空間引力波探測望遠鏡光學系統設計

李建聰，林宏安，羅佳雄，伍雁雄,3*，王 智

（1. 佛山科學技術學院 物理與光電工程學院, 廣東 佛山 528000；2. 中國科學院長春光學精密機械與物理研究所, 吉林 長春130033；3. 季華實驗室, 廣東 佛山 528000）

1 引 言

引力波的發現使得人類能夠探測到基于電磁波無法觀測到的宇觀尺度和天體現象，引力波的測量為探索宇宙的起源、形成、演化和理解引力宇宙提供了一個全新的觀測手段，借助引力波探測手段幫助人類重新認識引力本質、時空結構、物質起源和宇宙起源等基本科學問題[1]。2016 年初，地面激光干涉引力波天文臺(Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory，LIGO)[2]直接探測到了由13 億光年外兩黑洞旋轉合并產生的引力波。由于受到低頻地脈震動，引力梯度噪聲以及地球曲率的限制，其探測最靈敏的頻段為10 Hz～104Hz，是目前小型黑洞和致密恒星合并的最佳探測器。為了能夠探測到0.1 mHz～1 Hz頻段的引力波信號[3-5]，需要構建一個測量噪聲小于1 pm/的空間引力波天文臺，太極計劃、天琴計劃和激光干涉儀空間天線(Laser Interferometer Space Antenna，LISA)等空間引力波探測計劃，它們均使用3 個航天器構成一個干涉臂長為百萬公里級別的等邊三角形空間激光干涉儀，且每個航天器帶有兩個望遠鏡[6-9]。由于在空間環境中航天器容易受到非保守力的擾動，導致望遠鏡接收到的光束發生抖動，其波前誤差與抖動光程(Tilt-To-Length，TTL)噪聲耦合，成為了探測系統中僅次于散粒噪聲的第二大噪聲源。為了滿足空間引力波的探測要求，光束抖動在±300 μrad 以內時TTL 耦合噪聲不能超過25 pm/μrad[10-12]，這對望遠鏡波前誤差的控制提出了較高的要求。

為了分析望遠鏡波前誤差與TTL 噪聲耦合的關系，SASSO 將望遠鏡出瞳處波前像差用Zernike 多項式表示，僅考慮離焦、像散、彗差、三葉草以及球差，通過LPF(LISA Path Finder)信號解析計算指向抖動和低階像差耦合的關系，指出望遠鏡的波前誤差RMS 值要小于λ/65 才能滿足探測要求[13]。ZHAO Y 用前25 項Fringe Zernike多項式擬合望遠鏡出瞳處的波前，將像差的擬合級數從初級提升到了三級，分析了不同波前誤差對TTL 噪聲的影響。并得出以下結論：在LPF 信號解析計算下，波前誤差RMS 值小于λ/50 時才能滿足探測要求[14-15]。針對空間引力波探測，國內根據空間太極計劃任務需求，對望遠鏡的功能及技術要求進行了分析[16-17]：陳勝楠設計了一個波前誤差RMS 值優于0.005λ 的離軸四反望遠鏡[18]；ZHAO Y 構建了一個P-V 值為0.014λ 的望遠鏡，但由于加工裝調等誤差的影響，實際的波前誤差RMS 值已惡化為0.071λ[15]，TTL 耦合噪聲超過25 pm/μrad。當前關于空間引力波探測望遠鏡的設計，尚未有針對望遠鏡波前誤差對TTL 噪聲的影響確定光學像差的控制邊界的研究，也沒有以此為指導設計空間引力波探測望遠鏡光學系統。

為研究空間引力波探測望遠鏡出瞳處波前誤差對TTL 噪聲的耦合機理及像差控制要求，本文基于高斯光束和平頂光束干涉原理建立TTL 噪聲的光學模型。基于LPF 信號分析了不同光學像差對TTL 噪聲的貢獻程度；采用蒙特卡洛算法研究不同數值波前誤差下，低階像差占比對TTL 耦合噪聲的影響，由此確定望遠鏡光學系統設計時低階像差占比與總波前誤差的控制要求。在此基礎上，設計了一種望遠鏡波前誤差滿足TTL 耦合噪聲低于25 pm/μrad 控制要求的空間引力波探測望遠鏡光學系統。

2 波前誤差與TTL 噪聲耦合模型

2.1 平頂光束與高斯光束的干涉原理

如圖1 所示，望遠鏡將遠場波前截斷為平頂光束，與高斯光束疊加傳輸，通過成像系統在四象限探測器（QPD）上進行干涉。

圖1 空間激光干涉儀望遠鏡光學系統Fig. 1 Telescope optical system of space laser interferometer

由于望遠鏡光學系統存在波前誤差，平頂光束和高斯光束受加工和裝調等誤差影響，傳輸后相位已發生畸變。在目前的理論分析中[13-14]，通常采用復振幅來計算相位信息，并且為了簡化后面的計算，假設平頂光束Eflat和高斯光束Egauss兩個干涉光束的中心重合，并將干涉中心設置為圖2(彩圖見期刊電子版)所示的坐標原點O，則復振幅表示為：

圖2 干涉光束與四象限探測器的相對位置Fig. 2 The relative position of the interference beam and the four-quadrant detector

式中(r,θ)是 探測器上面的極坐標，W(r,θ)表示包括傾斜在內的總波前誤差， ω(z)是探測器上的光斑大小。

對于LPF 信號，通過計算式(1)的幅角，便可以得到干涉光束的相位差 φLPF。由于四象限探測器存在狹縫，會導致部分復振幅信息丟失，故需要減去丟失部分的復振幅。四象限探測器的狹縫寬度是微米級別的，本文將狹縫寬度和干涉圓光斑交疊部分的形狀視為矩形，通過笛卡爾坐標計算丟失部分的復振幅。φLPF的計算可表示為：

式中an為 式(1)近似計算的結果，sn為丟失部分的復振幅：

其中：L為四象限探測器溝道的狹縫寬度；干涉圓光斑中心O偏離探測器中心的距離為 εr，偏離豎直方向和水平方向的狹縫長度分別為εx和εy；Dx1、Dx2和Dy1、Dy2為干涉圓斑與探測器正交的兩條狹縫相交的弦長。

2.2 波前誤差與TTL 噪聲的耦合

Zernike 多項式由于在圓域上具有正交性，故其在描述圖像時具有最少的信息冗余度，并且與光學設計中的Seidel 像差相對應，所以在圓瞳孔徑上常作為正交基進行波前重構，其基本形式為：

為了精確描述光學系統的制造和調整誤差，采用Fringe Zernike 多項式的前25 項擬合望遠鏡波前誤差。除了徑向對稱的離焦項及3 個球差項外，可以將其它相同像差的余弦項和正弦項進行合并，獲得這些像差的矢量形式，以此用一個公式表示對應像差的大小和方向。如圖3(彩圖見期刊電子版)所示，為了獲得傾斜像差矢量，可以聯立余弦項(x方向)和正弦項(y方向)的傾斜像差項，其矢量形式為：

圖3 傾斜像差余弦項與正弦項合并。（a）豎直傾斜項；（b）水平傾斜項；（c）合并后的傾斜項Fig. 3 Combined cosine and sine terms of the tilt aberration. (a) Vertical tilt aberration; (b) horizontal tilt aberration; (c) combined tilt aberration

式中，ai(i=2, 3)是組合前的像差系數，和 θTI分別表示合并后像差的大小和方向角。極坐標系下的完全正交Zernike 多項式Zj(ρ,θ)如表1 所示。

表1 由Fringe Zernike 多項式的前25 項組成的14 個Zernike 像差Tab.1 The fourteen Zernike aberrations consist of the first 25 terms of Fringe Zernike polynomials

用Fringe Zernike 多項式擬合的波前誤差W(ρ,θ)以 及RMS 值 σW表示為：

本文旨在分析光束抖動角 α和望遠鏡波前誤差之間的耦合，因此在計算過程中忽略了與 α無關的項和高于二次的項，通過式(2)解析計算得到縱向路徑長度信號LPSLPF(φLPF/k)為：

v1為3 個彗差項和2 個三葉草項的像差向量的集合，v2為4 個球差項（包括離焦）、3 個像散項和初級四葉草項的像差向量的集合；系數矩陣M1和M2是歸一化半徑 ωr=ω/R， θTI和 θAber之間加減組合的余弦函數。

通過式(15) 可以分析望遠鏡波前誤差中不同像差與TTL 噪聲的耦合，并以此獲得不同像差對TTL 噪聲的影響大小。

3 望遠鏡波前誤差控制要求

3.1 光學像差與TTL 噪聲對應關系分析

為確定望遠鏡出瞳處總波前誤差以及不同像差的控制要求，本文通過前面解析計算得到的波前誤差與TTL 噪聲耦合關系式(15)，分析光學像差對TTL 噪聲的貢獻。為了便于分析，本文設置歸一化半徑 ωr=1， θTI和其它所有像差的方位角θAber設置為零，四象限探測器溝道狹縫的寬度為10 μm，通過加入Zernike 多項式的常數項獲得特定值的系數矩陣。為便于比較，將M1和M2矩陣中的元素分別除以它們的最大值，如圖4(彩圖見期刊電子版)所示。

圖4 歸一化的 M 1 和 M 2系數矩陣Fig. 4 Normalized coefficients of the M 1 and M 2 matrices

圖5 M 2矩陣中不同像差對TTL 噪聲的影響Fig. 5 The influence of different aberrations on TTL noise in the M 2 matrix

研究發現，不同級數的像差對TTL 噪聲的影響有所差異，本文將Fringe Zernike 多項式前25 項（除去傾斜項TI）表示的像差分為兩類，一類為DE、PA、PC、PS 和PTR 5 個初級像差的低階像差，其余的則為高階像差。在M1矩陣中，歸一化值超過0.9 的總共有7 個元素，其中5 個元素（圖4 中框選的區域）與低階像差相關，并且隨著像差級數的增加，對應元素的歸一化值逐漸降低，這一情況在M2矩陣中表現得更為明顯。由此可知，相較于高階像差，低階像差對TTL 耦合噪聲的貢獻更大。

3.2 低階像差占比對TTL 噪聲的耦合影響

當低階像差在望遠鏡出瞳處波前誤差中的比例不同時，對TTL 噪聲貢獻也有所不同。為分析低階像差項在波前誤差中的占比對TTL 噪聲的影響，本文在總的波前誤差RMS 值分別為λ/60、λ/50、λ/40、λ/30 和λ/20 時，分析低階像差占比分別為20%、30%、40%、50%、60%、70% 和100%時對TTL 噪聲的影響差異。利用蒙特卡洛算法分別隨機生成 1 萬個波前誤差樣本，并分別代入式(15) 進行計算。在計算過程中，不考慮和θAber， 用 α 代替 θTI，在α為±300 μrad 的條件下獲得的最大值，以考慮最壞情況是否滿足探測要求。分析結果如圖6(彩圖見期刊電子版)所示，為了更好地對比不同條件下的統計結果，本文將不同系統總的波前誤差、不同低階像差占比時的TTL 耦合噪聲平均值及不大于25 pm/μrad 的樣本比例，總結如表2 所示。從表2 可以看出，隨著低階像差在總波前誤差中的占比降低，波前誤差與TTL 噪聲耦合的平均值逐步減小。在σW=λ/20，低階像差占比為20%時， TTL 耦合噪聲小于25 pm/μrad的概率為88.1%；低階像差占比為100%時，滿足探測要求的概率僅為5.36%。另外，隨著望遠鏡波前誤差降低，對低階像差占比的要求逐漸放寬，從 σW=λ/30，低階像差占比20%，變為σW=λ/60，低階像差占比60%。

圖6 低階像差在不同占比下對TTL 噪聲的影響Fig. 6 The effect of low-order aberration on TTL noise under different proportions

表2 不同占比低階像差下TTL 耦合噪聲平均值及耦合噪聲不超過2 5 pm/μrad 的概率統計Tab.2 Average value of TTL coupling noise and probability statistics for TTL coupling noise not exceeding 25pm/μrad under different proportions of low-order aberrations

4 設計結果與分析

空間引力波探測望遠鏡光學系統除了需要滿足衍射極限的成像質量外，更為重要的是系統波前誤差與TTL 噪聲耦合要滿足探測要求。表3 給出了典型空間引力波探測望遠鏡光學系統的主要設計指標，其中TTL 耦合噪聲不大于25 pm/μrad。

表3 空間望遠系統指標Tab.3 Indicators of space telescope system

本文選擇離軸四反無焦光學系統初始結構進行設計與優化。根據系統波前誤差對TTL 噪聲的影響機理與仿真分析結果，總的系統波前誤差越小，TTL 耦合噪聲越小；同時，隨著低階像差占比的降低，總的系統波前誤差要求可以降低。為確保TTL 耦合噪聲不超過25 pm/μrad，一方面考慮總的系統波前誤差不宜過小，以減小后續加工制造的難度；另一方面考慮到低階像差的占比也不宜過低，增加高階像差會導致加工制造的公差靈敏度變高。經過平衡與設計，最終控制望遠鏡總的波前誤差不超過λ/50 以及低階像差占比50%作為望遠鏡像差的控制要求，對望遠鏡光學系統設計進行結構調整，平衡與優化總的波前誤差以及低階像差占比。

研究發現，對次鏡引入偶次非球面項有利于調控低階像差的占比，因此設計中將次鏡設置為高階偶次非球面。為避免更高階非球面項引起加工制造難度大的問題，控制非球面項最高不超過12 次項。設計完成的光學系統結構如圖7 所示。望遠鏡各反射鏡設計參數如表4 所示，主鏡為雙曲面，次鏡的偶次非球面高階項系數如表5 所示，三鏡和四鏡為球面。圖8(a)(彩圖見期刊電子版)為望遠鏡出瞳處的波前圖，可知，其總的波前誤差RMS 值為0.019 08λ，低階像差占比為50%，由Fringe Zernike 多項式擬合的幅值大小(Mag) 和方向角(Ori) 如表6 所示。圖8(b)(彩圖見期刊電子版)為波前誤差與TTL 噪聲耦合的結果，在±300 μrad 以內，耦合系數的最大值為8.25 pm/μrad，遠低于指標要求的25 pm/μrad，滿足空間引力波的探測需求。

圖7 優化后的望遠鏡光學系統結構Fig. 7 Optimized structure of the telescope optical system

表4 優化后望遠鏡光學系統的設計參數Tab.4 Optimized design parameters of the telescope optical system

表5 次鏡偶次非球面的高階項系數Tab.5 High-order term coefficients of even-order aspheric surfaces of the secondary mirror

圖8 （a）優化后望遠鏡出瞳處波前；（b）TTL 耦合噪聲計算結果Fig. 8 (a) Wavefront at the exit pupil of the telescope after optimization; (b) calculation results of TTL coupled noise

表6 Zernike 多項式擬合望遠鏡出瞳處波前的幅值和方向Tab.6 Amplitude and orientation of the wavefront at the exit pupil of the telescope based on Zernike polynomials

在本文設計中，通過控制望遠鏡光學系統總的波前誤差以及調控低階像差的占比，實現了TTL 耦合噪聲控制要求。進一步地，考慮到加工、裝配等制造環節對波前誤差以及與TTL 噪聲耦合的變化能否滿足要求，以TTL 耦合噪聲作為評價因子，對望遠鏡進行公差分析。望遠鏡光學系統的公差主要包括加工公差和裝調公差，以主鏡作為裝調基準，具體的公差分配表如表7 所示。為了檢驗公差分析結果是否滿足探測要求，通過提取200 個公差分析文件的波前誤差和Fringe Zernike 多項式幅值，通過式(15) 計算得到TTL 耦合噪聲，結果如圖9 所示。波前誤差在0.018 4λ～0.020 7λ 范圍內，TTL 耦合噪聲的平均值為5.04 pm/μrad，最大值為15.50 pm/μrad。在典型公差條件下，望遠鏡能夠滿足TTL 耦合噪聲不超過25 pm/μrad 的要求，具備可實現性。

圖9 蒙特卡洛公差分析下耦合系數統計結果Fig. 9 Statistical results of coupling coefficient with Monte Carlo tolerance analysis

表7 望遠鏡公差分配Tab.7 Tolerance allocation of the telescope

5 結 論

目前，空間引力波探測望遠鏡光學系統的設計處于起步與完善階段，在設計上有其特殊性，不僅需要滿足衍射極限的成像質量，重點要實現光學像差與TTL 噪聲耦合滿足引力波的探測要求。本文建模分析了光學像差與TTL 耦合噪聲的影響機理，仿真分析了單種像差對TTL 耦合噪聲的影響程度。研究分析了低階像差在望遠鏡波前誤差中的占比對TTL 噪聲的影響。在此基礎上，提出通過控制系統總的波前誤差以及低階像差占比的設計方法，滿足TTL 耦合噪聲的像差控制要求。

通過設計典型指標下的空間引力波探測望遠鏡光學系統，驗證了設計方法的有效性。實現望遠鏡總的波前誤差RMS 值為0.019 08λ，低階像差占比為50%，在±300 μrad 以內TTL 耦合噪聲的最大值為8.25 pm/μrad。公差分析結果表明，系統總的波前誤差RMS 值優于0.020 7λ，TTL 耦合噪聲平均值為5.04 pm/μrad，最大值為15.50 pm/μrad，滿足空間引力波探測對TTL 耦合噪聲的要求，具備工程實現性。研究成果為空間引力波探測望遠鏡光學系統的設計制造提供了一種有效的方法參考與借鑒。