽相照同床共枕的異性朋友，這難道還不夠嗎？

獨立于分布的形狀。該項表明，當tr(Cn)表示輸入數據的能量時，壓縮數據的能量在?p中稍微分散到不同的方向。注意，這兩個偏置項是m的遞減函數，其中m是線性測量的數量。

注意：α1和α2是兩個已知基于diag(n)和tr(n)的常數用來修正有偏估計n。

在本文中，采用最初提出的稀疏隨機投影來減少成對距離估計中的存儲和計算負擔［16］。在該設置中，的元素分布在{- 1，0，+1} 上，其概率為。因此，參數s＞1控制隨機矩陣的稀疏度，使得Ri的每列平均具有個非零元素。很容易證明二階矩和四階矩，且峰度為

3 特征值分解估計擴頻序列

在第2節中，本文求出了無偏的樣本自相關矩陣C。根據矩陣理論，矩陣的特征值分解有兩個較大特征值。

由于時間窗的長度等于符號周期，因此一個時間窗總是包含一個符號的后段（長度為Ts-t0），后面跟著下一個符號的前段（長度為t0），其中t0未知。因此，有

式中n表示噪聲。

h0表示一個向量，包含擴頻波形的后面部分（長度為Ts-t0），后面跟著的是0（長度為t0）。

h-1表示一個向量，包含長度為Ts-t0的0，后面跟著的是長度為t0的擴頻波形的前面部分。

t0表示窗口和符號之間的失步長度。

根據以上方程，可以得到：

從上面的等式可以看出，有兩個特征值明顯的大于其他的。其相對應的特征向量將等于h0和h-1的乘法因子。做以下標記，表示符號的方差，。

因此，有：

DSSS信號的方差是信號在一個周期Ts上的能量除以Ts：

利用這些等式，可以估計出信噪比：

4 計算復雜度分析

在本文中，特別感興趣的是選擇參數s和m使得壓縮因子：

其次，Ri∈?p×m的m列中每列的非零元素的預期數量為。因此，每個投影數據平均具有最多個非零元素。這樣，與計算的花費O(p2)相比，形成的花費是O(γ2p2)。因此，在壓縮域中形成樣本自相關矩陣n的計算復雜度對于某些γ＜1而言減少了γ2因子。

5 仿真分析

5.1 序列估計

仿真條件：擴頻碼為R=63位的m序列，調制樣式為BPSK，擴頻增益P=63，仿真數據為N=200個擴頻周期，輸入信噪比為-9dB。圖1給出了由本文算法所得的擴頻序列與真實序列的對比圖。從圖中可以看出，本文算法可以完美的估計出擴頻序列。

圖1 擴頻序列估計結果

5.2 復雜度對比

圖2給出了在不同信噪比條件下，本文所提算法與文獻［1］中算法性能對比。仿真條件與5.1節相同。輸入信噪比變化范圍為-20dB～-10dB。由圖中可以看出，在較低信噪比條件下，本文算法較文獻［1］算法估計性能有所提高。在-13dB的信噪比條件下，利用200個周期的擴頻碼就能使得估計的擴頻碼與真實擴頻碼相似度超過0.95。

圖2 估計性能對比

5.3 估計性能

圖3給出了在不同信噪比條件下，不同碼長、不同周期數時，本文所提算法的估計性能。仿真條件與5.1節相同。輸入信噪比變化范圍為-18dB到-10dB。參數設置為：N分別取100、500。P分別取63、255。由圖中可以看出，該算法性能與使用的周期數目N成正比，在具有足夠的數據窗的情況下，即使在更低的信噪比下，該算法依然適用。另外，從圖中也可以看出，該算法對較長的碼長具有更好的估計性能。

圖3 直擴信號的估計性能

6 結語

本文提出了一種非合作環境下無偏的估計擴頻序列的方法。與經典的特征值分解方法相比，該方法估計性能有所提高。理論分析和實驗結果均表明該方法實現了更低的計算復雜度，具有較強的實時性。