芻議物理思維與數學思維的差異性
——也談基礎教育階段“為什么物理難學又難教？”

馮 杰 韓笑天 葉彬恩

（上海師范大學天華學院，上海 201815）

著名的錢學森之問：“為什么我們的學校總是培養不出杰出人才？”這是關于中國教育事業發展的一道艱深命題.人們普遍認為，這需要整個教育界乃至社會各界共同破解.眾所周知，近20年來，我國的基礎教育進行了大張旗鼓的兩輪課程改革，卻出現了全國人民的焦慮之問：“為什么物理難學又難教？”我們要問：“物理真是難學又難教嗎？”難道也需要整個教育界乃至社會各界共同破解嗎？特別是新高考方案的實施，這個“物理難”之問似乎已經成為全社會的“共識”了，凡事皆有因，緣由究竟在哪里呢？

按照目前國際上通行的學科分類，數學被認定為是真正的自然科學，是宇宙的語言.數學思維無疑是獨特的、抽象的和艱深的.然而，在我國基礎教育階段，為什么沒有出現“數學難學又難教”的全國人民焦慮之問呢？讓我們從基礎教育階段的課程、教材、教法三位一體的角度，仔細分析物理思維與數學思維的個性化特征，看看物理思維與數學思維的差異性，或許不難找到難題的某些癥結之奧秘.

1 什么是思維

我們知道，思維是人的一種高級的心理活動形式.按照現代信息論觀點和腦科學的最新研究成果，思維是人腦對新輸入信息與腦內儲存知識經驗進行一系列復雜的心智操作過程；從認知的角度，思維是人腦借助于語言和相應媒體符號對事物的概括和間接的反應過程；從認識論的角度，思維是以感知為基礎又超越感知界限的高級意識活動.

人的思維活動（涉及所有的認知或智力活動）的目的是要探索與發現事物的內部本質聯系和規律性.隨著對各個領域涉及思維活動特點的深入研究，科學家們發現了邏輯思維即抽象思維、形象思維（具象思維）、頓悟思維（靈感思維）、創新思維等思維形式的許多新特點.

基礎教育階段特別是理科學科的教與學，所依據的基本上是傳統意義的邏輯思維形式，涉及的主要范疇有分析與綜合、比較與分類、歸納與演繹、模擬與類比、概括與抽象等，其是對事物的間接反映，這符合學校教育間接性特點.同時又要基于青少年已有的知識、經驗和情懷，借助于其他媒介手段（教師、各類課程和教學資料）的作用，使中學生獲得知識、技能、方法和情懷，認識客觀事物，推測未知的事物，發展其能力，達成既定的教學目標.

2 什么是物理思維

物理思維的起點是哲學.從哲學的范疇看，辯證法包括十一對范疇：物質與意識、運動與靜止、時間與空間、對立與統一、質變與量變、肯定與否定、本質與現象、內容與形式、必然與偶然、原因與結果和可能與現實，其中直接與物理學內容相重疊的有運動與靜止、時間與空間和原因與結果3對范疇.認識論包括認識與實踐、感性與理性、真理與謬誤、絕對真理與相對真理4對范疇，而認識與實踐、感性與理性兩對范疇一直是貫穿物理學研究、發展和物理教學的主線，特別是中學物理的教與學，更是幾乎無時無刻不是運用邏輯學的思維形式、思維規律、思維方法這3對范疇.

2.1 物理學學科的邏輯結構

物理學具有哲學、知識和實證的復雜邏輯結構.物理學的邏輯范疇可以分為4個層面，其一是物質的基本形態層面：實物與場或曰粒子與場（波）是其主要形式.其二是物質的根本屬性層面：運動的絕對性、運動描述的相對性以及各種低級運動形式的特殊性是其研究對象；這兩個層面是基于哲學的角度.其三是物理學理論體系的內容層面：即力學、熱學、電磁學、光學、現代物理學（原子物理學、量子物理學和相對論）5大領域的實驗、概念、規律和原理.從課程的內容角度看，無論是初中、高中還是大學，基本上是相同的，只是目標和深淺度不同.其四是狹義的邏輯分類學角度，可以把物理學理論體系概括為4大“概念范疇”：實物與場、粒子與波、時間與空間、運動與靜止.這應該是物理學獨特的邏輯結構，顯然與數學不同.

2.2 物理課程的邏輯特點

我們常常說物理學有6大特點：其一是物理學是一門實驗科學，其二是物理學是一門嚴密的理論科學，其三是物理學是一門定量的精密科學，其四是物理學是一門基礎科學，其五是物理學是一門帶有方法論性質的科學，其六是物理學是一門蘊涵著特殊文化的科學.對此已經有成熟的討論，此不做贅述，但是其是本文立論基礎之一.

從目前大中學校的物理課程角度，物理學的5大領域的內容是按照螺旋結構分成5個完整循環的，即初中物理、高中物理、大學普通物理學、理論物理學（四大力學）和現代物理學（量子場論和相對論）.那么從科學方法或曰教與學的方法或曰思維方法的角度，可以這樣來認識物理學科教學的邏輯特點：初中物理（自然常識的一部分）根植于實驗歸納+形象思維、高中物理（物理學基礎知識）根植于邏輯演繹+實驗歸納；普通物理學（力熱電光原）根植于源于實驗歸納的系統化基本知識+邏輯演繹；理論物理學（四大力學）根植于源于高等數學直接對物理學基本定律和原理的結構化邏輯演繹；現代物理學（場論與相對論）根植于哲學化的假說和理想實驗+邏輯演繹.其中數學起到了一定超前的和不可替代的作用，但是最后還必須由物理學的實證來完成.

2.3 物理課程學習的思維特征

物理思維具有獨特的個性化特征，主要體現在8個方面：模型化、多級性、多向性、表述的多樣性、思維的轉換、假設與驗證、等效思維和實踐性.比如，模型化特征.這是對物理現象進行高度精細化的抽象和概括的一種邏輯形式，是形成物理概念基礎性思維.因為物理學以自然界物質的結構和最普遍的運動形式為研究內容.對于那些紛繁復雜的物理事物，首先就需要抓住其主要特征，而舍去那些次要因素，形成一種經過抽象概括了的理想化的“物理典型”，在此基礎上才能夠建立物理概念、發現物理規律.如何掌握好物理模型的思維，是學生學習物理的困難所在之一.又比如，表述的多樣性特征.因為物理規律的表述可以用文字，也可以用公式，還可以借助于圖像，有些問題直接可以用圖示.每一種表述，不僅僅是一種“語言”，同樣是一種思維.而且物理概念、規律和原理的定性表述比其定量的數學公式重要得多（對此，并沒有引起我國高中物理教師的普遍關注）.再比如，等效思維方法.把復雜的物理對象等效為一個簡潔或簡單的物理模型，可以跨越思維“鴻溝”、加速物理思維進程或激發創新思維，在高一物理階段特別重要.例如，運動的相對性、矢量的合成與分解、等效電路等.

正是這些個性化的物理思維特征，決定了物理的教與學的思維特征不同于數學的.

3 什么是數學思維

應該說數學思維的起點更是哲學.從哲學的11對范疇看，其中直接與數學內容相重疊的范疇是多于物理學的.比如運動與靜止、質變與量變、肯定與否定、本質與現象、內容與形式、必然與偶然、原因與結果、可能與現實7對范疇都與數學的研究對象有交集.而認識論的認識與實踐、感性與理性、真理與謬誤、絕對真理與相對真理4對范疇一直是貫穿數學研究和教學的主線.數學教學也是幾乎無時不用邏輯學的思維形式、思維規律、思維方法這3對范疇，但是其內涵和應用形式卻與物理思維有很大不同.

從人類認識和研究自然界的層次角度，物理學是研究自然界最低的層次學科：物質的基本運動形式和物質最基本的結構（分子、原子以下）.化學是研究物質的性質、組成、結構、變化和應用的科學（分子原子以上）.生物學是研究自然界所有生物的起源、演化、生長發育和遺傳變異等生命活動的規律和生命現象的本質，各種生物之間、生物與環境之間相互聯系的學科.經濟學是研究人類賴以“衣食住行用娛樂安全”等“商品或財富的生產、分配、交換、消費的循環和演變過程”的基礎學科.所有這些學科（自然、社會和人類思維等）都直接或間接地被數學抽象為單一、純粹和一般化的模式——成為數學的研究對象.

3.1 數學學科的邏輯結構

通過以上討論，對比物理學，數學具有哲學、知識和純粹的單一邏輯結構.數學的邏輯總范疇從研究對象的角度可以分為兩個層面：純粹數學和應用數學.研究其自身提出的問題的（如哥德巴赫猜想等）是純粹數學（又稱基礎數學）；研究來自現實世界中的數學問題的是應用數學.從數學是宇宙自然語言的角度，純粹數學與應用數學的界限并不那么明顯.一方面由于純粹數學中的許多對象，追根溯源是來自解決自然界問題的.比如，從宏觀的宇宙學到微觀的量子領域；另一方面，為了要研究從現實世界（人類社會）提出的數學問題，縱向的，大到如天文學、力學、物理學和工程學等，小到分子、原子的運動；橫向的，如網絡、動力系統、信息傳輸和經濟數學模型等，都需要數學科學從更抽象、更純粹的角度來考察，才有可能得到答案和解決.

從純粹的抽象思維的角度，可以分為“數”與“形”兩大范疇，而且這兩大范疇是交錯或交織在一起的.即數學“模型”的建立，使得數學研究的對象在“數”與“形”的基礎之上可以擴充到這個宇宙，包括自然和人類社會的各種“關系”，如“語言”“程序”“DNA排序”“選舉”和“動物行為”等，最后又都復歸抽象為數學的“數”與“形”，從而構成了數學科學研究的全部內涵.

數學學科理論體系一般由數論、代數學、幾何學、拓撲學、數學分析、微分方程、泛函分析、概率論與數理統計和離散數學等構成一個發展動態的邏輯結構.如果按照上述物理學從狹義的邏輯分類學角度，則數學的理論體系可以更加簡潔無比地概括為兩大“概念范疇”：數、形.這是數學作為宇宙語言最獨特的邏輯結構，顯然與物理學有很大差異.

3.2 數學課程的邏輯特點

我們常說：數學是自然界的普適語言.數學更嚴格的定義是：研究宇宙數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，也就是說數學的本質是各種運動形式在空間形式及其數量關系的概括.所以，數學也具有6大特點：其一是高度的抽象性，其二是邏輯上的嚴密性，其三是數量上的精密性，其四是深刻上的辯證性，其五是應用的廣泛性，其六是與物理學一樣，數學也是一門蘊涵著特殊文化的科學.

目前基礎教育階段的數學課程結構，與物理學有基本相同的、也有較大差異的.基本相同的是課程結構也是螺旋結構的5個完整循環，即小學數學、初中數學、高中數學、大學基礎數學、現代數學理論.小學、初中和高中都是代數、幾何和統計與概率3大領域的逐步深入、擴展和初步應用（數學建模）.與物理學課程的差異有：其一，課程內容下移：小學一年級就有數學課程，初二（8年級）才有物理課程.其二，在初中和高中的數學課程里是沒有高等數學的拓撲學、微分方程和泛函分析等學科.這樣在中學階段，暫時沒有許多相應的“數學觀念”.其三，初、高中數學課程中沒有像初、高中物理的系統性實驗.這樣不僅沒有根植于實驗歸納、理想實驗和假說等思維方法的學習，而且沒有實驗技能訓練和實驗方法的學習機會.這顯然是數學課程與物理課程的很大不同.其四，有趣的是現代數學理論的高度發展和抽象，比如拓撲學理論及其應用等，需要物理學的超前假說，并最后還必須由物理學的實證來完成.

3.3 數學課程學習的思維特征

數學思維的內涵是指轉化與劃歸、一般與特殊、函數與映射、歸納與類比、想象與直覺、數學歸納法、數學演繹法、數學反駁法和公理化方法等邏輯范疇.我國義務教育和高中的數學教學課程標準中都明確指出，數學思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質.所以，數學思維是多種邏輯思維能力的綜合運用.

一般來說，小學生是掌握形狀、方位、比較、排序、圖形和拼擺等能力.初中學生數學能力主要包括：數感和符號感、空間觀念、統計觀念、初步的推理能力以及分析和解決實際問題的能力等.高中學生的數學能力主要包括：空間想象能力，邏輯思維能力，運算能力，分析問題與解決問題的能力，數學探究與創新能力以及數學建模能力等.研究表明：數學思維能力強的人，基本體現在兩種層面上，其一是數學聯想力，其二是數字敏感度.兩種層面都具有公理化特征.

4 物理思維與數學思維的差異性與同一性

從哲學、邏輯學和研究方法等角度，物理思維與數學思維的差異性是顯著的.比如，教學實踐表明：數學學習的高原期比物理學習的高原期要短得多.這是目前我國普通大眾認為“物理難學又難教”的主要感性依據.但是，作為教育工作者，我們必須貫徹基本的科學觀念，即物理與數學都是自然科學的有機組成部分，物理思維與數學思維存在著天然的同一性和本質的共性.牛頓的經典物理學名著的書名就是《自然哲學的數學原理》，整個宇宙是自然哲學的統一體.現代物理學的發展必須借助于現代數學，二者已經“融為一體”.

4.1 物理學與數學的學科知識交集

從理論物理學的角度看數學，數學是物理學的表征，物理學是數學的實證模型：只要數學方程是自洽的，則必然有物理的自然客觀模型與之對應，只是尚未發現而已.從物理學應用的角度看待數學，物理學是當代技術之源，但必須通過數學進行標準化.因此，當代最偉大的數學家之一陳省身教授，極力贊成“物理”與“數學”是一家，他曾賦詩一首寫道：

物理幾何是一家，共同攜手到天涯.

黑洞單極窮奧秘，纖維聯絡織錦霞.

進化方程孤立異，對偶曲率瞬息空.

籌算竟有天人用，拈花一笑不言中.

4.2 物理學與數學的3次重要結合

物理思維與數學思維的同一性還體現在物理學的發展歷史之中.第1次是物理學與歐幾里得幾何的結合，誕生了經典力學、天文學.比如，牛頓的《自然哲學的數學原理》有大量的幾何圖式；第2次是物理學與微積分的結合，構建了“完美”的經典物理學.比如，拉格朗日的《分析力學》沒有一張圖，其后，誕生并逐步完善了數學物理方法.第3次是物理學與現代數學（微分幾何）的結合創建了近代物理學和相對論，比如，愛因斯坦的《廣義相對論》.量子力學中的概率、算子、特征值、群論等基本概念和結論似乎都是數學上“預先”準備好了的.所以，數學對第3次科學革命起到了有力的推動作用.因此，數學是創立和發展物理學理論的主要工具.從技術革命的角度，物理學理論的應用要借助數學工具，比如，實現單位的標準化和統一等.自20世紀初以來，物理學與數學就是互相促進和共同發展的.

4.3 中學物理課程與中學數學課程的差異

物理學的理論體系是由實驗、定律、定理和原理構成的，所以，中學物理的力學、熱學、電磁學、光學、原子物理學是以實驗為先導，從概念、規律、和原理出發，在哲學層面把物理學理論體系概括為4大“概念范疇”：實物與場、粒子與波、時間與空間、運動與靜止.已經超越了邏輯學層面，進入了哲學層面，是腦動和技能型手動的結合.

數學的理論體系是由公理、定義、定理和推論構成的.可以說，中學數學的代數、數論、幾何、數理統計初步等都是相關學科的預備性知識，是以數學建模為后導的.這方面完全不同于物理學.基礎教育階段，沒有涉及泛函分析、微分方程特別是三類偏微分方程.雖然中學數學也借助于邏輯學，卻完全局限于“算術”的層面，只有腦動，沒有技能型的手動.

由此可見，如果不涉及微積分，中學數學的內容形式與大學數學的內容形式完全不同，但是，中學物理的內容形式與大學物理的內容形式幾乎完全重合.這是因為：其一，內容差異.物理的課程螺旋結構內容是相同的，數學的不完全相同.其二，難度差異.初、高中課程內容的難度臺階，物理特別大，數學不明顯.其三，邏輯差異.物理是實時情境推理，數學是固定純粹推理.其四，思維差異.物理有賴于個性，具體體現是抽象化的具象、具象化的抽象；數學有賴于直接的具象，然后轉化為具象化的抽象.其五，直接應用物理的定義、定律和定理，可能無法得出物理問題結論，或者得出的正確結論是“歪打正著”（個性化物理思維路徑并不正確）；數學直接可以應用公理、定義和定理，就可以得出正確的結論，數學幾乎不會出現“歪打正著”現象.

5 物理邏輯與數學邏輯的教學差異性舉例

教學實踐表明，我們必須從邏輯層面分析物理邏輯與數學邏輯的教學差異性.所謂邏輯（Logic）是一個外來詞語音譯，指的是思維的規律和規則，也指研究思維規律的學科即邏輯學，包括辯證邏輯、形式邏輯和數理邏輯（符號邏輯）.它們都是通過人的邏輯思維途徑而達成.邏輯指的是思維的規律和規則，邏輯思維（Logicalthinking）是人們在感性認知階段（感覺、知覺、表象）基礎上，借助于理性認識階段（概念、判斷、推理）的思維形式能動地反映客觀現實的認識過程.它是作為對認識者的思維及其結構以及起作用的規律的分析而產生和發展起來的.只有經過邏輯思維，人們才能達到對具體對象本質規定的把握，進而認識客觀世界，是人的認識的高級階段，但是，邏輯思維具有個體思維的規律性和差異性.

5.1 “概念”學習的差異

概念是思維的基本形式之一，是邏輯思維進入理性認識階段的起點.概念是反映客觀事物的一般的、本質特征的思維形式.人類在形成概念認識過程中，需要把所感覺到的事物的共同特點抽出來，加以概括，就成為概念.

在基礎教育階段，數學中的“概念”是公理中規定了的，大量采用了歸納的方法，是“死的”；比如，“數域”“直角三角形”“反函數”等等，其定義都是一種“程式化”的思維，是一種純粹化的或機械化的邏輯推理.

而物理學中的“概念”是實驗（情境）中抽象出來的，是“活的”，比如，“力”“杠桿”“電場強度”等等，其定義是一種“情境化”的思維或個性化的邏輯推理.

因此，高中同年級的物理“概念”的建立過程和定義程序比數學的復雜得多和難得多.這或許是物理比數學“難學又難教”的教學層面的原因之一.

5.2 “規律”學習的差異

規律亦稱法則，是在一定的條件下，客觀事物發展過程中的本質要素之間的聯系.規律具有必然性、普遍性、客觀性和永恒性特點.

在基礎教育階段，數學中的“規律”來自于公理中的定義、定理和推論；比如，“實數的四則運算”“直角三角形的勾股定理”“三角函數法則”等.這些直接演繹的過程是單純的和純粹的思維過程，是沒有或者不需要客觀實際情境過程對應的.比如，如果熟記直角三角形的角邊關系的公式（公理），你不僅能夠無誤地推出三角函數各種角邊關系公式，如倍角關系、半角關系、和差化積等，而且會輕松地求解此類題目.只要將相關的定義、定理、運算法則熟記熟背，即可靈活運用.

物理學中的“規律”必須是通過實驗（情境）進行歸納或證明的.比如牛頓第二定律、動量守恒定律和法拉第電磁感應定律等.不僅條件嚴格，而且其情境是理想化的，即需要進行一系列的思維加工.其內容是客觀化的，需要實際的情境，即需要物理實驗與其對應.正是其情境的理想思維加工和內容客觀化的實驗情境，必然要求物理學習者的思維過程和思維成果具有個性化特質.比如，受力分析可以用不同的分解方法、矢量的方向也與規定的正方向進行比較、守恒律的運用更需要清晰始末狀態.如果熟記牛頓三定律及其相關公式（比如，牛頓第二定律F=ma，為簡單計，這里只用標量式），你可能會推導動能定理表達式，但是，你或許根本都不會做基本的動力學題目，因為前者只是數學，而后者就是物理學.所以，不同于數學，物理學中的“規律”是一種個性化物理情境、個性化技能、個性化思維方法和個性化思維過程的綜合實踐活動，需要的是個性化的邏輯推理.而且物理規律有3個層次：定律、定理和原理，同時其表征有3種形式，除了文字的定性表述，另外兩種都是數學方法——解析式和圖像.

這或許是物理比數學“難學又難教”的教學層面的原因之二.

5.3 “原理”學習的差異

原理是具有普遍意義的最基本的規律.科學的原理，由實踐確定其正確性，可作為其他規律的基礎.初等數學的原理有加法原理、乘法原理、抽屜原理等等.初等物理的原理有功能原理、杠桿原理、動能定理和惠更斯原理等等.我們僅僅從名稱上就不難發現，無論是內容還是從內涵，數學的原理比物理的原理簡易得多.就表現形式看，物理的原理比數學的原理要簡單得多，但是其內涵和具體應用策略上，物理的原理比數學的原理要復雜得多，主要體現在物理思維的個性化特質上.

比如，組合數學中抽屜原理（鴿巢原理），其“實踐情境”：桌上有10個蘋果，要把這10個蘋果放到9個抽屜里，無論怎樣放，我們會發現至少會有一個抽屜里面放不少于2個蘋果.這一現象就是我們所說的“抽屜原理”.我們可以進行數學簡單而純粹的抽象：“如果每個抽屜代表一個集合，每1個蘋果就可以代表1個元素，假如有n+1個元素放到n個集合中去，其中必定有一個集合里至少有2個元素.”第一抽屜原理的應用1及其證明.把多于n+1個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于2件.證明：用反證法——如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數最多是n×1，而不是題設的n+k（k≥1），故不可能.

在這里，研究對象是具體的、純粹的和有形的“抽屜”和“蘋果”，而可以被抽象為任意內涵的“元素”，雖然邏輯的推理是嚴謹、第次而且明顯的（1個示意圖可以表征研究對象），但是，其推理過程是單一的（至少有一個抽屜里的東西不少于2件“元素”）；從邏輯方法上，也用到反證法，其邏輯關系清晰，結論也很簡單[n+k（k≥1）不可能]，沒有復雜的情境內涵.即數學思維具有具體的、機械的和純粹的特點.

下面對比看看物理學波動理論的惠更斯原理和惠更斯-菲涅耳原理.

惠更斯原理：任意時刻球形波面上的每一點都是一個次級球面波的次波源，次波的波速與頻率等于初級波的波速和頻率，此后每一時刻的次波波面的包絡就是該時刻總的波動的波面.原理的核心概念是次波源，而且是“點波源”.原理的應用結論：介質中任一處的波動狀態是由各處的波動決定的.原理的表述和結論都很簡潔，其過程的內涵卻不是簡單的，因為要應用“球面波”和“疊加”兩個概念.

在這里，研究對象是具體的、客觀的和無形的“機械波的反射、折射和衍射現象”（機械波中，只有水波是有形的），雖然邏輯的推理也是嚴謹、第次而且淺顯的（機械波遇到障礙物時如何傳播），但是，其推理過程卻不是單一的.其一，次波源——點波源發出的球面波，如圖1所示.其二，疊加的含義是什么——物理矢量的一種加減法，是獨立作用原理為前提的，其物理因素是次波面的“疊加”.其三 ，從邏輯方法上，必須考慮實際的物理情境，即次波面的“疊加”必須在一定的范圍內，即如果在遠離障礙物的地方繼續使用“次波源”，會發現波可能會有繞到“后背”的后退波.這顯然是違背了實際情況的錯誤.因此，雖然該原理的邏輯關系清晰，但是結論卻不像數學那樣的單一：（1）對象是情境式的；（2）對象的結論是有范圍的，因果關系是有條件的；（3）惠更斯原理的次波假設沒有涉及波的時空周期特性：即沒有波長、振幅和位相等概念；（4）沒有關注衍射的物理現象和物理機制.這顯然是不完備的.實際上，衍射區域有明暗相間的條紋出現，所以，后來菲涅耳在惠更斯原理的基礎上，補充了“次波相干疊加”的物理原理，給出了次波相位和振幅的定量表示式.這就是惠更斯-菲涅耳原理.此時，該原理呈現的不僅有清晰完整的內涵，而且物理思維具有情境的、分析的和個性化的特點.

圖1 點波源

實際上，物理規律和物理原理的教學方法并沒有任何差異，都需在物理實驗基礎上展開教學過程.這一點顯然與數學原理的教學方法不同.這或許是物理比數學“難學又難教”的教學層面的原因之三.

6 結語

最后，作為本文中心論點的又一佐證，再舉一例，即我們對解析式F=ma的數學意義和物理意義進行簡單的比較.從數學的角度，F=ma就是一個方程，3個量中哪一個是未知數無關緊要，其形式無論是F=ma，還是F-ma=0，都不會影響方程的解，小學數學就可以得出結果.而且3個量是等價的，其因果關系可以互逆，即其時空反演是對稱的.然而，從物理學的角度，F=ma是牛頓第二定律數學公式（定量表達式），姑且不說該方程是高中物理的重點知識，其教與學需要運用控制變量法進行科學探究實驗展開，僅方程F=ma的本身就包含了3層涵義.第一層：F=ma是一個矢量式，即F外=ma，而且是系統所受的“合外力”，物理意義非常清晰和具體.第二層：方程F=ma是質點動力學嚴格因果關系的表示，即左邊是力F，右邊是運動狀態的改變，，即物理量在方程的不同位置，其物理意義是不同的.第三層：該方程或等式F=ma兩邊的物理意義是慣性參考系中質點動力學物理規律因果律的表示.左邊F合外力是質點運動產生的“因”，右邊的ma是質點的運動狀態變化，即在慣性參照系中，物體所受合外力不等于0，該物體的運動狀態一定發生了變化：是“因”產生的“果”.因此，F=ma與F-ma=0這兩個方程有本質的區別.其一：F-ma=0中的F-ma是合力，即ma也是一個“力”.其二：參照系不同，顯然F=ma是慣性參照系，而F-ma=0是非慣性參照系，即ma是非慣性參照系的“慣性力”，等式F-ma=0的右邊等于0，表示在非慣性參照系中，該“質點”的運動狀態并沒有發生變化.因此，對于牛頓第二定律F=ma的層次分析和物理內涵，如果我們的物理教師不能夠如此地把握，只是一味地要求學生做題，學生可能在相當長的時間內也難以或者根本不可能領會和掌握.結合這個典型的例子并綜上討論，對于“物理難學又難教”的社會焦慮，我們顯然需要給出明確的結論：答案應該是“物理難學不難教！”問題在于我們的物理教師是否名副其實的物理學的學科教師.