多元函數的洛必達法則

曾玲莉，周雨佳

(西北大學 數學學院，西安 710127)

1 研究背景

1.1 洛必達法則

極限理論作為數學分析的理論基礎，主要研究內容包含兩個部分：首要任務是對極限能否存在，即存在性進行研究[1]，其次是求解極限的值。求極限值一直以來是眾多學者探討的問題，然而沒有形成一致的方法和步驟，只能根據具體情況進行分析再采取合適的方法進行求解。求極限值的方法有許多種，大家熟知的有夾逼準則、單調有界原理、Stolz公式等，但最常用最簡潔的是L’Hospital法則。

1.2 多元函數洛必達法則的發展背景

多元函數的極限有累次極限和重極限，因為函數自變量個數的增多，函數所處區域的不確定性，重極限變得十分復雜。求極限值，首先要保證這個極限是存在的，而關于多元函數的極限是否存在的問題便是一個難題，多元函數極限存在的條件比一元函數的洛必達法則更為嚴格。

綜上所述，現有研究主要是通過將多元函數不定式極限轉化為一元函數或其他形式進行求解，很少有學者基于多元函數極限本身性質進行探究。

1.3 研究內容和目的

一元函數的洛必達法則在數學以及其他學科的運用中起到很大作用，無論是對于數學基礎的建設，還是學生在考試中的應用上都十分重要。因此，對于多元函數的洛必達法則的研究具有重要意義，多元函數洛必達法則是否和一元函數具有相似的性質值得進一步探索。

本文在已有文獻的基礎上，總結了二元函數不定式的洛必達法則，并給出了二元函數洛必達法則的充分必要條件以及多元函數的洛必達法則，希望可以更便捷地求解多元函數不定式的極限值，豐富洛必達法則的內容，使洛必達法則的使用范圍更加廣泛。

2 預備知識

定義3[4]：設函數y=f(x)，若自變量在點x的改變量Δx與函數相應的改變量Δy有關系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A與Δx無關，則稱函數f(x)在點x可微，并稱AΔx為函數f(x)在點x的微分，記作dy，即dy=A×Δx，當x=x0時，則記作dy|x=x0。

3 主要結果與證明

引理1[10]海涅定理

引理2[11]二元函數的柯西中值定理

設二元函數f(x,y)，g(x,y)滿足以下條件：

(ⅰ)f(x,y)g(x,y)在去心矩形區域D:0<|x-x0|≤a,0<|y-y0|≤b內有連續的偏導數，且g1(x,y)dx+g2(x,y)dy≠0；

設二元函數f(x,y)，g(x,y)滿足下列條件：

(ⅰ)去心矩形區域D:0<|x-x0|≤a,0<|y-y0|≤b內有連續的偏導數，且g1(x,y)dx+g2(x,y)dy≠0；

設二元函數f(x,y)，g(x,y)滿足下列條件：

(ⅰ)去心矩形區域D:0<|x-x0|≤a,0<|y-y0|≤b內有連續的偏導數，且g1(x,y)dx+g2(x,y)dy≠0；

證明：

充分性：

必要性：

4 應用舉例