用洛必達(dá)法則求參數(shù)取值范圍的方法

廣西防城港市北部灣高中（538000）覃寶鋒

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生往往對(duì)不等式中求參數(shù)的取值范圍的問題感到困難，但這類問題又是高考中常出現(xiàn)的題型。因此，我們很有必要去研究它。解決這類問題的通法是直接求導(dǎo)，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。然而，運(yùn)用此法，有的學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)對(duì)參數(shù)討論不清或討論不全的情況。有一些學(xué)生會(huì)采用分離參數(shù)的方法，通過分離參數(shù)求函數(shù)的最值，進(jìn)而求解，這種求解往往對(duì)判斷函數(shù)的單調(diào)性要求比較高，可能有些復(fù)雜，但一般都能得到結(jié)果。而有時(shí)用洛必達(dá)法則可輕松解決問題。

洛必達(dá)法則是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，運(yùn)用洛必達(dá)法則要滿足以下條件。

［例1］已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，

（1）當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

（2）若當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0，求a的取值范圍。

分析：根據(jù)已知條件，容易將參數(shù)a分離出來，接著構(gòu)造函數(shù)g(x)，并對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，通過判斷其函數(shù)的單調(diào)性，求g(x)的極值。我們發(fā)現(xiàn)g(x)在x=1 處沒有意義，不能求出g(x)的極值，這時(shí)，可利用洛必達(dá)法則來求其極限值。

解：（1）略；

點(diǎn)評(píng)：在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們不一定要對(duì)整個(gè)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，可對(duì)其中的一部分求導(dǎo)。

［例3］已知函數(shù)(x)=(ax-2)ex-e(a-2)。

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x＞1時(shí)f(x) ＞0，求a的取值范圍。

解：（1）略。

點(diǎn)評(píng)：由上面的例子可知，求參數(shù)的取值范圍，都可以分離參數(shù)，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解。

［例4］已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a＞0。

（1）求a的值；

（2）若對(duì)任意的x∈[ 0,+∞)有f(x) ≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

分析：對(duì)于第（2）問，可以將參數(shù)分離出來，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，觀察能否用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解。

解：（1）a=1，過程省略。

（2）由題意知，對(duì)任意的x∈[ 0,+∞)，當(dāng)x=0時(shí)，f(x) ≤kx2恒成立，

（1）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線方程；

（2）若x2f(x)+cosx≤mx2+1，求m的取值范圍。

分析：含有三角函數(shù)的求導(dǎo)，在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)顯得比較困難，可視為恒成立求參數(shù)范圍的問題，因此可通過分離參數(shù)進(jìn)行求解。

解：（1）略。

（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若x2f(x) ≤m對(duì)任意x≥1恒成立，求m。

分析：第（2）問，學(xué)生若用直接法則要對(duì)m進(jìn)行分類討論，會(huì)比較困難，因此可通過分離參數(shù)進(jìn)行求解。

解：（1）略。

通過上述的例題可知，洛必達(dá)法則是解決未定式函數(shù)極值的一種非常有效的方法，但并不是所有的未定式函數(shù)極值都可以應(yīng)用洛必達(dá)法則解決，如多次應(yīng)用洛必達(dá)法則后，極值出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象時(shí)，洛必達(dá)法則失效。

應(yīng)用洛必達(dá)法則求極值，必須熟練掌握洛必達(dá)法則的結(jié)論，注意洛必達(dá)法則的條件要求，不能盲目地套用公式，以免出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。