一類分數階微分方程的再生核數值方法

劉 蕊，周永芳

（河北工業大學 理學院，天津 300401）

0 引言

分數階微分方程邊值問題廣泛地應用于數學、工程、化學等領域中。但是由于它的解析解很難求解，因此，其數值解研究尤為重要。學者們提出了各種數值方法求解分數階微分方程的數值解，包括Adomian分解法[1]，有限差分法[2]，同倫分析法[3]，譜方法[4-6]等。近年來，再生核理論廣泛應用于各種數學、物理和工程問題中。學者們提出了在再生核空間中求解不同分數階微分方程的數值方法。Mohammed Al-Smadi等[7]求解了時間分數階邊值問題，將再生核空間法和迭代法相結合，在再生核Hilbert空間中提供了分數階邊值問題的近似解，并且用歸納法分析了這種方法的收斂性和穩定性。Omar Abu Arqub[8-9]考慮了在ABC分數階導數意義下的分數階微分方程，文獻[8]利用再生核空間研究了分數階積分微分方程的近似解，文獻[9]利用再生核空間法和算子不動點理論研究了Riccati分數階微分方程和Bernoulli分數階微分方程的近似解，計算速度快。Hossein Beyrami 等[10]在梯度網格上研究了帶有弱奇異核的分數階積分微分方程的近似解，在再生核空間中給出了誤差估計，并討論了近似解的穩定性。Esmail Babolian等[11]在再生核空間中考慮了利用再生核空間法求解線性和非線性微分方程數值解產生的誤差。ZhongChen等[12]在分數階導數意義下的加權再生核空間中考慮帶有弱奇異核的分數階微分積分方程近似解，收斂速度快，同時計算精度高。文獻[13-14]中考慮了下列分數階微分方程邊值問題的近似解：

式中：Dα為Caputo分數階導數，1＜α≤2；a0,a1,b0,b1為常數；b(t),c(t)為充分光滑函數；f(t)為給定的函數，且

作者利用打靶法將邊值問題轉化為初值問題，并將方程轉化為帶有弱奇異核的分數階積分方程求解方程的近似解。本文將在再生核空間中討論這類分數階邊值問題的近似解。

1 預備知識

定義1（Riemann-Liouville分數階積分）對于區間[0，1]上的連續函數y(t)，有

式中，Γ(·)為Gamma函數。

引理1 若K(s,t)∈C(D)，那么存在且在[0，1]區間上連續，并且有

具體的證明過程參見文獻[15]中的定理2.3。

定義2（Caputo分數階導數）對于區間[0，1]上的連續函數y(t)，有

式中，m=[α]+1，[α]為小于α的最大整數。由式（1）中1＜α≤2 知，m=2。

定義3（再生核空間）設H為Hilbert 空間，H中的元素是集合X上的復合函數，對于任意的y(t),z(t)∈H，定義內積為

若存在一個關于t的函數Rs(t)，使得對于任意的函數y(t)∈H，有

則稱Hilbert空間H為再生核空間，其中函數Rs(t)為再生核空間H的再生核函數。

定義4 Hilbert空間W1[0,1]={y(t)|y(t)為絕對連續函數，y′(t)∈L2[0,1]}。

在W1[0,1]空間中，定義內積為

式中，y(t),z(t)∈W1[0,1]。范數為

在文獻[16]中，得到W1[0,1]空間的再生核函數rs(t)的表達式為

定義5 Hilbert空間W2[0,1]={y(t)|y(i)(t)(i=0,1,2)為絕對連續函數，

在W2[0,1]空間中，定義內積為

式中，y(t),z(t)∈W2[0,1]。范數為

Hilbert 空間W2[0,1]為再生核空間。設Rs(t)為W2[0,1]的再生核函數，那么根據W2[0,1]空間的內積定義，可以得到如下等式：

利用分部積分，可以得到

由再生核函數Rs(t)∈W2[0,1]，Rs(t)滿足W2[0,1]空間的邊值條件

由y(t)∈W2[0,1]，y(t)同樣滿足W2[0,1]邊值條件，那么

于是有再生核空間W2[0,1]的再生核函數Rs(t)所滿足的條件：

再由函數的連續性以及跳躍條件，可以得到

W2[0,1]的再生核函數Rs(t)的一般形式為

式中，ci,di,i=0,1,…,4,5 由式（2）～式（4）共12個方程唯一確定。

下面引入算子L:W2[0,1]→W1[0,1]，由定義2

將方程（1）的邊值條件齊次化，則方程（1）可以表示為如下算子方程：

式中，y(t)∈W2[0,1]，當y(t)∈W2[0,1]時，f(t)∈W1[0,1]。記L*為L的共軛算子。

定理1 (LRs)(i)(t)∈W2[0,1],i=0,1,2。

式中，M1,M2,M3為常數。那么就有下列不等式成立：

接下來證明(LRs)(t)滿足W2[0,1]的邊值條件。

綜合可得，(LRs)(t)∈W2[0,1]。

由文獻[16]中定理6.3知，若Rs(t)為W2[0,1]的再生核函數，那么無論是關于變量s還是關于變量t，總有函數

證明成立。

引理2 算子L:W2[0,1]→W1[0,1]為有界線性算子。

證明 顯然L為線性算子。下證算子的有界性。

由再生核的性質，可以得到(Ly)(i)(t),i=0,1可以表示為

那么由Schwarz不等式可以得到

那么就有

證明成立。

那么?i=1,2,…，有

證明成立。

式中，γij為正交化系數。

2 方程的精確解和近似解

定理2 方程（5）的精確解y(t)可以表示為

證明 根據引理5，y(t)∈W2[0,1]，有

通過對方程級數形式的精確解（6）截斷，得到方程（5）的近似解為

證明成立。

3 收斂性分析和誤差估計

證明 根據引理5，y(t)∈W2[0,1]，當i=0,1,2 時，有

證明成立。

式中：h=max|tj+1-tj|,j=1,2,…,n-1；a為確定的實數。

證明 取t∈[tj,tj+1]，其中j=1,2,…,n-1

那么

根據上式可以得出結論

同理可得，y(t)∈W2[0,1]，那么存在a2為常數，使得

由定理3可以得到，對于任意ε＞0，當時，有

證明成立。

4 數值算例

在這部分內容中，所有數值結果由Mathematic 11.0 計算所得。應用本文提出的算法，在[0,1]上取=1,2,…,n。由式（7）知道，方程的近似解為

對n取不同的值，求解下列分數階微分方程邊值問題的近似解。數值結果說明了算法的有效性。

例1 考慮下面分數階微分方程邊值問題的數值解

式中：t∈[0,1],α=1.1；f(t) 是使得方程的解為y(t)=-0.3t3+0.1t+1 的函數。數值結果見表1，其中en=|yn(t)-y(t) |，分別取n=10,20。

表1 算例1 數值結果Tab.1 Numerical result for Example 1

例2 考慮下面分數階微分方程邊值問題：

式中：t∈[0,1],α=1.2 ；f(t) 是使得方程的解為y(t)=-0.65t3+0.4t+3 的函數。數值結果見表2，其中en=|yn(t)-y(t) |，分別取n=10,25。

表2 算例2 數值結果Tab.2 Numerical result for Example 2

5 結論

本文主要介紹了在再生核空間中求解分數階微分方程邊值問題近似解的數值方法，利用再生核空間的良好性質獲得了這類方程級數形式的精確解，通過截斷方程級數形式的精確解獲得了方程的近似解，并在再生核空間中證明了所提方法的收斂性，給出了誤差估計。這種方法同樣可以應用于其他線性分數階微分方程數值解的求解。今后將進一步在再生核空間中研究非線性分數階微分方程數值解法，同時提高再生核空間數值解法的精確度。