基于非線性干擾觀測(cè)器的二階欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)軌跡跟蹤控制

徐增勇 程 赟 韋延方

(河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車學(xué)院 河南 鄭州 450000)2(河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院 河南 焦作 454000)

0 引 言

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是一類控制輸入少于系統(tǒng)自由度的系統(tǒng)[1-2]。由于它具有減少能量消耗、簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)和增強(qiáng)控制系統(tǒng)對(duì)執(zhí)行器故障的容錯(cuò)率的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工業(yè)和生活領(lǐng)域[3]，比如近期比較流行的四旋翼無人機(jī)和平衡小車都屬于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。同時(shí)，由于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合等特性，可以用于驗(yàn)證研究人員設(shè)計(jì)的控制策略的有效性，也被廣泛應(yīng)用于理論研究和教學(xué)研究[4]，許多高校將經(jīng)典的小車倒立擺欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)作為自動(dòng)化學(xué)科的實(shí)驗(yàn)教學(xué)器材。在過去一段時(shí)間，欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的主流控制方法還是PID[5]、極點(diǎn)配置和LQR[6]，雖然上述方法能很好地完成控制任務(wù)，但是線性化的前提導(dǎo)致了控制器的魯棒性較差，系統(tǒng)的建模誤差、外部擾動(dòng)和非線性特性對(duì)控制器的性能影響較大，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。隨著控制理論的不斷向前發(fā)展，以及人們對(duì)控制器性能的要求越來越高，系統(tǒng)的不確定性成為了高性能控制器設(shè)計(jì)過程中不可忽視的問題，系統(tǒng)的模型也不是完全已知，甚至完全未知。為了應(yīng)對(duì)越來越復(fù)雜的控制環(huán)境和越來越嚴(yán)格的控制條件，許多優(yōu)秀的控制方法被應(yīng)用到欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，控制器的魯棒性作為控制系統(tǒng)關(guān)鍵性能指標(biāo)受到廣泛的重視。自適應(yīng)控制方法[7]由于具有根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)來自適應(yīng)調(diào)節(jié)控制器參數(shù)的特點(diǎn)被認(rèn)為是一種解決復(fù)雜非線性系統(tǒng)的有效控制策略，但自適應(yīng)控制方法在處理系統(tǒng)參數(shù)擾動(dòng)和外部擾動(dòng)的能力上顯得捉襟見肘了。近些年來，很多研究學(xué)者將人工智能的方法引入欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制中來，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]、模糊系統(tǒng)[9]、深度學(xué)習(xí)等。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊系統(tǒng)具有逼近任意非線性方程的能力[10]，所以被廣泛應(yīng)用到欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)中。常見的方法就是利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊系統(tǒng)來估計(jì)系統(tǒng)的不確定性，通過與其他控制策略結(jié)合來設(shè)計(jì)出魯棒性強(qiáng)的控制器。但是，這些萬能逼近器的應(yīng)用會(huì)加大控制器的復(fù)雜度而導(dǎo)致應(yīng)用的困難?；？刂?Sliding Mode Control,SMC)作為流行的控制策略用于處理系統(tǒng)不確定性問題和欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)魯棒控制設(shè)計(jì)?；？刂撇呗跃哂袑?duì)參數(shù)擾動(dòng)和外部擾動(dòng)不敏感、響應(yīng)迅速和易于實(shí)際應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)[11]。干擾觀測(cè)器(Disturbance Observer,DO)作為觀測(cè)器的擴(kuò)展用法，被用于估計(jì)系統(tǒng)的擾動(dòng)，因此受到了廣泛關(guān)注。為了處理系統(tǒng)的確定性，基于干擾觀測(cè)器的滑模控制策略被應(yīng)用到欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制問題中。文獻(xiàn)[12]通過嚴(yán)格反饋將欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)級(jí)聯(lián)形式，從而設(shè)計(jì)了基于非線性干擾觀測(cè)器的滑模控制策略。但是文獻(xiàn)中的轉(zhuǎn)換方法并不適用于Ⅱ型欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[2]。文獻(xiàn)[13]針對(duì)帶有非匹配擾動(dòng)的機(jī)器人欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于高階干擾觀測(cè)器的滑模控制方法。本文利用文獻(xiàn)[14]提出的非線性干擾觀測(cè)器(Nonlinear Disturbance Observer,NDO)來處理系統(tǒng)中的未建模誤差、參數(shù)擾動(dòng)和外部擾動(dòng)。這種新型觀測(cè)器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)易于設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)避免了需要知道擾動(dòng)先驗(yàn)知識(shí)的缺點(diǎn)。將其與分層滑?？刂破鹘Y(jié)合，可以設(shè)計(jì)出強(qiáng)魯棒性的控制器。控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也通過Lyapunov方法進(jìn)行了嚴(yán)格的理論分析，使其能更好地應(yīng)用于不同的二階欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。最后，通過對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)證明了本文提出的控制策略在滿足控制目標(biāo)的前提下，具有很好的魯棒性。

1 系統(tǒng)描述

根據(jù)拉格朗日方程[2],2階欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程表示如下：

(1)

(2)

式中：Δf1(x)、Δf2(x)、Δb1(x)和Δb2(x)是系統(tǒng)的未建模誤差和參數(shù)擾動(dòng)；d1(t)和d2(t)代表系統(tǒng)的外部擾動(dòng)；u為系統(tǒng)的控制輸入。

首先，系統(tǒng)跟蹤誤差如下：

(3)

式中：x1d和x3d是期望的跟蹤軌跡。

根據(jù)式(2)和式(3)可以得到如下的誤差動(dòng)態(tài)方程：

(4)

式中：d1all=Δf1+Δb1u+d1和d2all=Δf2+Δb2u+d2為系統(tǒng)的不確定性擾動(dòng)總和，本文將利用NDO補(bǔ)償控制系統(tǒng)的擾動(dòng)總和。為了完成跟蹤控制目標(biāo)，我們做出如下符合實(shí)際情況的假設(shè)。

2 控制器設(shè)計(jì)

本文引用文獻(xiàn)[14]提出的觀測(cè)器來估計(jì)和補(bǔ)償式(4)中不確定性擾動(dòng)總和，從而提高控制器的魯棒性。

引理1根據(jù)式(2)和假設(shè)2，用于估計(jì)不確定擾動(dòng)總和d1all和d2all的觀測(cè)器形式如下：

(5)

(6)

(7)

(8)

定義如下兩個(gè)子滑模面：

(9)

式中：c1和c2為需要設(shè)計(jì)的正參數(shù)。然后定義如下的總滑模面：

s=cs1+s2

(10)

式中：c是需要設(shè)計(jì)的正參數(shù)。根據(jù)式(4)和式(9)，總滑模面的導(dǎo)數(shù)如下：

d2all+(c3b1+b2)(ueq1+ueq2+uw)

(11)

式中：控制率u=ueq1+ueq2+uw,ueq1和ueq2表示滑?？刂频牡刃Э刂坡剩瑄w為切換控制率。

系統(tǒng)的等價(jià)控制率設(shè)計(jì)如下：

(12)

ηsgn(s)+ks)/(c3g1+g2)

(13)

圖1為控制器的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)框圖。

圖1 基于非線性干擾觀測(cè)器的分層滑?？刂破髟O(shè)計(jì)框圖

定理1對(duì)式(2)描述的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，如果滑模面的設(shè)計(jì)為式(12)和式(13)，并且控制器的參數(shù)設(shè)計(jì)滿足：

k>0,η>c3μ1+μ2

(14)

證明:選擇如下的Lyapunov函數(shù):

V=s2/2

(15)

根據(jù)式(4)和式(9)，將式(15)求導(dǎo)可得：

c2x4+f2+d2all+(c3b1+b2)u)

(16)

然后將式(12)和式(13)代入式(16)則有：

-(η-c3σ1-σ2)|s|-ks2

(17)

將式(17)兩邊進(jìn)行積分操作，則有：

(18)

然后：

(19)

由于Lyapunov方程滿足V(t)≥0,所以：

(20)

然后：

(21)

根據(jù)Barbalat引理[16]有：

(22)

因?yàn)榭刂破鲄?shù)選擇滿足式(14)，所以：

(23)

定理1證明完畢。

3 仿真研究

為了證明提出的控制策略的有效性，本節(jié)將經(jīng)典欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)小車倒立擺[2]作為仿真對(duì)象，圖2為小車倒立擺的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。其中：x=x1；θ=x3；在仿真研究中，控制對(duì)象的物理參數(shù)選擇如下：M=1.2 kg，m=0.15 kg，l=0.5 m，g=9.8 N/kg；系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x=[0,0,0,0]T。為了證明控制器的優(yōu)越性，選擇文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[5]進(jìn)行對(duì)比仿真。為了方便表達(dá)，本文提出的控制器用N-SMC表示，將文獻(xiàn)[17]的控制器用A-SMC表示，將文獻(xiàn)[5]提出的控制策略用D-PID表示。三種控制器的參數(shù)如表1-表3所示。

圖2 小車倒立擺系統(tǒng)示意圖

表1 N-SMC設(shè)計(jì)參數(shù)

表2 A-SMC設(shè)計(jì)參數(shù)

表3 D-PID設(shè)計(jì)參數(shù)

注意1為了驗(yàn)證控制器的有效性，對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)中N-SMC和A-SMC滑模面參數(shù)的選擇相同，其中：λ1和λ1是自適應(yīng)律參數(shù)；PID1和PID2分別為小車位置和擺桿擺動(dòng)閉環(huán)的控制參數(shù)。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，控制器設(shè)計(jì)目標(biāo)是使小車跟蹤期望的跟蹤軌跡0.5sin(0.5t)，并且擺桿在一定范圍內(nèi)擺動(dòng)保持豎直狀態(tài)。

仿真實(shí)現(xiàn)分為兩種情況，每種情況對(duì)應(yīng)一種不同的擾動(dòng)形式。

情況1在仿真進(jìn)行到15 s的時(shí)候，輸入端加入2sin(t)的擾動(dòng)量。仿真結(jié)果如圖3-圖5所示。

圖3 帶有輸入擾動(dòng)的跟蹤效果

圖4 帶有輸入擾動(dòng)的跟蹤誤差

圖5 帶有輸入擾動(dòng)的擺桿擺動(dòng)角度

可以看出，三種控制器都能很好地跟蹤期望的軌跡并保持?jǐn)[桿處于豎直狀態(tài)。但是，在15 s時(shí)加入輸入擾動(dòng)后，D-PID的跟蹤誤差和擺桿擺動(dòng)角度大幅度增加。而N-SMC和A-SMC基本沒有受到影響，結(jié)果說明本文提出的控制器對(duì)輸入擾動(dòng)具有很好的抑制作用。

情況2本次實(shí)驗(yàn)用于測(cè)試控制系統(tǒng)對(duì)參數(shù)擾動(dòng)的抗擾能力，在仿真進(jìn)行到15 s的時(shí)候，將系統(tǒng)的物理參數(shù)M從1.2 kg變成5 kg。仿真結(jié)果如圖6-圖8所示。

圖6 帶有參數(shù)擾動(dòng)的跟蹤效果

圖7 帶有參數(shù)擾動(dòng)的跟蹤誤差

圖8 帶有參數(shù)擾動(dòng)的擺桿擺動(dòng)角度

注意2在參數(shù)擾動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)中，D-PID控制器在較大參數(shù)擾動(dòng)下已經(jīng)發(fā)散從而影響控制效果的對(duì)比，故沒有將D-PID的控制結(jié)果放入仿真結(jié)果圖6-圖8中。

從上述的仿真結(jié)果圖可以看出，A-SMC控制器在加入大的參數(shù)擾動(dòng)后跟蹤誤差出現(xiàn)了高頻大幅度振動(dòng)，擺桿的擺動(dòng)角度也出現(xiàn)了高頻大幅振動(dòng)，而N-SMC基本沒有受到影響，仿真結(jié)果證明了本文提出的控制器具有很好的魯棒性。

4 結(jié) 語

本文針對(duì)二階欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)跟蹤控制問題提出一種基于非線性干擾觀測(cè)器的分層滑?？刂撇呗?。通過引用一種新型非線性干擾觀測(cè)器用于補(bǔ)償系統(tǒng)的不確定性擾動(dòng)，結(jié)合分層滑模控制策略，設(shè)計(jì)出一種具有強(qiáng)魯棒性的控制器。對(duì)比仿真表明，本文設(shè)計(jì)的控制器對(duì)外部擾動(dòng)和參數(shù)擾動(dòng)具有很好的抑制作用。同時(shí)，通過嚴(yán)格的Lyuapnov穩(wěn)定性分析，證明了控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。