線性抽樣法重構傳導邊界非均勻可穿透障礙物

葉建國，鄧 霞

(1.喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844000；2.長沙師范學院數學科學學院，湖南 長沙 410100)

散射理論是20世紀數學物理研究的重要領域之一.一百多年來，從Rayleigh 對天空是藍色的解釋，到Rutherford 對原子核的發現，再到現代醫學CT 的應用，聲波和電磁波散射問題的研究越來越受到人們的關注，在地球物理、遙感技術、醫學成像、無損探測、工業控制等領域有著廣泛的應用[1-6].本文探討了帶有傳導邊界條件的非均勻可穿透障礙物線性抽樣法重構問題.

1 問題的描述

設有界單連通區域Ω是R2中的可穿透障礙物，其邊界?Ω為C2光滑的.障礙物Ω內外的介質不一樣，其表面涂有薄的、高導電率的物理涂層，當入射方向為d ∈S1:={x∈R2:|x|=1}的時諧聲波（平面波）ui=eik1x?d遇到障礙物時，在障礙物的邊界?Ω會產生傳導邊界條件，該非均勻可穿透障礙物散射問題的模型可用Helmholtz方程的邊值問題描述為

其中：波數kj>0(j=1,2)由波的頻率ω與波在區域Ω外和內的介質中的波速cj之比定義，由于Ω內外的介質不同，則有k1≠k2；電導率λ>0，表示障礙物表面物理涂層的性質；傳輸系數η>0，由Ω內外的介質的密度之比定義；n表示邊界?Ω的外單位法向量，.全波場U:=ui+us是給定的入射波ui和與之相應的散射波us之和，“±”表示x沿法線方向從Ω的外（內）逼近邊界?Ω.此外，假設散射波us滿足Sommerfeld衰減條件

事實上，取u(x):=us(x)，v(x):=V(x)，f1:=-ui和，則問題(1.3)轉化為問題(1.1)和(1.2).

鄧霞等在文獻[7]中對傳輸系數η=1 用邊界積分方程方法[5]對問題(1.1)—(1.2)適定性做了研究.由于邊界積分方程法對相關參數是常數均使用，顯然當η>0也可得到問題解的存在唯一性.

逆散射問題是利用測量數據（遠場模式）重構散射體的形狀、位置和物理參數等.對給定的入射波ui，散射波us有漸近表示

逆散射問題傳統的解法有Newton 迭代法[8-9]，該方法需要知道散射體的先驗信息，這給實際應用帶來很大的限制.1996 年，Colton 等利用線性抽樣法重構了不可穿透散射體[10].由于該方法不需要知道散射體的先驗條件，且簡單易行，引起了研究者的關注.此外，因式分解法[6]近年來越來越多的應用到逆散射問題中.Cakoni 等的專著[5]論述了線性抽樣法的詳細理論知識和具體運用.線性抽樣法解反散射問題的主要思想是用Tikhonov 正則化方法求解遠場方程

2 線性抽樣方法的理論基礎

逆散射中的線性抽樣法的關鍵是驗證遠場算子F其分解算子滿足緊性、單射性和值域的稠密性等性質.

2.1 定義

定義2.1任意的g∈L2(S1)，遠場算子F:L2(S1) →L2(S1)定義為

定義2.2定義邊值算子

其中u∞是傳導邊值問題（1.3）散射場us對應的遠場模式.

定義2.3任意的g∈L2(S1)，輔助算子

由疊加原理知，遠場算子F分解為

由經典的橢圓方程理論知，當波數不是內Dirichlet問題

定義2.4內Dirichlet-to-Neumann（DtN）算子定義為，其中v滿足問題（2.5）.

定義2.5內Neumann-to-Dirichlet（NtD）算子ΛN:H-1/2(?Ω) →H1/2(?Ω)定義為ΛNh=v|?Ω,其中v滿足問題（2.6）.

顯然，在H-1/2(?Ω)中ΛDΛN=I和在H1/2(?Ω)中ΛNΛD=I.

2.2 假設

假設2.1即不是問題（2.5）的Dirichlet特征值，也不是問題（2.6）的Neumann特征值.

假設2.2不是下列內傳輸邊值問題的特征值

Xiang等在文獻[11]中對問題（2.7）傳輸特征值的離散性和存在性做了深入的研究.

2.3 引理

引理2.1[12]若假設2.1 和2.2 成立，則邊值算子G是緊算子，值域R(G)在L2(S1)中稠密，并且核空間為

G的緊性由橢圓算子的內正則性理論容易得到.由文獻[12]定理2.1和2.2知引理成立.

引理2.2對任意的z∈R2，z∈Ω當且僅當?z∈R(G).

證明設z∈Ω，令

其中Φk1(x,y)是Helmholtz方程

的基本解.則由遠程方程的定義知

設?z∈R(G) 滿足則存在(f1,f2)∈H1/2(?Ω)×H-1/2(?Ω)使得G(f1,f1)T∈R(G).設(u,v)是問題（1.3）帶有邊值(f1,f2)的解，則由問題（1.3）的適定性知在R2中u(x)=Φk1(x,z).由散射場u的解析性與事實Φk1(x,z)在z=x∈R2處爆破相矛盾，故引理得證.

線性抽樣法理論要求算子G具有單射性，而傳導邊值問題（1.3）卻不能滿足G的單射性[12].有了算子G的核空間Ker(G)的刻畫，算子G有如下分解：

定理2.1[12]若假設2.1 和2.2 成立，則修正的邊值算子:H12(?Ω) →L2(S1)是緊的單射算子，值域R()在L2(S1)中稠密，并且對任意的z∈R2，z∈Ω當且僅當?z∈R().

定理2.2若假設2.1 和2.2 成立，則輔助算子是緊的單射算子，并且值域R()在H1/2(?Ω)中稠密.

證明（1）由算子H1和H2的積分核eik1x?d的連續性知，=H1-η-1ΛNH2是緊算子.

（2）設任意的g∈L2(S1)，使得=0.即在?Ω上H1g-η-1ΛNH2g=0.記p:=H1g，q:=H2g,則ηp-ΛNq=0.由假設2.1 知，對f=p和h=q，問題（2.5）和（2.6）存在唯一解vp∈H1(Ω)和vq∈H1(Ω)，則（即ΛNq=vq|?Ω）.令v=ηvp-vq，則有

從而(vg|Ω,vp|Ω)滿足邊值問題

（3）只需證明的伴隨算子:H-1/2(?Ω) →L2(S1)是單射[5].設任意的g∈L2(S1)，h∈H-1/2(?Ω)，因為

故引理得證.

由假設2.1和2.2以及定理2.1和2.2，我們得到線性抽樣法重構散射體Ω的重要結論.

定理2.3若假設2.1 和2.2 成立，則對任意的z∈R2，?z∈L2(S1)，

（1）若z∈Ω，則對任意的ε>0，存 在，滿足

（2）若z∈R2，則對任意的ε>0，存在，滿足

故定理2.3 得證.

3 數值模擬

本節我們驗證線性抽樣法可以重構散射體的邊界，這種反演方法可以快速有效地確定散射體的形狀和位置.線性抽樣法數值計算的相關理論參看Cakoni 的專著[5].下面給出具體算法分析.

第一步：計算遠場.用邊界積分方程法生成邊值問題（1.3）的等價邊界積分方程Aψ=P，求出散射場u，進而求出遠場u∞.

第二步：離散化.用Nystr?m 算法，將A中的邊界積分算子離散.將u∞用三角級數表示為，并對傅里葉系數添加隨機擾動(其中ε是參數，χn是取值在[-1,1]內滿足均勻分布的隨機擾動),從而得到遠場的近似逼近值

第四步：奇異值分解.將進行奇異值分解為=UΛV*(其中U,V是酉矩陣;對角矩陣Λ=diag(λ1,λ2,…,λn))，則

第五步：正則化解.令

則求解（3.3）的正則化解等價于求極小解

其中α為Tikhonov 正則化參數，由Morozov 差異化原理決定.定義uz=V*gz，記(λj,?j,ψj) 是Λ的奇異系統，則由Picard 定理知（3.5）存在極小解，帶入分量可得

第六步：障礙物重構.由定理2.3 知，當||gz||l2的值非常大時,抽樣點z逼近障礙物邊界.因此,我們可以給定一個閥M,畫出滿足的等高線,從而可以得到重構的形狀.

下面我們分別選取散射體的邊界為風箏形(1.5 cost+0.975 cos 2t,2.25 sint)、方形(2.55(cos3t+cost),2.55(sin3t+cost)) 和圓形(3 cost,3 sint)，用Nystr?m 算法求解正散射問題,得到無窮遠場離散值，并且都位于單位圓上.在整個數值模擬過程中傳輸系數η=2，考查其他參數的變化對數值模擬的影響.

在圖1中，設定參數λ=1,k1=3,k2=1 分別對風箏形、方形和圓形散射體邊界重構.線性抽樣方法都能適用,重構圖形的清晰度沒有明顯的區別.

圖1 形狀不同的散射體邊界的重構

在 圖2中，設定參數λ=1 和k1=3 固 定,內部波數k2變化,對風箏形邊界重構.波數k2=3 時,反演圖形的清晰度較差.從前面理論分析可知我們在重構散射體邊界時一定要避免內特征值問題,當波數k2與內特征值一致或者接近時,會影響重構的效果.

圖2 內部波數不同的風箏形散射體邊界的重構

在圖3中，設定參數k1=3 和k2=0.5 固定,阻抗系數λ變化,對方形邊界重構.從圖中發現阻抗系數λ的變化對反演的效果影響不顯著.

圖3 電導率不同的方形散射體邊界的重構

在圖4 中，設 定參數λ=1 和k2=1 固 定,外部波數k1變化,對圓形邊界重構.波數k1增大時,反演圖形的清晰度較差.所以入射波的頻率變化會影響反演效果.

圖4 外部波數不同的圓形散射體邊界的重構