基于非線性干擾觀測器的二階欠驅動系統軌跡跟蹤控制

徐增勇 程 赟 韋延方

(河南交通職業技術學院汽車學院 河南 鄭州 450000)2(河南理工大學電氣工程與自動化學院 河南 焦作 454000)

0 引 言

欠驅動系統是一類控制輸入少于系統自由度的系統[1-2]。由于它具有減少能量消耗、簡化控制器設計和增強控制系統對執行器故障的容錯率的優點，被廣泛應用于實際工業和生活領域[3]，比如近期比較流行的四旋翼無人機和平衡小車都屬于欠驅動系統。同時，由于欠驅動系統具有強非線性、強耦合等特性，可以用于驗證研究人員設計的控制策略的有效性，也被廣泛應用于理論研究和教學研究[4]，許多高校將經典的小車倒立擺欠驅動系統作為自動化學科的實驗教學器材。在過去一段時間，欠驅動系統的主流控制方法還是PID[5]、極點配置和LQR[6]，雖然上述方法能很好地完成控制任務，但是線性化的前提導致了控制器的魯棒性較差，系統的建模誤差、外部擾動和非線性特性對控制器的性能影響較大，甚至會導致系統不穩定。隨著控制理論的不斷向前發展，以及人們對控制器性能的要求越來越高，系統的不確定性成為了高性能控制器設計過程中不可忽視的問題，系統的模型也不是完全已知，甚至完全未知。為了應對越來越復雜的控制環境和越來越嚴格的控制條件，許多優秀的控制方法被應用到欠驅動系統中，控制器的魯棒性作為控制系統關鍵性能指標受到廣泛的重視。自適應控制方法[7]由于具有根據系統動態來自適應調節控制器參數的特點被認為是一種解決復雜非線性系統的有效控制策略，但自適應控制方法在處理系統參數擾動和外部擾動的能力上顯得捉襟見肘了。近些年來，很多研究學者將人工智能的方法引入欠驅動系統的控制中來，如神經網絡[8]、模糊系統[9]、深度學習等。由于神經網絡和模糊系統具有逼近任意非線性方程的能力[10]，所以被廣泛應用到欠驅動系統控制器設計中。常見的方法就是利用神經網絡和模糊系統來估計系統的不確定性，通過與其他控制策略結合來設計出魯棒性強的控制器。但是，這些萬能逼近器的應用會加大控制器的復雜度而導致應用的困難。滑模控制(Sliding Mode Control,SMC)作為流行的控制策略用于處理系統不確定性問題和欠驅動系統魯棒控制設計。滑?？刂撇呗跃哂袑禂_動和外部擾動不敏感、響應迅速和易于實際應用的優點[11]。干擾觀測器(Disturbance Observer,DO)作為觀測器的擴展用法，被用于估計系統的擾動，因此受到了廣泛關注。為了處理系統的確定性，基于干擾觀測器的滑模控制策略被應用到欠驅動系統的控制問題中。文獻[12]通過嚴格反饋將欠驅動系統轉換成標準級聯形式，從而設計了基于非線性干擾觀測器的滑?？刂撇呗?。但是文獻中的轉換方法并不適用于Ⅱ型欠驅動系統[2]。文獻[13]針對帶有非匹配擾動的機器人欠驅動系統設計了基于高階干擾觀測器的滑?？刂品椒?。本文利用文獻[14]提出的非線性干擾觀測器(Nonlinear Disturbance Observer,NDO)來處理系統中的未建模誤差、參數擾動和外部擾動。這種新型觀測器具有結構簡單、參數易于設計的優點，同時避免了需要知道擾動先驗知識的缺點。將其與分層滑模控制器結合，可以設計出強魯棒性的控制器。控制系統的穩定性也通過Lyapunov方法進行了嚴格的理論分析，使其能更好地應用于不同的二階欠驅動系統。最后，通過對比仿真實驗證明了本文提出的控制策略在滿足控制目標的前提下，具有很好的魯棒性。

1 系統描述

根據拉格朗日方程[2],2階欠驅動系統的動態方程表示如下：

(1)

(2)

式中：Δf1(x)、Δf2(x)、Δb1(x)和Δb2(x)是系統的未建模誤差和參數擾動；d1(t)和d2(t)代表系統的外部擾動；u為系統的控制輸入。

首先，系統跟蹤誤差如下：

(3)

式中：x1d和x3d是期望的跟蹤軌跡。

根據式(2)和式(3)可以得到如下的誤差動態方程：

(4)

式中：d1all=Δf1+Δb1u+d1和d2all=Δf2+Δb2u+d2為系統的不確定性擾動總和，本文將利用NDO補償控制系統的擾動總和。為了完成跟蹤控制目標，我們做出如下符合實際情況的假設。

2 控制器設計

本文引用文獻[14]提出的觀測器來估計和補償式(4)中不確定性擾動總和，從而提高控制器的魯棒性。

引理1根據式(2)和假設2，用于估計不確定擾動總和d1all和d2all的觀測器形式如下：

(5)

(6)

(7)

(8)

定義如下兩個子滑模面：

(9)

式中：c1和c2為需要設計的正參數。然后定義如下的總滑模面：

s=cs1+s2

(10)

式中：c是需要設計的正參數。根據式(4)和式(9)，總滑模面的導數如下：

d2all+(c3b1+b2)(ueq1+ueq2+uw)

(11)

式中：控制率u=ueq1+ueq2+uw,ueq1和ueq2表示滑?？刂频牡刃Э刂坡?，uw為切換控制率。

系統的等價控制率設計如下：

(12)

ηsgn(s)+ks)/(c3g1+g2)

(13)

圖1為控制器的設計結構框圖。

圖1 基于非線性干擾觀測器的分層滑?？刂破髟O計框圖

定理1對式(2)描述的欠驅動系統，如果滑模面的設計為式(12)和式(13)，并且控制器的參數設計滿足：

k>0,η>c3μ1+μ2

(14)

證明:選擇如下的Lyapunov函數:

V=s2/2

(15)

根據式(4)和式(9)，將式(15)求導可得：

c2x4+f2+d2all+(c3b1+b2)u)

(16)

然后將式(12)和式(13)代入式(16)則有：

-(η-c3σ1-σ2)|s|-ks2

(17)

將式(17)兩邊進行積分操作，則有：

(18)

然后：

(19)

由于Lyapunov方程滿足V(t)≥0,所以：

(20)

然后：

(21)

根據Barbalat引理[16]有：

(22)

因為控制器參數選擇滿足式(14)，所以：

(23)

定理1證明完畢。

3 仿真研究

為了證明提出的控制策略的有效性，本節將經典欠驅動系統小車倒立擺[2]作為仿真對象，圖2為小車倒立擺的系統結構。其中：x=x1；θ=x3；在仿真研究中，控制對象的物理參數選擇如下：M=1.2 kg，m=0.15 kg，l=0.5 m，g=9.8 N/kg；系統的初始狀態為x=[0,0,0,0]T。為了證明控制器的優越性，選擇文獻[17]和文獻[5]進行對比仿真。為了方便表達，本文提出的控制器用N-SMC表示，將文獻[17]的控制器用A-SMC表示，將文獻[5]提出的控制策略用D-PID表示。三種控制器的參數如表1-表3所示。

圖2 小車倒立擺系統示意圖

表1 N-SMC設計參數

表2 A-SMC設計參數

表3 D-PID設計參數

注意1為了驗證控制器的有效性，對比仿真實驗中N-SMC和A-SMC滑模面參數的選擇相同，其中：λ1和λ1是自適應律參數；PID1和PID2分別為小車位置和擺桿擺動閉環的控制參數。

在仿真實驗中，控制器設計目標是使小車跟蹤期望的跟蹤軌跡0.5sin(0.5t)，并且擺桿在一定范圍內擺動保持豎直狀態。

仿真實現分為兩種情況，每種情況對應一種不同的擾動形式。

情況1在仿真進行到15 s的時候，輸入端加入2sin(t)的擾動量。仿真結果如圖3-圖5所示。

圖3 帶有輸入擾動的跟蹤效果

圖4 帶有輸入擾動的跟蹤誤差

圖5 帶有輸入擾動的擺桿擺動角度

可以看出，三種控制器都能很好地跟蹤期望的軌跡并保持擺桿處于豎直狀態。但是，在15 s時加入輸入擾動后，D-PID的跟蹤誤差和擺桿擺動角度大幅度增加。而N-SMC和A-SMC基本沒有受到影響，結果說明本文提出的控制器對輸入擾動具有很好的抑制作用。

情況2本次實驗用于測試控制系統對參數擾動的抗擾能力，在仿真進行到15 s的時候，將系統的物理參數M從1.2 kg變成5 kg。仿真結果如圖6-圖8所示。

圖6 帶有參數擾動的跟蹤效果

圖7 帶有參數擾動的跟蹤誤差

圖8 帶有參數擾動的擺桿擺動角度

注意2在參數擾動仿真實驗中，D-PID控制器在較大參數擾動下已經發散從而影響控制效果的對比，故沒有將D-PID的控制結果放入仿真結果圖6-圖8中。

從上述的仿真結果圖可以看出，A-SMC控制器在加入大的參數擾動后跟蹤誤差出現了高頻大幅度振動，擺桿的擺動角度也出現了高頻大幅振動，而N-SMC基本沒有受到影響，仿真結果證明了本文提出的控制器具有很好的魯棒性。

4 結 語

本文針對二階欠驅動系統跟蹤控制問題提出一種基于非線性干擾觀測器的分層滑?？刂撇呗浴Ｍㄟ^引用一種新型非線性干擾觀測器用于補償系統的不確定性擾動，結合分層滑?？刂撇呗?，設計出一種具有強魯棒性的控制器。對比仿真表明，本文設計的控制器對外部擾動和參數擾動具有很好的抑制作用。同時，通過嚴格的Lyuapnov穩定性分析，證明了控制系統閉環穩定性。