基于形態(tài)-CEEMD的地磁測(cè)量去噪方法*

陳志剛 韓金良

（1.海裝沈陽(yáng)局駐大連地區(qū)第三代表室 大連 116021）（2.天津航海儀器研究所 天津 300131）

1 引言

隨著對(duì)導(dǎo)航精度和自主性要求的不斷增加，地磁導(dǎo)航成為水下航行器自主導(dǎo)航的重要研究方向［1］。然而，由于地磁隨位置變化幅度較小，加上人文以及工業(yè)磁干擾，導(dǎo)致地磁測(cè)量數(shù)據(jù)存在偏差［2～3］。因此，對(duì)地磁測(cè)量信號(hào)中的大幅值高頻噪聲進(jìn)行有效濾波，從而進(jìn)一步提高地磁匹配率和導(dǎo)航系統(tǒng)穩(wěn)定性一直是地磁導(dǎo)航領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。目前，對(duì)地磁測(cè)量信號(hào)高頻降噪的方法主要有基于快速傅里葉變換的頻域?yàn)V波、小波降噪和模態(tài)分解等方法［5］。小波降噪需要預(yù)先得到干擾磁場(chǎng)特征來確定小波基進(jìn)行干擾抑制［6］。快速傅里葉變換濾波需要預(yù)先對(duì)噪聲頻域特征進(jìn)行判斷。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解具有自適應(yīng)性、完備性和近似正交性的特點(diǎn)，通過濾除異常信號(hào)，能夠有效提高導(dǎo)航精度［7～8］。

基于CEEMD的小波閾值去噪方法針對(duì)CEMMD分解可能造成有效信息損失以及小波閾值去噪方法存在的不足。基于CEEMD和PCA的組合去噪方法［9］，通過模擬實(shí)驗(yàn)取得了很好的去噪效果，并將該方法應(yīng)用于探測(cè)雷達(dá)數(shù)據(jù)中，驗(yàn)證了該方法的可靠性。基于壓縮感知理論小波閾值去噪方法，可以在保證高信噪比的基礎(chǔ)上更為有效地保留弱有效信號(hào)［10］。多尺度多方向主成分分析去噪的CEEMD方法對(duì)高頻GNSS同震位移進(jìn)行去噪，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法可以有效地削弱低頻系統(tǒng)誤差和高頻白噪聲，提高GNSS定位的精度［11］。由于地磁測(cè)量信號(hào)多存在高幅值的高頻干擾，使用CEEMD分解會(huì)產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象［12］。形態(tài)濾波方法是基于積分幾何、隨機(jī)集合論等數(shù)學(xué)理論建立起來的一種非線性信號(hào)處理方法，該方法能有效抑制大地電磁信號(hào)中的強(qiáng)噪聲干擾［13～15］。本文結(jié)合形態(tài)濾波與CEEMD，使用CEEMD對(duì)預(yù)處理信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解，針對(duì)IMF的疊加選擇問題，提出一種基于歸一化自相關(guān)函數(shù)的模態(tài)選擇方法。

2 基本原理

形態(tài)濾波方法的主要思想包括形態(tài)變換運(yùn)算方式和結(jié)構(gòu)元素選取，以一維離散信號(hào)為例，設(shè)f(n)，n=1，2，...，N為長(zhǎng)度為N的原始測(cè)量信號(hào)，g(m)，m=1，2，...，M為長(zhǎng)度為M的結(jié)構(gòu)元素，且N＞＞M。則關(guān)于f(n)和g(m)的腐蝕變換為

從式（1）和式（2）中可以看出，腐蝕相當(dāng)于求離散函數(shù)在滑動(dòng)濾波窗即結(jié)構(gòu)元素內(nèi)的極小值，用來剔除邊界不平滑的凸起部分，使目標(biāo)收縮，孔洞擴(kuò)張；膨脹運(yùn)算則與腐蝕運(yùn)算相反，相當(dāng)于求f(n)在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)的極大值，加大了信號(hào)的估值，擴(kuò)展了峰頂。開、閉運(yùn)算是最基本的形態(tài)濾波器，是在腐蝕和膨脹的基礎(chǔ)上衍生而來的復(fù)合運(yùn)算，其中，開運(yùn)算(°)為

開運(yùn)算對(duì)原信號(hào)腐蝕后膨脹，以消除原信號(hào)中的尖峰細(xì)節(jié)，使信號(hào)輪廓光滑，抑制正脈沖噪聲。閉運(yùn)算對(duì)原信號(hào)先膨脹后腐蝕，以彌補(bǔ)信號(hào)谷底，濾除低谷噪聲。在實(shí)際應(yīng)用中，往往結(jié)合二者共同用來抑制噪聲。

采用同一結(jié)構(gòu)元素，通過級(jí)聯(lián)開、閉運(yùn)算，定義了形態(tài)開-閉（OC）和閉-開（CO）濾波器：

為減少輸出上的畸變，常使用OC和CO組合對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理：

式中，y(n)為組合形態(tài)濾波器的輸出結(jié)果。

廣義形態(tài)OC和CO濾波器的數(shù)學(xué)描述分別為：

則廣義形態(tài)濾波器輸出為

通過廣義形態(tài)濾波器濾除地磁測(cè)量噪聲的強(qiáng)干擾脈沖，得到預(yù)處理信號(hào)，使用CEEMD分解進(jìn)一步將噪聲分量與地磁信號(hào)分量分離，得到穩(wěn)定的地磁場(chǎng)信息。

CEEMD是在EMD分解的基礎(chǔ)上，通過對(duì)原信號(hào)多次疊加正負(fù)對(duì)應(yīng)的白噪聲，補(bǔ)充原始信號(hào)的頻率尺度，減少包絡(luò)線的擬合誤差。具體步驟如下：

1）對(duì)原信號(hào)第i次疊加正負(fù)高斯白噪聲，得到兩組模態(tài)分量：

其中，X為原始信號(hào)序列，Ni為第i次添加的白噪聲序列。

3）對(duì)各個(gè)分量取平均，得到：

4）對(duì)n次疊加白噪聲產(chǎn)生的分量對(duì)應(yīng)相加，求其平均值，最終得到CEEMD分解結(jié)果：

其中，cj為CEEMD分解后的第j個(gè)本征模態(tài)分量。

CEEMD方法通過對(duì)原始信號(hào)疊加正負(fù)一對(duì)的高斯白噪聲，增加了原始信號(hào)的頻域范圍，使得信號(hào)在各個(gè)尺度連續(xù)起來，在構(gòu)建包絡(luò)線時(shí)，極值點(diǎn)分布均勻，進(jìn)而減少了模態(tài)混疊現(xiàn)象。正負(fù)一對(duì)的白噪聲相互抵消，信號(hào)重構(gòu)時(shí)對(duì)重構(gòu)信號(hào)的影響可以忽略。

3 基于形態(tài)-CEEMD的地磁測(cè)量信號(hào)濾波方法

由于載體磁噪聲和環(huán)境磁噪聲種類復(fù)雜，為更好地保持目標(biāo)信號(hào)的幾何結(jié)構(gòu)特征，采用廣義形態(tài)濾波器對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，以濾除尖峰和正負(fù)脈沖。

3.1 結(jié)構(gòu)元素的選取

結(jié)構(gòu)元素包含三個(gè)特征量，即長(zhǎng)度L，映射方式和幅值。不同的特征量對(duì)信號(hào)噪聲抑制有著較大的影響。長(zhǎng)度L往往大于噪聲脈沖寬度，并小于信號(hào)長(zhǎng)度，幅值一般不大于有用信號(hào)的1%，信號(hào)直線型和圓型結(jié)構(gòu)元素能夠有效濾除白噪聲，三角型和正弦型對(duì)脈沖噪聲的濾除效果較好。本文對(duì)比了不同長(zhǎng)度下不同映射的濾波效果。

3.2 模態(tài)分量閾值選擇方法

針對(duì)水下磁場(chǎng)環(huán)境與載體隨機(jī)干擾磁場(chǎng)持續(xù)時(shí)間短、幅值大且伴隨整個(gè)測(cè)量過程的特點(diǎn)，使用CEEMD方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，對(duì)CEEMD分解后的固有模態(tài)分量（IMFs）逐一計(jì)算其自相關(guān)函數(shù)，通過計(jì)算自相關(guān)系數(shù)，分析各模態(tài)分量的自相關(guān)度確定閾值，選擇相關(guān)度大于閾值的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，并對(duì)舍棄信號(hào)進(jìn)行均值濾波后與有用信號(hào)共同重構(gòu)去干擾后的信號(hào)。降噪后的信號(hào)可以表示為

其中：a1.a2，…，am為自相關(guān)度大于閾值的m個(gè)模態(tài)分量的階數(shù)，b1，b2，…，bk為噪聲分量的階數(shù)，Wj(t)為均值濾波后的噪聲分量。

3.2.1 自相關(guān)函數(shù)與信號(hào)相關(guān)性

自相關(guān)函數(shù)體現(xiàn)出函數(shù)在不同時(shí)刻的相關(guān)程度。假設(shè)x(t)為隨機(jī)信號(hào)，則其自相關(guān)函數(shù)為

其中，τ為信號(hào)偏移時(shí)間。在零偏移時(shí)，信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)達(dá)到最大，理想高斯白噪聲的歸一化自相關(guān)函數(shù)在零偏移處值為1，其余偏移均為零。經(jīng)過CEEMD分解后的噪聲分量往往包含多個(gè)信號(hào)模態(tài)和非白噪聲序列，通過觀察不同信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)可以看出，間斷信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)也是間斷的，能量集中在零偏移附近。當(dāng)信號(hào)是周期信號(hào)時(shí)，其自相關(guān)函數(shù)也為周期信號(hào)：

由于不同信號(hào)的能量存在較大偏差，自相關(guān)函數(shù)不能完全表現(xiàn)出信號(hào)的時(shí)間相關(guān)性。自相關(guān)函數(shù)在零偏移時(shí)刻達(dá)到最大值，為了比較多個(gè)信號(hào)的自相關(guān)性大小，需要對(duì)各個(gè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行歸一化處理，處理后的歸一化自相關(guān)函數(shù)為

歸一化自相關(guān)函數(shù)避免了信號(hào)能量對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，能比較信號(hào)之間的自相關(guān)性大小。本文使用各個(gè)模態(tài)分量的歸一化自相關(guān)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差作為IMF的評(píng)價(jià)參數(shù)，可由如下公式計(jì)算得到：

經(jīng)過閾值判斷后，信號(hào)主導(dǎo)分量有IMFa1，IMFa2，...，IMFam，噪聲主導(dǎo)分量有IMFb1，IMFb2，...，IMFbk，

3.2.2 閾值選擇與信號(hào)重構(gòu)

將各個(gè)IMF的歸一化去零點(diǎn)自相關(guān)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差作為判定信號(hào)主導(dǎo)分量和噪聲主導(dǎo)分量的依據(jù)。設(shè)定閾值函數(shù)，當(dāng)模態(tài)分量的歸一化去零點(diǎn)自相關(guān)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差大于等于設(shè)定閾值時(shí)，則為信號(hào)主導(dǎo)分量，反之為噪聲主導(dǎo)分量。閾值選取規(guī)則如下：殘余分量為r(t)。噪聲主導(dǎo)分量經(jīng)過均值平滑濾波后，得到Wb1，Wb2，...，Wbk。將信號(hào)主導(dǎo)分量與濾波后的噪聲主導(dǎo)分量和殘余分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，得到去噪后的信號(hào)：

3.3 形態(tài)濾波-CEEMD地磁信號(hào)降噪方法

CEEMD方法雖然能通過疊加白噪聲的方式在一定程度上減輕模態(tài)混疊現(xiàn)象，但是當(dāng)處理的信號(hào)含有突變和較大脈沖干擾時(shí)，仍會(huì)出現(xiàn)較大的模態(tài)混疊現(xiàn)象。本文提出了使用廣義形態(tài)濾波對(duì)原始測(cè)量信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，濾除尖端脈沖和突變信號(hào)，接著對(duì)預(yù)處理后的信號(hào)進(jìn)行CEEMD方法分解，結(jié)合噪聲的自相關(guān)特性，提出使用自相關(guān)特性的模態(tài)選擇方法，分離出噪聲分量以及有用信號(hào)分量，并對(duì)噪聲分量進(jìn)行二次濾波，與有用信號(hào)分量共同構(gòu)建目標(biāo)信號(hào)。具體實(shí)現(xiàn)過程為根據(jù)原始信號(hào)特點(diǎn)和目標(biāo)信號(hào)要求，確定結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度L、映射關(guān)系g(m)和幅值k；對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行廣義形態(tài)濾波，得到預(yù)處理后的信號(hào)；對(duì)預(yù)處理后的信號(hào)進(jìn)行CEEMD分解，得到多個(gè)本征模態(tài)分量和殘余分量；計(jì)算各個(gè)本征模態(tài)分量的自相關(guān)度，根據(jù)閾值選擇方法確定有用模態(tài)分量和噪聲模態(tài)分量；對(duì)噪聲模態(tài)分量進(jìn)行中值濾波處理；將濾波后的噪聲分量與有用模態(tài)分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，得到去噪后的地磁信號(hào)。

4 磁力儀實(shí)測(cè)信號(hào)分析

實(shí)驗(yàn)中使用磁通門磁傳感器進(jìn)行磁信號(hào)采集，數(shù)據(jù)采樣率為200Hz，量程在±96000nT，分辨率為1nT。實(shí)驗(yàn)分析了磁通門傳感器在強(qiáng)磁干擾環(huán)境下測(cè)量數(shù)據(jù)和弱磁干擾的突然變向的單軸測(cè)量數(shù)據(jù)，分別如圖1和圖2所示。

圖1 強(qiáng)磁干擾實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

圖2 突然變向時(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

從圖中可以看出，強(qiáng)磁干擾下的測(cè)量信號(hào)出現(xiàn)嚴(yán)重的脈沖干擾，在突然轉(zhuǎn)向的情況下，存在較大的脈沖干擾。

4.1 不同結(jié)構(gòu)元素的濾波效果

結(jié)構(gòu)元素作為廣義形態(tài)濾波的關(guān)鍵因素，其參數(shù)的設(shè)定對(duì)濾波效果有著較大的影響。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，首先選取直線型和圓型作為結(jié)構(gòu)元素基本形狀，其表達(dá)式分別如下：

其中，k，L，m∈R。對(duì)于離散信號(hào)，通過改變k，L和m的采樣點(diǎn)，可以改變結(jié)構(gòu)元素的幅值和點(diǎn)數(shù)。針對(duì)強(qiáng)磁干擾實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，其脈沖干擾持續(xù)寬度Lq多在100個(gè)采樣點(diǎn)左右，而突然轉(zhuǎn)向脈沖干擾持續(xù)寬度Lz在200個(gè)采樣點(diǎn)左右。分別選取，50，100，Lz=25，100，150，k=1，0.5，0.25，得到以下實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖3 強(qiáng)磁干擾實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)不同長(zhǎng)度結(jié)構(gòu)元素濾波效果對(duì)比

圖4 突然變向?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)不同長(zhǎng)度結(jié)構(gòu)元素濾波效果對(duì)比

從圖中可以看出，結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度對(duì)濾波有著較大的影響，當(dāng)結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度與尖端脈沖長(zhǎng)度比較接近時(shí)，能夠有效濾除尖峰脈沖，但是當(dāng)結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度過小時(shí)，尖端脈沖不能完全被去除，當(dāng)結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度過長(zhǎng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)過度平滑現(xiàn)象，使信號(hào)失去細(xì)節(jié)信息。結(jié)構(gòu)元素的形狀決定了尖端脈沖被消去的彌補(bǔ)信號(hào)的形態(tài)，由于本文使用了直線型，濾波后的信號(hào)多出現(xiàn)直角形狀，在突然轉(zhuǎn)向信號(hào)的濾波中表現(xiàn)良好，能有效濾除因轉(zhuǎn)向產(chǎn)生的尖端脈沖。

4.2 不同模態(tài)選擇方法的濾波效果

經(jīng)過廣義形態(tài)濾波后的信號(hào)仍然存在部分高頻干擾，使用CEEMD對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分解，并提出基于自相關(guān)度的模態(tài)分量選擇方法選擇有用信號(hào)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。以強(qiáng)磁干擾實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例，使用L=50，k=0.5的形態(tài)濾波結(jié)果作為CEEMD輸入，疊加噪聲幅值為10nT，疊加10次正負(fù)白噪聲。分解得到如圖5和圖6模態(tài)分量。

根據(jù)基于自相關(guān)度的模態(tài)選擇方法，選擇IMF7-IMF11和殘余分量直接進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，對(duì)IMF1-IMF6進(jìn)行均值濾波后進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，均值濾波窗口與結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度一致，得到目標(biāo)信號(hào)如圖5所示。可以看出，基于自相關(guān)度的模態(tài)選擇方法要比傳統(tǒng)模態(tài)選擇方法濾波效果好，有效區(qū)分了噪聲分量和有用信號(hào)分量。圖6表示僅使用CEEMD方法和形態(tài)-CEEMD方法的濾波效果，可以看出形態(tài)-CEEMD方法能夠更有效地濾除尖端干擾脈沖。

圖5 不同模態(tài)選擇方法濾波結(jié)果對(duì)比

圖6 形態(tài)-CEEMD方法與CEEMD方法對(duì)比效果

5 結(jié)語

本文主要介紹了廣義形態(tài)濾波和CEEMD方法，分析了不同結(jié)構(gòu)元素下廣義形態(tài)濾波對(duì)不同信號(hào)的濾波效果，結(jié)合噪聲信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)特點(diǎn)，提出了基于自相關(guān)度的模態(tài)選擇方法。使用實(shí)測(cè)地磁數(shù)據(jù)對(duì)方法進(jìn)行了方法分析和驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果說明提出的形態(tài)-CEEMD方法能夠有效濾除強(qiáng)干擾磁脈沖和轉(zhuǎn)向情況下的磁脈沖干擾。結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度對(duì)濾波效果有著較大的影響，雖然事先分析了不同長(zhǎng)度對(duì)濾波效果的影響，選擇了合適的元素長(zhǎng)度，但是當(dāng)脈沖干擾更加復(fù)雜時(shí)，這種方法存在一定缺陷，需要考慮自適應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素選取方法。